Как привести смешанное число к неправильной дроби. Смешанные числа, перевод смешанного числа в неправильную дробь и обратно

Каждый современный человек в школьную бытность во время решения математических задач нередко сталкивался с разнообразными задачками на дроби. Их достаточно много, потому имеет смысл рассмотреть различные варианты решения самых основных подобных задач.

Правильные и неправильные дроби

Верхнее число у любой дроби носит название числителя, в то время, как нижнее число – это знаменатель. Обыкновенные дроби - это частные от двух чисел, причем, одно из этих них находится в числителе у дроби, а второе, соответственно, является знаменателем этой дроби. Виды таких обыкновенных дробей определяются сравнением значений их знаменателя и числителя.

Правильная дробь

В том случае, когда знаменатель у дроби является натуральным числом, которое по своему значению больше ее числителя, также натурального числа, то дробь носит название правильной. Примерами таких могут быть: 8/19; 9/14; 31/162; 5/37 и так далее.

Если же знаменатель у дроби меньше, либо же равен ее числителю, то такая дробь уже называется неправильной. Например, это такие, как: 7/4; 19/6; 15/3; 231/83 и тому подобные.

Зачем переводится неправильная дробь в правильную?

Такая математическая манипуляция необходима, если выполняется действие с несколькими дробями, например, их слагают.

Совет

Если есть смешанная дробь, то сначала ее следует перевести в неправильную, потом уже выполнять другие математические действия.

Переведение в неправильную дробь

Чтобы какую-нибудь смешанную дробь превратить в неправильную, потребуется, для начала, целую ее часть умножить на знаменатель ее дробной части, а потом добавить числитель к данному произведению. Далее сумма берется, как числитель, но при том же самом, что и прежде знаменателе. Для осуществления перевода неправильной дроби в правильную, потребуется числитель такой неправильной дроби поделить на ее знаменатель. Далее, полученное таким путем целое число следует взять целой частью дроби, в то время, как остаток, если он, конечно, есть, сделать числителем дробной части у правильной дроби. Знаменатель пишется тот же самый, что и был. Чтобы перевести какую-либо неправильную дробь в десятичную, надо сначала выяснить, существует ли вообще такой множитель, который позволяет привести знаменатель ее дробной части в неправильном формате к числу, которое равняется десяти или десятке, возведенной в любую степень. То есть, 10, 100, 1000 и так далее. Если же такой множитель имеется, то следует умножить как числитель, так и знаменатель у неправильной дроби на данный множитель, тем самым как бы проверяя его. А после умноженный числитель потребуется через запятую приписать к целой части у неправильной дроби.

Нельзя перевести с округлением до десятых

В том случае, когда подобного множителя, как такового, не существует, это обозначает, что такая неправильная дробь не имеет четкого эквивалента в десятичной форме. Проще говоря, далеко не каждую из неправильных дробей представляется возможным перевести, сделав десятичной. В таком случае, потребуется найти приблизительное, максимально соответствующее значение дроби. Тут все зависит от требуемой в условии той ли иной задачи степени точности. Просчитать данную дробь проще всего на калькуляторе, но можно это также в уме или банально в столбик. Например, «41/7 = 5(6/7) = 5,9», это с округлением до десятых, или «= 5,86», когда требуется округлять до сотых, а также «= 5,857», если действует округление до тысячных. Многие из дробей четко в десятичные не переводятся, потому считать их проще не в уме и не в столбик, а посредством калькулятора.

Вывод:

Без манипуляций с дробями не представляется возможным ни один школьный курс математики. Да и в повседневности редко приходится иметь дело лишь с целыми числами, а потому переводить правильные дроби в неправильные, либо превращать в такие смешанные дроби нужно уметь каждому. Это очень просто и потому запомнить, как следует это делать, можно буквально после пары практических примеров, решенных на бумаге, а затем и вообще - в уме. С десятичными дробями ситуация несколько иная и не все можно точно перевести в десятичный вид.

Математические дроби

Огромный блок математики посвящен работе с дробями или нецелыми числами. С ними очень часто встречаются и в жизни, поэтому знать, как работать с такими цифрами важно для любого человека. Математика – это наука, в которой ученик начинает с познания простых вещей и действий, а затем переходит к более сложным.

Знание и умение работать с подобными цифрами облегчит ему в дальнейшем работу с логарифмами, рациональными показателями и интегралами. С такими числами можно делать все то же самое, что и с обыкновенными: складывать дроби, делить, вычитать и умножать. Кроме этого, их можно сокращать. Работать с дробями просто, главное – это знать основные правила и методы их вычисления.

Основные понятия

Для того, чтобы понять, что это за значение такое, необходимо представить некий целый предмет. Допустим, что есть торт, который порезали на несколько одинаковых или равных кусков. Каждый кусочек будет называться долей.

Например, 10 состоит из 5 двоек, каждая двойка – это часть от десяти.

Доли имеют свои названия, в зависимости от их общего количества в целом числе: 10 может состоять из двух пятёрок или пяти двоек, в первом случае она будет называться (одна вторая), а во втором — (одна пятая). Следует помнить, что равняется половине числа, (одна третья) — трети, а (одна четвертая) – четвертью. Их могут также изображать через черточку: ½, 1/3 или 1/5.

Цифру, написанную сверху горизонтальной линии или слева от наклонной, называют числителем – он показывает сколько долей взяли у целого числа, а цифра под линии или справа от нее – знаменатель, он показывает на сколько всего долей разделили. Например, торт разделили на 10 кусков и сразу отложили два из них для опоздавших гостей. Это будет 2/10 (две десятых), т.е. взяли 2 (числитель) куска от общих 10 (знаменатель).

Какие бывают доли, что такое неправильная дробь, что такое обыкновенная дробь? На эти вопросы легко ответить:

Смешанная цифра всегда может трансформироваться в неправильную дробь и наоборот.

Главное свойство гласит: при умножении, а также деления делимого и делителя на одинаковый множитель, в целом величина дроби не изменится. Это свойство делает возможным все операции с дробями.

Как сократить?

Главное правило гласит, что долевую цифру можно сократить — поделить ее числитель и знаменатель на одинаковый делитель (отличный от 0) так, чтобы получилась новая цифра с меньшими параметрами, но равная исходной по величине. Исходя из этого правила можно понять, что дроби бывают сократимые и несократимые .

Пример сокращения дробей: 8/24 сократим, поделив ее параметры на 2. Получим: 8:2=4 и 24:2=12. В результате, исходная цифра превратится в 4/12 . Можно повторить операцию, вновь поделив числа: 4:2=2 и 12:2=6. Получим 2/6. Еще раз повторим операцию: 2:2=1 и 6:2=3. В итоге получится несократимая цифра 1/3, поскольку ее параметры уже нельзя разделить на одинаковый делитель. Любое сократимое число можно привести к несократимому.

Сокращать можно при умножении дробных выражений друг на друга:

*. Сами по себе эти числа несократимые, но выполняя операцию умножения, можно сократить их по диагонали: * = =. Сокращать при умножении можно только крест-накрест: числитель первой со знаменателем второй, и наоборот.

Сокращать можно и смешанную цифру, т.е. целую часть и правильную дробь представить в виде неправильной. Для этого следует выполнить некоторые действия:

Справедливо и обратное действие: из неправильной дроби сделать смешанную. Для этого рассмотрим обратное действие с :

Таким способом сокращать дроби при любых операциях возможно. Можно сокращать значения ее делимого и делителя при умножении их на одинаковый множитель, и превращая из смешанного числа в долю, и наоборот.

Возможные действия

Все основные виды вычислений доступны при счете долей, как и с целыми цифрами: сложение, вычитание и прочие. Рассмотрим каждое действие по отдельности с примерами:

Сложение и вычитание

Складывать доли можно двумя путями, в зависимости от их делителя. Они бывают одинаковыми и разными. Рассмотрим пример складывания долей с одинаковыми делителями.

Для решения + необходимо по отдельности сложить делимое долей, а делитель не трогать: 1+1. Результатом станет цифра , но поскольку она неправильная, то ее можно преобразовать в смешанную, разделив делимое на делитель: 2:2= 1. Неправильную долю всегда (!) следует приводить к правильной и несокращаемой, т. е. если ее делимое и делитель можно поделить на одинаковый множитель – это следует сделать в обязательно порядке.

В случае сложения долей с различными делителями, их необходимо изначально привести к одинаковому . Например, для решения: необходимо:

Вычитание осуществляется точно так же: в случае с одинаковыми делителями их не трогаем, а числители последовательно вычитаем: — = =

. Если же знаменатели различные, то следует поступить, как и при сложении: найти НОК, множители, умножить доли, а затем вычесть уже доли с одинаковыми делителями.

Какие виды дробей существуют?

Для начала о том, что это такое. Дробь — число, которое имеет некоторую часть от единицы. Ее можно записать в двух видах. Первый носит название обыкновенной. То есть такая, у которой есть горизонтальная или наклонная черта. Она приравнивается к знаку деления.

В такой записи число, стоящее над черточкой, называется числителем, а под ней — знаменателем.

Среди обыкновенных выделяют правильные и неправильные дроби. У первых числитель по модулю всегда меньше знаменателя. Неправильные потому так и называются, что у них все наоборот. Значение правильной дроби всегда меньше единицы. В то время как неправильная всегда больше этого числа.

Есть еще смешанные числа, то есть такие у которых имеются целая и дробная части.

Второй вид записи — десятичная дробь. О ней отдельный разговор.

Чем отличаются неправильные дроби от смешанных чисел?

По своей сути, ничем. Это просто разная запись одного и того же числа. Неправильные дроби после несложных действий легко становятся смешанными числами. И наоборот.

Все зависит от конкретной ситуации. Иногда в заданиях удобнее использовать неправильную дробь. А порой необходимо перевести ее в смешанное число и тогда пример решится очень легко. Поэтому, что использовать: неправильные дроби, смешанные числа, — зависит от наблюдательности решающего задачу.

Смешанное число еще сравнивают с суммой целой части и дробной. Причем вторая всегда меньше единицы.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

Если требуется выполнить какое-либо действие с несколькими числами, которые записаны в разных видах, то нужно сделать их одинаковыми. Один из методов — представить числа в виде неправильных дробей.

Для этой цели потребуется выполнить действия по такому алгоритму:

• умножить знаменатель на целую часть;
• прибавить к результату значение числителя;
• записать ответ над чертой;
• знаменатель оставить тем же.

Вот примеры того, как записать неправильные дроби из смешанных чисел:

• 17 ¼ = (17 х 4 + 1) : 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 х 2 + 1) : 2 = 79/2.

Как записать неправильную дробь в виде смешанного числа?

Следующий прием противоположен рассмотренному выше. То есть когда все смешанные числа заменяются на неправильные дроби. Алгоритм действий будет таким:

• разделить числитель на знаменатель до получения остатка;
• записать частное на месте целой части смешанного;
• остаток следует разместить над чертой;
• делитель будет знаменателем.

Примеры такого преобразования:

76/14; 76:14 = 5 с остатком 6; ответом будет 5 целых и 6/14; дробную часть в этом примере нужно сократить на 2, получится 3/7; итоговый ответ — 5 целых 3/7.

108/54; после деления получается частное 2 без остатка; это значит, что не все неправильные дроби удается представить в виде смешанного числа; ответом будет целое — 2.

Как целое число превратить в неправильную дробь?

Бывают ситуации, когда необходимо и такое действие. Чтобы получить неправильные дроби с заранее известным знаменателем, потребуется выполнить такой алгоритм:

• умножить целое число на нужный знаменатель;
• записать это значение над чертой;
• разместить под ней знаменатель.

Самый простой вариант, когда знаменатель равен единице. Тогда ничего умножать не нужно. Достаточно просто написать целое число, которое дано в примере, а под чертой расположить единицу.

Пример : 5 сделать неправильной дробью со знаменателем 3. После умножения 5 на 3 получается 15. Это число будет знаменателем. Ответ задания дробь: 15/3.

Два подхода к решению заданий с разными числами

В примере требуется вычислить сумму и разность, а также произведение и частное двух чисел: 2 целых 3/5 и 14/11.

В первом подходе смешанное число будет представлено в виде неправильной дроби.

После выполнения действий, описанных выше, получится такое значение: 13/5.

Для того чтобы узнать сумму, нужно привести дроби к одинаковому знаменателю. 13/5 после умножения на 11 станет 143/55. А 14/11 после умножения на 5 примет вид: 70/55. Для вычисления суммы нужно только сложить числители: 143 и 70, а потом записать ответ с одним знаменателем. 213/55 — эта неправильная дробь ответ задачи.

При нахождении разности эти же числа вычитаются: 143 — 70 = 73. Ответом будет дробь: 73/55.

При умножении 13/5 и 14/11 не нужно приводить к общему знаменателю. Достаточно перемножить попарно числители и знаменатели. Получится ответ: 182/55.

Так же и при делении. Для правильного решения нужно заменить деление на умножение и перевернуть делитель: 13/5: 14/11 = 13/5 х 11/14 = 143/70.

Во втором подходе неправильная дробь обращается в смешанное число.

После выполнения действий алгоритма 14/11 обратится в смешанное число с целой частью 1 и дробной 3/11.

Во время вычисления суммы нужно сложить целые и дробные части по отдельности. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Итоговый ответ получается 3 целых 48/55. В первом подходе была дробь 213/55. Проверить правильность можно, переведя его в смешанное число. После деления 213 на 55 получается частное 3 и остаток 48. Нетрудно заметить, что ответ правильный.

При вычитании знак «+» заменяется на «-». 2 — 1 = 1, 33/55 — 15/55 = 18/55. Для проверки ответ из предыдущего подхода нужно перевести в смешанное число: 73 делится на 55 и получается частное 1 и остаток 18.

Для нахождения произведения и частного пользоваться смешанными числами неудобно. Здесь всегда рекомендуется переходить к неправильным дробям.

Как сделать из неправильной дроби правильную?

Само слово — дробь означает, что число дробное, оно меньше целого (как минимум единицы).

Следовательно, необходимо выделить целое число из числителя. Например, число 30/4 — дробь неправильная, поскольку 30 больше, чем 4. Значит, нужно просто разделить 30 на 4 и получим число до запятой — 7, его то и ставим перед дробью. Умножим 7 на 4 и вычтем это число из 30 — получится 2 — оно будет в числителе дроби. Итог — 7 2/4, сокращаем — 7 1/2. В вашем примере, ответ — 2 3/4.

Для того необходимо чтслитель: на знаменатель.

То целое, что получилось — пишите в числитель. Знаменатель тот, что был. Когда поделите — записывайте в целую часть.

11:4=2 (3 остаток).

Получаем правил-ую дробь: 2 — целых 34

Чтобы сделать из неправильной дроби правильную, нужно выявить целые части и отнять их из неправильной дроби. В нашем случае неправильная дробь 11/4. Целых частей будет две (2). Вычитаем их и получаем правильную дробь: две целых три четвртых (2 целых 3/4).

Неправильную дробь, в нашем случае 11/4 нужно перевести в правильную, т.е. в этом случае смешанную дробь. Если по-простому, то дробь неправильная, потому что в ней помимо дроби есть и целое число. Это как стоит в холодильнике тортик непочатый, хоть и порезанный, а на столе — осталось несколько кусочков от второго. Когда говорим об 11/4, то мы уже не знаем о двух целых тортах, видим лишь одиннадцать крупных кусков. 11 разделили на 4, получили 2, а остаток 11-8=3. Итак, 2 целых 3/4, теперь дробь правильная, в ней числитель поменьше знаменателя будет, но смешанная, так как без целых единиц расчет не обошелся.

Чтобы из неправильной дроби сделать правильную, надо числитель разделить на знаменатель. Полученное целое число выносим перед дробью, а остаток вписываем в числитель. Знаменатель не изменяется.

Например: дробь 11/4 — неправильная, где числитель равен 11, а знаменатель — 4.

Сначала 11 делим на 4, получим 2 целых и 3 остаток. Выносим 2 перед дробью, а остаток 3 пишем в числитель 3/4. Таким образом дробь становится правильной — 2 целых и 3/4.

У неправильной дроби знаменатель оказывается меньше числителя, что говорит о том, что в этой дроби имеются целые части, которые можно выделить и получить правильную дробь с целым числом.

Самый простой способ поделить числитель на знаменатель. Полученное целое число ставим слева от дроби, а остаток пишем в числитель, знаменатель остается тем же самым.

Например 11/4. Делим 11 на 4 и получаем 2 и остаток 3. Двойка -это число, которое ставим рядом с дробью, а тройку пишем в числитель дроби. Выходит 2 и 3/4.

Чтобы ответить на этот несложный вопрос, можно решить такую же несложную задачку:

Петя и Валя пришли в компанию сверстников. Всех вместе их стало 11. У Вали были с собой яблоки (но не много) и чтобы угостить всех Петя разрезал каждое на четыре части и раздал. Хватило всем и даже пять кусочков осталось.

Сколько яблок раздал Петя и сколько яблок осталось? Сколько их было всего?

А можно записать это математически

11 кусочков яблока это в нашем случае 11/4 — получили неправильную дробь, так как числитель больше знаменателя.

Чтобы выделить целую часть (преобразовать неправильную дробь в правильную), нужно числитель разделить на знаменатель , неполное частное (в нашем случае это 2) записать слева, остаток (3)оставить в числителе а знаменатель не трогать.

В результате получим 11/4 = 11:4 = 2 3/4 яблока раздал Петя.

Аналогично 5/4 = 1 1/4 яблок осталось.

(11+5)/4 = 16/4 = 4 яблока принесла Валя

Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе - это целая часть дроби. Цифра после запятой - числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число - в знаменателе будет 10, если двухзначное - 100, трехзначное - 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить . В наших примерах

Преобразование дроби в десятичное число

Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или

Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 ... В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.

Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,

Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,

Преобразование смешанной дроби в неправильную

Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть

При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей

Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)

Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз "3" вмещается в "23". Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой - искомое. Это "7". Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную "7" умножаем на знаменатель "3" и из числителя "23" вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя "23", если изъять максимальное количество "3". Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат

Инструкция

Найдите числитель результирующей дроби, который должен остаться после выделения из нее целой части. Для этого умножьте вычисленную целую часть (20) на знаменатель (23) и отнимите результат (20*23=460) от числителя исходной дроби (475). Эту операцию тоже можно проделать в уме, столбиком или с помощью калькулятора (475-460=15).

Соберите вычисленные данные в одну запись в форме смешанной дроби - сначала напишите целую часть (20), затем , потом поставьте правильную с числителем (15) и (23). Для использованного в качестве образца примера преобразование неправильной дроби в правильную (точнее - в смешанную) можно записать так: 475/23=20 15/23.

Часто приходится делить на части что-либо, и те части, на которые поделено целое, являются дробями. В математике существует несколько видов дробей: десятичные (0,1; 2,5 и так далее) и обыкновенные (1/3; 5/9; 67/89 и так далее). Именно обыкновенные дроби бывают правильными и неправильными.

Инструкция

Обыкновенная дробь называется правильной, если число, стоящее в ее числителе, меньше числа, стоящего в знаменателе. Сокращение дробей производится для работы с наименее большими числами.

Инструкция

Чтобы смешанное число перевести

В этом материале мы разберем такое понятие, как смешанные числа. Начнем, как всегда, с определения и небольших примеров, потом поясним связь смешанных чисел и неправильных дробей. После этого мы изучим, как правильно выделять целую часть из дроби и получать в результате целое число.

Понятие смешанного числа

Если мы возьмем сумму n + a b , где значением n может быть любое натуральное число, а a b представляет из себя правильную обыкновенную дробь, то мы можем записать то же самое, не используя плюс: n a b . Возьмем конкретные числа для ясности: так, 28 + 5 7 – это то же самое, что и 28 5 7 . Запись дроби рядом с целым числом принято называть смешанным числом.

Определение 1

Смешанное число представляет собой такое число, которое равно сумме натурального числа n с правильной обыкновенной дробью a b . В таком случае n является целой частью числа, а a b – его дробной частью.

Из определения следует, что любое смешанное число равно тому, что получится в результате сложения его целой и дробной части. Таким образом, будет выполняться равенство n a b = n + a b .

Его также можно записать в виде n + a b = n a b .

Какие можно привести примеры смешанных чисел? Так, к ним относится 5 1 8 , при этом пятерка – это его целая часть, а одна восьмая – дробная. Еще примеры: 1 1 2 , 234 34 53 , 34000 6 25 .

Выше мы писали, что в дробной части смешанного числа должна стоять только правильная дробь. Иногда можно встретить записи вида 5 22 3 , 75 7 2 . Они не являются смешанными числами, т.к. их дробная часть неправильная. Их нужно понимать как сумму целой и дробной части. Такие числа можно привести к стандартному виду записи смешанных чисел, выделив целую часть из неправильной дроби и добавив ее к 5 и 75 в этих примерах соответственно.

Числа вида 0 3 14 также не относятся к смешанным. Здесь не выполняется первая часть условия: целая часть должна быть представлена только натуральным числом, а нуль им не является.

Как соотносятся между собой неправильные дроби и смешанные числа

Эту связь проще всего проследить на конкретном примере.

Пример 1

Возьмем целый торт и еще три четверти такого же. Согласно правилам сложения, у нас на столе находится 1 + 3 4 торта. Эту сумму можно представить в виде смешанного числа как 1 3 4 торта. Если мы возьмем целый торт и тоже разрежем его на четыре равные части, то у нас на столе будет 7 4 торта. Очевидно, что от разрезания количество не увеличилось, и 1 3 4 = 7 4 .

Наш пример доказывает, что в виде смешанного числа можно представить любую неправильную дробь.

Вернемся к нашим 7 4 торта, оставшимся на столе. Сложим из его кусочков один торт обратно (1 + 3 4) . У нас опять будет 1 3 4 .

Ответ: 7 4 = 1 3 4 .

Мы поняли, как приводить неправильную дробь к виду смешанного числа. Если в числителе неправильной дроби стоит такое число, которое можно разделить на знаменатель без остатка, то можно сделать это, и тогда наша неправильная дробь станет натуральным числом.

Пример 2

Например,

8 4 = 2 , так как 8: 4 = 2 .

Как перевести смешанное число в неправильную дробь

Чтобы успешно решать задачи, полезно уметь производить и обратное действие, то есть делать из смешанных чисел неправильные дроби. В этом пункте мы разберем, как правильно это сделать.

Для этого нужно воспроизвести следующую последовательность действий:

1. Для начала представляем имеющееся смешанное число n a b как сумму целой и дробной части. Получается n + a b

3.После этого выполняем уже знакомое действие – складываем две обыкновенные дроби n 1 и a b . Получившаяся в результате неправильная дробь и будет равной смешанному числу, данному в условии.

Разберем это действие на конкретном примере.

Пример 3

Представьте 5 3 7 в виде неправильной дроби.

Решение

Выполняем последовательно шаги указанного выше алгоритма. Наше число 5 3 7 – это сумма целой и дробной части, то есть 5 + 3 7 . Теперь пятерку запишем в виде 5 1 . У нас получилась сумма 5 1 + 3 7 .

Последний шаг – сложение дробей, имеющих разные знаменатели:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

Все решение к краткой форме можно записать как 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7 .

Ответ: 5 3 7 = 38 7 .

Таким образом, с помощью указанной выше цепочки действий мы можем перевести любое смешанное число n a b в неправильную дробь. У нас получилась формула n a b = n · b + a b , которую мы и будем брать для решения дальнейших задач.

Пример 4

Представьте 15 2 5 в виде неправильной дроби.

Решение

Возьмем указанную формулу и подставим в нее нужные значения. У нас n = 15 , a = 2 , b = 5 , следовательно, 15 2 5 = 15 · 5 + 2 5 = 77 5 .

Ответ: 15 2 5 = 77 5 .

Обычно мы не указываем неправильную дробь в качестве итогового ответа. Принято доводить вычисления до конца и заменять ее либо натуральным числом (разделив числитель на знаменатель), либо смешанным числом. Как правило, первый способ используется, когда разделить числитель на знаменатель можно без остатка, а второй – если такое действие невозможно.

Когда мы выделяем из неправильной дроби целую часть, мы просто заменяем ее равным смешанным числом.

Разберем, как именно это делается.

Определение 2

Приведем доказательство этого утверждения.

Нам требуется пояснить, почему q r b = a b . Для этого смешанное число q r b надо представить в виде неправильной дроби, выполнив все шаги алгоритма из предыдущего пункта. Поскольку – неполное частное, а r – остаток от деления a на b , то должно выполняться равенство a = b · q + r .

Таким образом, q · b + r b = a b поэтому q r b = a b . Это и есть доказательство нашего утверждения. Подытожим:

Определение 3

Выделение целой части из неправильной дроби a b осуществляется таким образом:

1) производим деление a на b с остатком и записываем неполное частное q и остаток r отдельно.

2) Записываем результаты в виде q r b . Это и есть наше смешанное число, равное исходной неправильной дроби.

Пример 5

Представьте 107 4 в виде смешанного числа.

Решение

Делим 104 на 7 столбиком:

Деление числителя a = 118 на знаменатель b = 7 дает нам в итоге неполное частное q = 16 и остаток r = 6 .

В итоге мы получаем, что неправильная дробь 118 7 равна смешанному числу q r b = 16 6 7 .

Ответ: 118 7 = 16 6 7 .

Нам осталось посмотреть, как заменить неправильную дробь натуральным числом (при условии, что ее числитель делится на знаменатель без остатка).

Для этого вспомним, какая связь существует между обыкновенными дробями и делением. Из этого можно вывести равенства: a b = a: b = c . Получается, что неправильную дробь a b можно заменить натуральным числом c .

Пример 6

Например, если в ответе получилась неправильная дробь 27 3 , то можем записать вместо нее 9 , поскольку 27 3 = 27: 3 = 9 .

Ответ: 27 3 = 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter