Деление целых чисел. Делимое, делитель, частное
Мы можем представить, как числа самого с собой столько раз, на сколько нам надо его умножить.
Деление можно представить, как многократное . Давайте рассмотрим этот вопрос поподробнее.
Деление чисел
Рассмотрим картинку.
На картинке мы видим 12 яблок на блюде. Яблоки разделены на четыре группы по 3 яблока. Записать это можно так:
12 ÷ 4 = 3
Число, которое мы делим, называется делимым , число на которое мы делим, называется делителем , а результат деления называется частным . В нашем примере делимое 12 , делитель 4 , а частное 3 .
Деление можно проверить умножением:
3 × 4 = 12
А также деление можно проверить, многократным вычитанием:
12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0
Мы видим, что если из 12 вычесть 4 раза 3 , то получится ноль . Значит, 12 на 4 делится без остатка .
Рассмотрим другой пример, разделим 13 на 4 .
Из рисунка видно, что при делении 13 яблок на 4 получился 3 и остаток – одно яблоко .
13 ÷ 4 = 3 (ост.1)
Проверим вычитанием:
13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1
Мы видим, что если из 13 четыре раза вычесть число 3, то останется 1. Наш пример называется делением с остатком. Здесь 13 – делимое , 4 – делитель , а 3 – неполное частное , 1 – остаток от деления .
Теперь проверим умножением:
3 × 4 + 1 = 13
Основные правила деления
1. НА НУЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ!
2. Если делимое и делитель равны, то частное будет равно 1:
а ÷ а = 1
То есть, если 5 груш надо разделить между пятью мальчиками, то каждому достанется по одной груше.
8 ÷ 8 = 1
12 ÷ 12 = 1
3. Если делимое равно нулю, и частное будет равно нулю:
0 ÷ а = 0
То есть, если ничего разделить на что угодно, то и получится ничего.
Пример:
0 ÷ 9 = 0
0 ÷ 34 = 0
4. Если делитель равен 1, то частное равно делимому:
а ÷ 1 = а
То есть, если у мальчика есть пять груш и он один, то ему достанутся все пять груш.
6 ÷ 1 = 6
81 ÷ 1 = 81
В следующих статьях мы рассмотрим деление больших чисел, а также будет представлено несколько заданий для закрепления материала.
Если вы хотите получать анонсы наших статей подпишитесь на рассылку “Новости сайта”. Для этого пройдите, пожалуйста по .
Деление - это арифметическое действие обратное умножению, посредством которого узнаётся, сколько раз одно число содержится в другом.
Число, которое делят, называют делимым , число, на которое делят, называют делителем , результат деления называют частным .
Подобно тому, как умножение заменяет неоднократно повторяемое сложение, деление заменяет неоднократно повторяемое вычитание. Например, число 10 разделить на 2 - значит узнать, сколько раз число 2 содержится в 10:
10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0
Повторяя операцию вычитания 2 из 10, мы находим, что 2 содержится в числе 10 пять раз. Это легко проверить сложив пять раз 2 или умножив 2 на 5:
10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 · 5
Для записи деления используется знак: (двоеточие), ÷ (обелюс) или / (косая черта). Он ставится между делимым и делителем, при этом делимое записывается слева от знака деления, а делитель - справа. Например, запись 10: 5 означает, что число 10 делится на число 5. Справа от записи деления ставят знак = (равно), после которого записывают результат деления. Таким образом, полная запись деления выглядит так:
Эта запись читается так: частное десяти и пяти равняется двум или десять разделить на пять равно два.
Также деление можно рассматривать как действие, посредством которого одно число делится на столько равных частей, сколько единиц содержится в другом числе (на которое делится). Таким образом определяется сколько единиц содержится в каждой отдельной части.
Например, у нас есть 10 яблок, разделив 10 на 2 мы получим две равные части, каждая из которых содержит 5 яблок:
Проверка деления
Для проверки деления можно частное умножить на делитель (или наоборот). Если в результате умножения получится число, равное делимому, то деление выполнено верно.
Рассмотрим выражение:
где 12 - это делимое, 4 - это делитель, а 3 - частное. Теперь выполним проверку деления, умножив частное на делитель:
или делитель на частное:
Деление также можно проверить делением, для этого надо делимое разделить на частное. Если в результате деления получится число, равное делителю, то деление выполнено правильно:
Основное свойство частного
У частного есть одно важное свойство:
Частное не изменится, если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же натуральное число.
Например,
32: 4 = 8, (32 · 3) : (4 · 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8
Деление числа самого на себя и единицу
Для любого натурального числа a верны равенства:
a
: 1 = a
a
: a
= 1
Число 0 в делении
При делении нуля на любое натуральное число получается нуль:
0: a = 0
Делить на нуль нельзя.
Рассмотрим, почему нельзя делить на нуль. Если делимое не нуль, а любое другое число, например 4, то разделить его на нуль значило бы найти такое число, которое после умножения на нуль даёт в результате число 4. Но такого числа нет, потому что любое число после умножения на нуль даёт снова нуль.
Если же делимое тоже равно нулю, то деление возможно, но частным может служить любое число, потому что в этом случае любое число после умножения на делитель (0) даёт нам делимое (т. е. снова 0). Таким образом, деление хоть и возможно, но не приводит к единственному определённому результату.
Данный урок посвящен изучению темы «Название компонентов и результата деления». Мы сможем узнать, как называются числа при делении. Также мы поговорим о том, как правильно читать деление и какие названия имеют компоненты и результат деления.
Посмотрите на данное выражение.
В этом выражении использован знак деления. Давайте его прочитаем.
21: 7 = 3 (21 разделить на 7, получим 3).
При делении, как и при другом математическом действии, каждое число имеет свое название.
Число, которое делят, называется делимое.
Число, на которое делят, называется делителем.
Результат деления называется частное. (Рис. 1)
Рис. 1. Названия чисел при делении
Давайте прочитаем это же выражение с использованием новых терминов.
21: 7 = 3 (делимое - 21, делитель - 7, частное равно 3).
Это же равенство можно записать по-другому. Частное 21 и 7 равно 3.
Давайте найдем частное, используя рисунки.
Выясним, сколько раз по 3 находится в числе 9.
Давайте число 9 для удобства представим в виде рисунка. (Рис. 2)
Рис. 2. Число 9
Сколько раз по 3 клубнички содержится в числе 9. Разделим клубнички по 3. (Рис. 3).
Рис. 3. Разделим клубнички по 3
Мы видим, что в числе 9 по 3 содержится 3 раза. Запишем это в виде выражения.
Прочитайте наше равенство.
9 разделить на 3, получится 3; делимое - 9, делитель - 3, частное - 3; частное 9 и 3 равно 3.
Давайте узнаем, сколько раз по 4 содержится в числе 8. Для того чтобы было удобнее, мы представим число 8 в виде рисунка. (Рис. 4).
Рис. 4. Число 8
Сколько раз по 4 содержится в числе 8?
Разделим число 8 на группы по 4. (Рис. 5)
Рис. 5. Разделим число 8 на группы по 4
Запишем с помощью выражения то, что мы выполнили.
Прочитаем наше равенство.
Делимое - 8, делитель - 4, частное - 2; частное 8 и 4 равно 2.
Давайте потренируемся записывать равенство, используя новые термины.
Частное 10 и 2 равно 5 .
Мы помним, что частное - это результат деления. Поэтому равенство запишем так:
Делимое - 12, делитель - 2, частное равно 6 .
Делимое, делитель и частное - это компоненты деления. Поэтому равенство будет выглядеть так:
Теперь попробуйте записать самостоятельно равенства:
Частное 15 и 3 равно 5 .
Делимое - 20, делитель - 5, частное - 4.
Правильный ответ:
На этом уроке мы узнали, как называются компоненты деления и результат деления. Так же мы научились считать равенства разными способами.
Список литературы
- Александрова Э.И. Математика. 2 класс. - М.: Дрофа, 2004.
- Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. - М.: Астрель, 2006.
- Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. - М.: Просвещение, 2012.
- Festival.1september.ru ().
- Nsportal.ru ().
- Irina-se.com ().
Домашнее задание
Составьте выражения и найдите их результаты:
а) делимое - 24, делитель - 6 б) делимое - 10, делитель - 2 в) делимое - 18, делитель - 6.
Решите выражения:
а) 14: 7 б) 28: 4 в) 30: 6
Дополните равенства пропущенными числами:
а) 16: * = 4 б) 21: 3 = * в) 25: * = 5
Деление (математика)
Деле́ние (операция деления) - одно из четырёх простейших арифметических действий, обратное умножению . Деление - это такая операция, в результате которой получается число (частное), которое при умножении на делитель даёт делимое. Существует несколько символов , используемых для обозначения оператора деления.
Рассмотрим, например, такой вопрос:
Сколько раз 3 содержится в 14?
Повторяя операцию вычитания 3 из 14, мы находим, что 3 «входит» в 14 четыре раза, и ещё «остаётся» число 2.
В этом случае число 14 называется делимым , число 3 - делителем , число 4 - (неполным) частным и число 2 - остатком (от деления) .
Результат деления также называют отношением .
Деление натуральных чисел
Обычно на остаток накладываются следующие ограничения (чтобы он был корректно, то есть однозначно, определён):
, ,где - делимое, - делитель, - частное и - остаток.
Деление целых чисел
Деление произвольных целых чисел несущественно отличается от деления натуральных чисел - достаточно поделить их модули и учесть правило знаков.
Однако деление целых чисел с остатком определяется неоднозначно. В одном случае, (так же как и без остатка) рассматривают сначала модули и в результате остаток приобретает тот же знак, что делитель или делимое (например, с остатком (-1)); в другом случае понятие остатка напрямую обобщается и ограничения заимствуются из натуральных чисел:
.Деление рациональных чисел
Отличие же заключается в том, что при делении многочленов основной упор делается на степени делимого и делителя, а не на коэффициенты. Поэтому обычно считается, что частное и делитель (а следовательно и остаток) определены с точностью до постоянного множителя.
Деление на ноль
По правилам стандартной арифметики деление на число 0 запрещено.
Другое дело - деление на бесконечно малую функцию или последовательность. Деление конечных функций на бесконечно малые приводит к появлению бесконечно больших, а отношение двух бесконечно малых называется неопределённостью 0/0, которую можно преобразовать (см. раскрытие неопределённостей) с тем, чтобы получить определённый результат.
Как следует из определения операции деления, результатом операции 0:0 может считаться любое действительное число, таким образом, значение операции 0:0 неопределенно и задача деления нуля на нуль имеет бесчисленное множество решений. . Это не соответствует стандартному определению бинарной операции , согласно которому результатом операции с двумя числами может быть только единственное значение.
Операции деления ненулевого числа на ноль не соответствует никакое действительное число.
Результат этой операции считается бесконечно большим и равным бесконечности :
, где
Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным a
или приближается к нему, то частное неограниченно увеличивается(по модулю).
Поскольку бесконечность не является действительным числом, то такая операция выходит за пределы алгебры действительных чисел, если бинарная операция в ней определяется как . .
См. также
Примечания
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Деление (математика)" в других словарях:
Деление c остатком (деление по модулю, нахождение остатка от деления, остаток от деления) арифметическая операция, результатом которой является два целых числа: неполное частное и остаток от деления целого числа на другое целое число.… … Википедия
Операция деления по модулю в различных языках программирования Язык Оператор Знак результата Делимое Ada mod Частное rem Делимое ASP Mod Не определено C (ISO 1990) % Не определено C (ISO 1999) … Википедия
В Викисловаре есть статья «деление» Деление: Деление (биология) бесполый способ размножения живых организмов. Деление клетки Деление (математика) математическая операция. Деление с остатком … Википедия
Функция y = 1/x. Когда x стремится к нулю справа, y стремится к бесконечности. Когда x стремится к нулю слева, y стремится к минус бесконечности … Википедия
- (начало) «Математика в девяти книгах» (кит. трад. 九章算術 … Википедия
I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия
Кипукамайок из книги Гуамана Пома де Айяла «Первая Новая Хроника и Доброе Правление». Слева у ног кипукамайока юпана, содержащая вычисления священного числа для песни «Сумак Ньюста» (в оригинале рукописи рисунок не цветной, а чёрно белый;… … Википедия
Я, ср. 1. Действие по глаг. делить (в 1 знач.). 2. Действие и состояние по глаг. делиться (в 1 знач.); распадение, членение на части. Деление общества на классы. || биол. Малый академический словарь