Modulu olan rasional bərabərsizliklər. Modulla bərabərsizliklərin həlli

Bu gün, dostlar, heç bir snook və sentimentallıq olmayacaq. Əvəzində mən sizi heç bir sual vermədən 8-9-cu sinif cəbr kursunda ən güclü rəqiblərdən biri ilə döyüşə göndərəcəyəm.

Bəli, siz hər şeyi düzgün başa düşdünüz: modullu bərabərsizliklərdən danışırıq. Bu cür problemlərin təxminən 90% -ni həll etməyi öyrənəcəyiniz dörd əsas texnikaya baxacağıq. Bəs qalan 10%? Yaxşı, onlar haqqında ayrı bir dərsdə danışacağıq. :)

Bununla belə, hər hansı bir texnikanı təhlil etməzdən əvvəl sizə artıq bilməli olduğunuz iki faktı xatırlatmaq istərdim. Əks təqdirdə, bugünkü dərsin materialını ümumiyyətlə başa düşməmək riski daşıyırsınız.

Artıq bilməli olduğunuz şey

Captain Obviousness, modul ilə bərabərsizlikləri həll etmək üçün iki şeyi bilmək lazım olduğuna işarə edir:

1. Bərabərsizliklər necə həll olunur;
2. Modul nədir?

İkinci nöqtədən başlayaq.

Modul Tərifi

Burada hər şey sadədir. İki tərif var: cəbri və qrafiki. Başlamaq üçün - cəbri:

Tərif. $x$ ədədinin modulu ya mənfi deyilsə, onun özüdür, ya da orijinal $x$ hələ də mənfidirsə, onun əksi ədəddir.

Belə yazılıb:

\[\sol| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Danışan sadə dildə, modul “mənfi olmayan ədəddir”. Məhz bu ikilikdə (bəzi yerlərdə orijinal nömrə ilə heç nə etmək lazım deyil, digərlərində isə bir növ mənfi cəhətləri aradan qaldırmaq lazımdır) yeni başlayan tələbələr üçün bütün çətinlik buradadır.

Daha varmı həndəsi tərif. Bunu bilmək də faydalıdır, lakin biz ona yalnız mürəkkəb və bəzi xüsusi hallarda müraciət edəcəyik, burada həndəsi yanaşma cəbri yanaşmadan daha əlverişlidir (spoiler: bu gün deyil).

Tərif. Nömrə xəttində $a$ nöqtəsi qeyd olunsun. Sonra modul $\left| x-a \right|$ bu xəttdə $x$ nöqtəsindən $a$ nöqtəsinə qədər olan məsafədir.

Bir şəkil çəksəniz, belə bir şey alacaqsınız:

Bu və ya digər şəkildə, modulun tərifindən onun əsas xassələri dərhal aşağıdakılardır: ədədin modulu həmişə qeyri-mənfi kəmiyyətdir. Bu fakt bugünkü bütün hekayəmizdən keçən qırmızı iplik olacaq.

Bərabərsizliklərin həlli. İnterval üsulu

İndi bərabərsizliklərə baxaq. Onların çoxu var, amma indi bizim vəzifəmiz ən azı onlardan ən sadəini həll etməkdir. Aşağı gələnlər xətti bərabərsizliklər, həmçinin interval metoduna.

Bu mövzuda iki böyük dərsim var (yeri gəlmişkən, çox, çox faydalıdır - onları öyrənməyi məsləhət görürəm):

1. Bərabərsizliklər üçün interval üsulu (xüsusilə videoya baxın);
2. Fraksiyalı rasional bərabərsizliklər çox geniş bir dərsdir, lakin ondan sonra heç bir sualınız olmayacaq.

Əgər bütün bunları bilirsinizsə, əgər “bərabərsizlikdən tənliyə keçək” ifadəsi sizdə özünüzü divara çırpmaq üçün qeyri-müəyyən bir istək yaratmırsa, deməli hazırsınız: dərsin əsas mövzusuna cəhənnəmə xoş gəlmisiniz. :)

1. “Modul funksiyadan azdır” formasının bərabərsizlikləri

Bu modullarla bağlı ən çox rast gəlinən problemlərdən biridir. Formanın bərabərsizliyini həll etmək tələb olunur:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ və $g$ funksiyaları istənilən ola bilər, lakin adətən onlar çoxhədlidirlər. Belə bərabərsizliklərə misallar:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \sağ) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\sol| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Hamısı aşağıdakı sxemə uyğun olaraq bir sətirdə sözün həqiqi mənasında həll edilə bilər:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g\dörd \sol(\Sağ ox \sol\( \başla(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(düzləşdir) \sağ.\sağ)\]

Moduldan xilas olduğumuzu görmək asandır, amma bunun müqabilində alırıq ikiqat bərabərsizlik(və ya eyni şeydir, iki bərabərsizlik sistemi). Ancaq bu keçid tamamilə hər şeyi nəzərə alır mümkün problemlər: modulun altındakı ədəd müsbət olarsa, metod işləyir; mənfi olarsa, yenə də işləyir; və hətta $f$ və ya $g$ əvəzinə ən qeyri-adekvat funksiya ilə belə metod yenə də işləyəcək.

Təbii ki, sual yaranır: daha sadə ola bilməzdi? Təəssüf ki, bu mümkün deyil. Bu modulun bütün nöqtəsidir.

Ancaq fəlsəfə ilə kifayətlənir. Gəlin bir neçə problemi həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Həll. Beləliklə, qarşımızda "modul azdır" şəklində klassik bir bərabərsizlik var - çevriləcək heç bir şey yoxdur. Alqoritmə uyğun işləyirik:

\[\begin(align) & \left| f\sağ| \lt g\Sağ ox -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Sağ ox -\sol(x+7 \sağ) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Önündə "mənfi" olan mötərizələri açmağa tələsməyin: tələsdiyinizə görə təhqiramiz bir səhv etməyiniz çox mümkündür.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\sol\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \sağa.\]

Problem iki elementar bərabərsizliyə endirildi. Onların həllərini paralel say xətləri üzərində qeyd edək:

Çoxlarının kəsişməsi

Bu dəstlərin kəsişməsi cavab olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ|+3\sol(x+1 \sağ) \lt 0\]

Həll. Bu iş bir az daha çətindir. Əvvəlcə ikinci termini sağa köçürərək modulu təcrid edək:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Aydındır ki, biz yenə də “modul daha kiçikdir” şəklində bərabərsizliyə sahibik, ona görə də artıq məlum olan alqoritmdən istifadə edərək moduldan qurturuq:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi diqqət edin: kimsə deyəcək ki, mən bütün bu mötərizələrlə bir az pozğunam. Ancaq bir daha xatırlatmaq istərdim ki, bizim əsas məqsədimiz budur bərabərsizliyi düzgün həll edin və cavabını alın. Daha sonra, bu dərsdə təsvir olunan hər şeyi mükəmməl mənimsədikdən sonra, onu özünüz istədiyiniz kimi təhrif edə bilərsiniz: mötərizələr açın, mənfi cəhətlər əlavə edin və s.

Başlayaq yalnız qurtulmaqla ikiqat minus sol:

\[-\sol(-3\sol(x+1 \sağ) \sağ)=\sol(-1 \sağ)\cdot \left(-3 \sağ)\cdot \sol(x+1 \sağ) =3\sol(x+1 \sağ)\]

İndi ikiqat bərabərsizlikdə bütün mötərizələri açaq:

Gəlin ikiqat bərabərsizliyə keçək. Bu dəfə hesablamalar daha ciddi olacaq:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizalayın) \sağa.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( düzləşdirin)\sağa.\]

Hər iki bərabərsizlik kvadratdır və interval metodundan istifadə etməklə həll edilə bilər (buna görə deyirəm: bunun nə olduğunu bilmirsinizsə, hələ modulları götürməmək daha yaxşıdır). Birinci bərabərsizlikdəki tənliyə keçək:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(hizalayın)\]

Göründüyü kimi, çıxış elementar şəkildə həll edilə bilən natamam kvadratik tənlikdir. İndi sistemin ikinci bərabərsizliyinə baxaq. Orada Vyeta teoremini tətbiq etməli olacaqsınız:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \sol(x-3 \sağ)\sol(x+2 \sağ)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(hizalayın)\]

Yaranan ədədləri iki paralel xətt üzərində qeyd edirik (birinci bərabərsizlik üçün ayrı, ikincisi üçün ayrı):

Yenə bərabərsizliklər sistemini həll etdiyimiz üçün bizi kölgəli çoxluqların kəsişməsi maraqlandırır: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Bu cavabdır.

Cavab: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Düşünürəm ki, bu nümunələrdən sonra həll sxemi son dərəcə aydındır:

1. Bütün digər şərtləri bərabərsizliyin əks tərəfinə keçirərək modulu təcrid edin. Beləliklə, $\left| formasının bərabərsizliyini alırıq f\sağ| \ltg$.
2. Yuxarıda təsvir olunan sxemə uyğun olaraq moduldan qurtulmaqla bu bərabərsizliyi həll edin. Nə vaxtsa ikiqat bərabərsizlikdən hər biri artıq ayrıca həll oluna bilən iki müstəqil ifadələr sisteminə keçmək lazım gələcək.
3. Nəhayət, qalan yalnız bu iki müstəqil ifadənin həllərini kəsməkdir - və budur, son cavabı alacağıq.

Oxşar alqoritm modul funksiyadan böyük olduqda aşağıdakı növ bərabərsizliklər üçün mövcuddur. Bununla belə, bir neçə ciddi “amma” var. İndi bu "amma"lar haqqında danışacağıq.

2. “Modul funksiyadan böyükdür” formasının bərabərsizlikləri

Onlar belə görünür:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Əvvəlki ilə oxşar? Görünür. Və hələ də bu cür problemlər tamamilə fərqli şəkildə həll olunur. Formal olaraq, sxem aşağıdakı kimidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Sağ ox \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başqa sözlə, biz iki halı nəzərdən keçiririk:

1. Birincisi, biz sadəcə modula məhəl qoymuruq və adi bərabərsizliyi həll edirik;
2. Sonra, mahiyyət etibarilə, modulu mənfi işarəsi ilə genişləndiririk və sonra bərabərsizliyin hər iki tərəfini -1-ə vururuq, məndə işarə var.

Bu halda, variantlar kvadrat mötərizə ilə birləşdirilir, yəni. Qarşımızda iki tələbin birləşməsi var.

Xahiş edirik bir daha qeyd edin: bu, sistem deyil, buna görə də məcmuədir cavabda çoxluqlar kəsişmək əvəzinə birləşir. Bu əsas fərqəvvəlki nöqtədən!

Ümumiyyətlə, bir çox tələbələr həmkarlar ittifaqları və kəsişmələrlə tamamilə qarışıqdırlar, buna görə də bu məsələni birdəfəlik həll edək:

• "∪" birlik işarəsidir. Əslində, bu bizə gələn stilizə edilmiş "U" hərfidir ingiliscə və “Birlik”in abreviaturasıdır, yəni. "Birliklər".
• "∩" kəsişmə işarəsidir. Bu cəfəngiyat heç bir yerdən gəlməyib, sadəcə olaraq “∪” ilə əks nöqtə kimi ortaya çıxdı.

Yadda saxlamağı daha da asanlaşdırmaq üçün eynək hazırlamaq üçün ayaqlarınızı bu işarələrə çəkin (yalnız indi məni narkomaniya və alkoqolizmi təbliğ etməkdə günahlandırmayın: əgər bu dərsi ciddi şəkildə öyrənirsinizsə, deməli, artıq narkotik aludəçisisiniz):

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu, aşağıdakıları ifadə edir: birlik (total) hər iki çoxluqdan elementləri ehtiva edir, buna görə də onların hər birindən heç bir şəkildə az deyil; lakin kəsişmə (sistem) yalnız həm birinci çoxluqda, həm də ikincidə eyni vaxtda olan elementləri ehtiva edir. Buna görə də çoxluqların kəsişməsi heç vaxt mənbə çoxluqlarından böyük deyil.

Yəni daha aydın oldu? Əladır. Gəlin məşqə keçək.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Həll. Sxemə uyğun olaraq davam edirik:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Sağ ox \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \sağ) \\\end(align) \ sağ.\]

Əhalidəki hər bərabərsizliyi həll edirik:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \sağa.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \sağa.\]

Hər bir nəticə dəsti rəqəm xəttində qeyd edirik və sonra onları birləşdiririk:

Dəstlər birliyi

Cavabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı aydındır.

Cavab: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\]

Həll. Yaxşı? Heç nə - hər şey eynidir. Modulu olan bərabərsizlikdən iki bərabərsizlik dəstinə keçirik:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Sağ ox \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\sonu(düzləşdirin) \sağa.\]

Hər bərabərsizliyi həll edirik. Təəssüf ki, oradakı köklər çox yaxşı olmayacaq:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(hizalayın)\]

İkinci bərabərsizlik də bir qədər vəhşidir:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(hizalayın)\]

İndi bu nömrələri iki oxda qeyd etməlisiniz - hər bərabərsizlik üçün bir ox. Bununla belə, nöqtələr qeyd edilməlidir düzgün qaydada: Necə daha böyük rəqəm, nöqtəni nə qədər sağa keçirsək.

Və burada bizi bir quraşdırma gözləyir. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ rəqəmləri ilə hər şey aydındırsa (birincinin payındakı şərtlər kəsr ikincinin payındakı şərtlərdən kiçikdir, ona görə də cəmi də azdır), rəqəmləri ilə $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ da heç bir çətinlik olmayacaq (müsbət rəqəm açıq-aydın daha mənfi), onda sonuncu cütlükdə hər şey o qədər də aydın deyil. Hansı daha böyükdür: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ və ya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nöqtələrin say xətlərində yerləşdirilməsi və əslində cavab bu sualın cavabından asılı olacaq.

Beləliklə, müqayisə edək:

\[\begin(matris) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matris)\]

Kökü təcrid etdik, bərabərsizliyin hər iki tərəfində mənfi olmayan ədədlər aldıq, ona görə də hər iki tərəfi kvadrat etmək hüququmuz var:

\[\begin(matris) ((\left(2+\sqrt(13) \sağ))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \sağ))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matris)\]

Düşünürəm ki, $4\sqrt(13) \gt 3$, buna görə də $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, baltalardakı son nöqtələr belə yerləşdiriləcək:

Çirkin köklər hadisəsi

Nəzərinizə çatdırım ki, biz çoxluğu həll edirik, buna görə də cavab kölgəli çoxluqların kəsişməsi deyil, birlik olacaq.

Cavab: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty \sağ)$

Gördüyünüz kimi, sxemimiz hər ikisi üçün əla işləyir sadə tapşırıqlar, və çox çətin olanlar üçün. Yeganə şey " zəiflik“Bu yanaşmada düzgün müqayisə etmək lazımdır irrasional ədədlər(və inanın: bu, yalnız köklər deyil). Ancaq müqayisə məsələlərinə ayrıca (və çox ciddi) bir dərs həsr olunacaq. Və davam edirik.

3. Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklər

İndi ən maraqlı hissəyə keçirik. Bunlar formanın bərabərsizlikləridir:

\[\sol| f\sağ| \gt\left| g\right|\]

Ümumiyyətlə, indi danışacağımız alqoritm yalnız modul üçün düzgündür. Sol və sağda mənfi olmayan ifadələrin zəmanətli olduğu bütün bərabərsizliklərdə işləyir:

Bu vəzifələrlə nə etməli? Sadəcə unutmayın:

Mənfi olmayan “quyruqları” olan bərabərsizliklərdə hər iki tərəf istənilən təbii gücə qaldırıla bilər. Əlavə məhdudiyyətlər olmayacaq.

Əvvəla, kvadratlaşdırma ilə maraqlanacağıq - modulları və kökləri yandırır:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\sol(\sqrt(f) \sağ))^(2))=f. \\\end(hizalayın)\]

Sadəcə bunu kvadratın kökü ilə qarışdırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\sol| f \right|\ne f\]

Tələbə modul quraşdırmağı unutduqda saysız-hesabsız səhvlər edildi! Ancaq bu, tamamilə fərqli bir hekayədir (bunlar, sanki, irrasional tənliklərdir), ona görə də indi bu mövzuya girməyəcəyik. Gəlin bir neçə problemi daha yaxşı həll edək:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Həll. Gəlin dərhal iki şeyə diqqət yetirək:

1. Deyil ciddi bərabərsizlik. Nömrə xəttindəki nöqtələr deşiləcək.
2. Bərabərsizliyin hər iki tərəfi açıq şəkildə mənfi deyildir (bu modulun xüsusiyyətidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Beləliklə, moduldan xilas olmaq və problemi adi interval metodundan istifadə edərək həll etmək üçün bərabərsizliyin hər iki tərəfini kvadratlaşdıra bilərik:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \sağ)) )^(2)); \\ & ((\sol(x+2 \sağ))^(2))\ge ((\left(2x-1 \sağ))^(2)). \\\end(hizalayın)\]

Sonuncu mərhələdə bir az aldatdım: modulun bərabərliyindən istifadə edərək terminlərin ardıcıllığını dəyişdim (əslində $1-2x$ ifadəsini −1-ə vurdum).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(\sol(2x-1 \sağ)-\left(x+2 \sağ) \sağ)\cdot \left(\left(2x-1 \sağ)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \sağ)\cdot \left(2x-1+x+2 \sağ)\le 0; \\ & \left(x-3 \sağ)\cdot \left(3x+1 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Gəlin bərabərsizlikdən tənliyə keçək:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(hizalayın)\]

Tapılan kökləri say xəttində qeyd edirik. Bir daha: orijinal bərabərsizlik ciddi olmadığı üçün bütün nöqtələr kölgədədir!

Modul işarəsindən qurtulmaq

Xüsusilə inadkar olanlar üçün xatırlatmaq istəyirəm: biz tənliyə keçməzdən əvvəl yazılmış sonuncu bərabərsizlikdən işarələri götürürük. Və eyni bərabərsizlikdə tələb olunan sahələri boyayırıq. Bizim vəziyyətimizdə $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$-dır.

Tamam, indi hər şey bitdi. Problem həll olunur.

Cavab: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Həll. Biz hər şeyi eyni edirik. Mən şərh verməyəcəyəm - sadəcə hərəkətlərin ardıcıllığına baxın.

Kvadrat:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \sağ| \sağ))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ| \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \sağ))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağa))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \sağ)\times \\ & \times \sol(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \sağ)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \sağ)\le 0. \\\end(align)\]

Interval metodu:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ox x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Say xəttində yalnız bir kök var:

Cavab bütöv bir intervaldır

Cavab: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Son tapşırıq haqqında kiçik bir qeyd. Tələbələrimdən birinin dəqiq qeyd etdiyi kimi, bu bərabərsizlikdəki hər iki submodul ifadəsi açıq şəkildə müsbətdir, ona görə də modul işarəsi sağlamlığa zərər vermədən buraxıla bilər.

Ancaq bu, tamamilə fərqli bir düşüncə səviyyəsi və fərqli yanaşmadır - onu şərti olaraq nəticələr metodu adlandırmaq olar. Bu barədə - ayrı bir dərsdə. İndi bugünkü dərsin yekun hissəsinə keçək və həmişə işləyən universal alqoritmə baxaq. Bütün əvvəlki yanaşmalar gücsüz olsa belə. :)

4. Variantların sadalanması üsulu

Bəs bütün bu üsullar kömək etmirsə? Bərabərsizliyi mənfi olmayan quyruqlara endirmək mümkün deyilsə, modulu təcrid etmək mümkün deyilsə, ümumiyyətlə ağrı, kədər, melankoliya varsa?

Sonra bütün riyaziyyatın "ağır artilleriyası" səhnəyə çıxır - kobud qüvvə üsulu. Modulu olan bərabərsizliklərə münasibətdə belə görünür:

1. Bütün submodul ifadələri yazın və onları sıfıra bərabər qoyun;
2. Alınan tənlikləri həll edin və bir ədəd xəttində tapılan kökləri qeyd edin;
3. Düz xətt bir neçə hissəyə bölünəcək, onların daxilində hər bir modul sabit işarəyə malikdir və buna görə də unikal şəkildə aşkarlanır;
4. Hər bir belə bölmə üzrə bərabərsizliyi həll edin (2-ci addımda əldə edilən kök-sərhədləri ayrıca nəzərdən keçirə bilərsiniz - etibarlılıq üçün). Nəticələri birləşdirin - cavab bu olacaq. :)

Belə ki, necə? Zəif? Asanlıqla! Yalnız uzun müddətdir. Gəlin praktikada baxaq:

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Həll. Bu cəfəngiyat $\left| kimi bərabərsizliklərə köklənmir f\sağ| \lt g$, $\sol| f\sağ| \gt g$ və ya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, buna görə də irəlidə hərəkət edirik.

Submodul ifadələri yazırıq, onları sıfıra bərabərləşdiririk və kökləri tapırıq:

\[\begin(align) & x+2=0\Sağ ox x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ox x=1. \\\end(hizalayın)\]

Ümumilikdə, say xəttini üç hissəyə bölən iki kökümüz var, onların içərisində hər modul unikal şəkildə aşkar edilir:

Submodul funksiyaların ədəd xəttinin sıfırlara bölünməsi

Hər bölməyə ayrıca baxaq.

1. $x \lt -2$ olsun. Onda hər iki submodul ifadə mənfi olur və orijinal bərabərsizlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(hizalayın)\]

Kifayət qədər sadə bir məhdudiyyət aldıq. $x \lt -2$ olan ilkin fərziyyə ilə kəsişək:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Sağ ox x\in \varnothing \]

Aydındır ki, $x$ dəyişəni eyni vaxtda −2-dən kiçik və 1,5-dən böyük ola bilməz. Bu sahədə heç bir həll yolu yoxdur.

1.1. Sərhəd halını ayrıca nəzərdən keçirək: $x=-2$. Gəlin bu rəqəmi ilkin bərabərsizliklə əvəz edək və yoxlayaq: doğrudurmu?

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \sağ| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \sağ|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Aydındır ki, hesablamalar zənciri bizi düzgün olmayan bərabərsizliyə gətirib çıxarıb. Buna görə də ilkin bərabərsizlik də yanlışdır və $x=-2$ cavaba daxil edilmir.

2. İndi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modul artıq "artı" ilə açılacaq, lakin sağ modul hələ də "minus" ilə açılacaq. Bizdə:

\[\başla(align) & x+2 \lt -\sol(x-1 \sağ)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2.5 \\\sonu(hizalayın)\]

Yenə orijinal tələblə kəsişir:

\[\sol\( \başlamaq(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(hizalamaq) \sağa.\Sağ ox x\in \varheç bir şey \]

Və yenə də həllər çoxluğu boşdur, çünki həm −2,5-dən kiçik, həm də −2-dən böyük olan heç bir ədəd yoxdur.

2.1. Və yenidən xüsusi hal: $x=1$. Orijinal bərabərsizliyi əvəz edirik:

\[\begin(align) & ((\sol. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \sağ|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Sağ ox \varnothing . \\\end(hizalayın)\]

Əvvəlki “xüsusi hal” kimi, $x=1$ rəqəmi aydın şəkildə cavaba daxil edilmir.

3. Xəttin sonuncu hissəsi: $x \gt 1$. Burada bütün modullar artı işarəsi ilə açılır:

\[\başla(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Və yenə tapılan çoxluğu orijinal məhdudiyyətlə kəsirik:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \sağa.\Sağ ox x\in \left(4.5;+\infty \sağ)\ ]

Nəhayət! Cavab olacaq bir interval tapdıq.

Cavab: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Nəhayət, real problemləri həll edərkən sizi axmaq səhvlərdən xilas edə biləcək bir qeyd:

Modullu bərabərsizliklərin həlli adətən say xəttində fasiləsiz çoxluqları - intervalları və seqmentləri təmsil edir. İzolyasiya edilmiş nöqtələr daha az yayılmışdır. Və hətta daha az hallarda, həllin sərhədi (seqmentin sonu) nəzərdən keçirilən diapazonun sərhədi ilə üst-üstə düşür.

Nəticə etibarilə, əgər sərhədlər (eyni “xüsusi hallar”) cavaba daxil edilmirsə, bu sərhədlərin solunda və sağında olan sahələr demək olar ki, cavaba daxil edilməyəcək. Və əksinə: sərhəd cavaba daxil oldu, bu o deməkdir ki, onun ətrafındakı bəzi ərazilər də cavablar olacaq.

Həlllərinizi nəzərdən keçirərkən bunu nəzərə alın.

Riyaziyyat elmin müdrikliyinin simvoludur,

elmi ciddilik və sadəlik modeli,

elmdə mükəmməllik və gözəllik standartı.

Rus filosofu, professor A.V. Voloşinov

Modulu olan bərabərsizliklər

Məktəb riyaziyyatında həlli ən çətin məsələlər bərabərsizliklərdir, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir. Bu cür bərabərsizlikləri uğurla həll etmək üçün modulun xassələrini yaxşı bilməli və onlardan istifadə etmək bacarığına malik olmalısınız.

Əsas anlayışlar və xassələr

Modul ( mütləq dəyər) həqiqi ədəd ilə işarələnir və aşağıdakı kimi müəyyən edilir:

TO sadə xassələri moduluna aşağıdakı əlaqələr daxildir:

VƏ .

Qeyd, son iki xassə istənilən cüt dərəcə üçün etibarlıdır.

Üstəlik, əgər, harada, onda və

Daha mürəkkəb modul xüsusiyyətləri, modullarla tənlik və bərabərsizliklərin həlli zamanı səmərəli istifadə oluna bilər, aşağıdakı teoremlər vasitəsilə tərtib edilir:

Teorem 1.İstənilən analitik funksiyalar üçün Və bərabərsizlik doğrudur.

Teorem 2. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Teorem 3. Bərabərlik bərabərsizliyə bərabərdir.

Məktəb riyaziyyatında ən çox rast gəlinən bərabərsizliklər, modul işarəsi altında naməlum dəyişənləri ehtiva edir, formanın bərabərsizlikləridir və harada bəzi müsbət sabit.

Teorem 4. Bərabərsizlik ikiqat bərabərsizliyə bərabərdir, və bərabərsizliyin həllibərabərsizliklər toplusunun həllinə qədər azaldır Və .

Bu teorem 6 və 7-ci teoremlərin xüsusi halıdır.

Daha mürəkkəb bərabərsizliklər, modulu ehtiva edən formanın bərabərsizlikləridir, Və .

Belə bərabərsizliklərin həlli üsulları aşağıdakı üç teoremdən istifadə etməklə tərtib edilə bilər.

Teorem 5. Bərabərsizlik iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə bərabərdir

mən (1)

Sübut. O vaxtdan bəri

Bu (1) bəndinin etibarlılığını nəzərdə tutur.

Teorem 6. Bərabərsizlik bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir

Sübut.Çünki, sonra bərabərsizlikdən bunu izləyir . Bu şərtlə bərabərsizlikvə bu halda ikinci bərabərsizliklər sistemi (1) uyğunsuz olacaq.

Teorem sübut edilmişdir.

Teorem 7. Bərabərsizlik bir bərabərsizliyin və iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə bərabərdir

mən (3)

Sübut., sonra bərabərsizlik həmişə icra olunur, Əgər .

Qoy, sonra bərabərsizlikbərabərsizliyə bərabər olacaqdır, ondan iki bərabərsizlik çoxluğu gəlir Və .

Teorem sübut edilmişdir.

“Bərabərsizliklər, modul işarəsi altında dəyişənləri ehtiva edir."

Modulla bərabərsizliklərin həlli

Ən çox sadə üsul modullu bərabərsizliklərin həlli üsuludur, modulun genişləndirilməsinə əsaslanır. Bu üsul universaldır, lakin ümumi halda onun istifadəsi çox çətin hesablamalara səbəb ola bilər. Buna görə də tələbələr bu cür bərabərsizliklərin həlli üçün digər (daha effektiv) üsul və üsulları bilməlidirlər. Xüsusilə, teoremləri tətbiq etmək bacarığına malik olmaq lazımdır, bu məqalədə verilmişdir.

Misal 1.Bərabərsizliyi həll edin

. (4)

Həll.Biz bərabərsizliyi (4) “klassik” metoddan – modulların aşkarlanması üsulundan istifadə edərək həll edəcəyik. Bu məqsədlə ədəd oxunu bölürük nöqtələr və intervallara bölün və üç halı nəzərdən keçirin.

1. Əgər , onda , , , və bərabərsizlik (4) formasını alır və ya .

İş burada nəzərdən keçirildiyi üçün bərabərsizliyin həllidir (4).

2. Əgər, onda (4) bərabərsizliyindən alırıq və ya . Fasilələrin kəsişməsindən bəri Və boşdur, onda baxılan həllərin intervalında bərabərsizlik yoxdur (4).

3. Əgər, onda (4) bərabərsizlik formasını alır və ya . Aydındır ki bərabərsizliyin də həllidir (4).

Cavab: , .

Misal 2. Bərabərsizliyi həll edin.

Həll. Fərz edək ki. Çünki, onda verilmiş bərabərsizlik şəklini alır və ya . O vaxtdan bəri və buradan irəli gəlir və ya .

Bununla belə, buna görə də və ya.

Misal 3. Bərabərsizliyi həll edin

. (5)

Həll.Çünki, onda (5) bərabərsizlik bərabərsizliklərə bərabərdir və ya . Buradan, 4-cü teoremə görə, bir sıra bərabərsizliklərimiz var Və .

Cavab: , .

Misal 4.Bərabərsizliyi həll edin

. (6)

Həll. işarə edək. Onda (6) bərabərsizliyindən , və ya bərabərsizliklərini alırıq.

Buradan, interval metodundan istifadə etməklə, alırıq. Çünki, onda burada bərabərsizliklər sistemimiz var

(7) sisteminin birinci bərabərsizliyinin həlli iki intervalın birləşməsidir Və , ikinci bərabərsizliyin həlli isə ikiqat bərabərsizlikdir. Bu o deməkdir ki, (7) bərabərsizliklər sisteminin həlli iki intervalın birləşməsidir Və .

Cavab: ,

Misal 5.Bərabərsizliyi həll edin

. (8)

Həll. (8) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi çevirək:

Və ya .

Interval metodundan istifadə, bərabərsizliyin həllini alırıq (8).

Cavab: .

Qeyd. Əgər və 5-ci teorem şərtlərinə qoysaq, alarıq.

Misal 6. Bərabərsizliyi həll edin

. (9)

Həll. (9) bərabərsizliyindən belə çıxır. (9) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi çevirək:

Və ya

O vaxtdan bəri və ya.

Cavab: .

Misal 7.Bərabərsizliyi həll edin

. (10)

Həll. Bundan sonra və , sonra və ya .

Bu mövzuda və bərabərsizlik (10) formasını alır

Və ya

. (11)

Bundan sonra və ya . olduğundan, (11) bərabərsizliyi də və ya nəzərdə tutur.

Cavab: .

Qeyd. 1-ci teoremi bərabərsizliyin sol tərəfinə tətbiq etsək (10), onda alırıq . Bundan və bərabərsizlikdən (10) belə çıxır, nə və ya . Çünki, onda (10) bərabərsizlik formasını alır və ya .

Misal 8. Bərabərsizliyi həll edin

. (12)

Həll. O vaxtdan bəri və bərabərsizlikdən (12) belə çıxır və ya . Bununla belə, buna görə də və ya. Buradan alırıq və ya .

Cavab: .

Misal 9. Bərabərsizliyi həll edin

. (13)

Həll. 7-ci teoremə görə (13) bərabərsizliyinin həlli və ya .

Qoy indi olsun. Bu halda və bərabərsizlik (13) formasını alır və ya .

Əgər intervalları birləşdirsəniz Və , onda formanın (13) bərabərsizliyinin həllini alırıq.

Misal 10. Bərabərsizliyi həll edin

. (14)

Həll.(14) bərabərsizliyini ekvivalent formada yenidən yazaq: . Bu bərabərsizliyin sol tərəfinə 1-ci teoremi tətbiq etsək, bərabərsizliyi əldə edirik.

Buradan və 1-ci Teoremdən belə çıxır, (14) bərabərsizliyi istənilən qiymət üçün ödənilir.

Cavab: istənilən nömrə.

Misal 11. Bərabərsizliyi həll edin

. (15)

Həll. Teorem 1-in bərabərsizliyin sol tərəfinə tətbiqi (15), alırıq . Bu və (15) bərabərsizliyi tənliyi verir, forması olan.

3-cü teoremə görə, tənliyi bərabərsizliyə bərabərdir. Buradan alırıq.

Misal 12.Bərabərsizliyi həll edin

. (16)

Həll. (16) bərabərsizlikdən 4-cü teoremə görə bərabərsizliklər sistemini alırıq

Bərabərsizliyi həll edərkən6-cı teoremdən istifadə edək və bərabərsizliklər sistemi əldə edəkondan irəli gəlir.

Bərabərsizliyi nəzərdən keçirin. 7-ci teoremə görə, bərabərsizliklər toplusunu alırıq Və . İkinci əhali bərabərsizliyi istənilən real üçün etibarlıdır.

Beləliklə, (16) bərabərsizliyinin həlli.

Misal 13.Bərabərsizliyi həll edin

. (17)

Həll. 1-ci teoremə görə yaza bilərik

(18)

Bərabərsizliyi (17) nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik ki, hər iki bərabərsizlik (18) bərabərliyə çevrilir, yəni. tənliklər sistemi mövcuddur

Teorem 3 ilə bu sistem tənliklər bərabərsizliklər sisteminə ekvivalentdir

və ya

Misal 14.Bərabərsizliyi həll edin

. (19)

Həll. O vaxtdan bəri. Gəlin bərabərsizliyin hər iki tərəfini (19) hər hansı bir dəyər üçün yalnız götürən ifadə ilə çarpaq. müsbət dəyərlər. Sonra formanın (19) bərabərsizliyinə ekvivalent olan bərabərsizlik əldə edirik

Buradan və ya, haradan alırıq. O vaxtdan və onda (19) bərabərsizliyinin həlli olur Və .

Cavab: , .

Modulla bərabərsizliklərin həlli üsullarını daha dərindən öyrənmək üçün dərsliklərə müraciət etməyi məsləhət görürük., tövsiyə olunan ədəbiyyat siyahısında verilmişdir.

1. Kolleclərə qəbul olan abituriyentlər üçün riyaziyyatdan məsələlər toplusu / Red. M.İ. Skanavi. – M.: Sülh və Təhsil, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: bərabərsizliklərin həlli və sübutu üsulları. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 s.

3. Suprun V.P. Orta məktəb şagirdləri üçün riyaziyyat: qeyri-standart üsullar problemin həlli. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 s.

Hələ suallarınız var?

Repetitordan kömək almaq üçün qeydiyyatdan keçin.

vebsayt, materialı tam və ya qismən köçürərkən mənbəyə keçid tələb olunur.

Modullarla bərabərsizliklərin aşkarlanması üsulları (qaydaları) submodul funksiyaların sabit işarəsi intervallarından istifadə etməklə modulların ardıcıl açıqlanmasından ibarətdir. Son variantda problemin şərtlərini ödəyən interval və ya intervalların tapıldığı bir neçə bərabərsizlik əldə edilir.

Gəlin praktikada ümumi nümunələrin həllinə keçək.

Modullarla xətti bərabərsizliklər

Xətti dedikdə dəyişənin xətti olaraq tənliyə daxil olduğu tənlikləri nəzərdə tuturuq.

Misal 1. Bərabərsizliyin həllini tapın

Həll:
Məsələnin şərtlərindən belə çıxır ki, modullar x=-1 və x=-2-də sıfıra çevrilir. Bu nöqtələr say xəttini intervallara bölür

Bu intervalların hər birində verilmiş bərabərsizliyi həll edirik. Bunun üçün ilk növbədə tərtib edirik qrafik təsvirlər submodul funksiyaların daimi işarəsi sahələri. Onlar funksiyaların hər birinin əlamətləri olan sahələr kimi təsvir edilmişdir

və ya bütün funksiyaların işarələri olan intervallar.

İlk intervalda modulları genişləndiririk

Hər iki tərəfi mənfi birə vururuq və bərabərsizlikdəki işarə əks tərəfə dəyişəcək. Əgər bu qayda sizə öyrəşməkdə çətinlik çəkirsə, mənfidən xilas olmaq üçün hər bir hissəni işarənin arxasına keçirə bilərsiniz. Sonda alacaqsınız

x>-3 çoxluğunun tənliklərin həll olunduğu sahə ilə kəsişməsi (-3;-2) intervalı olacaqdır. Həll yollarını tapmaq asan olanlar üçün bu sahələrin kəsişməsini qrafik şəkildə çəkə bilərsiniz

Sahələrin ümumi kəsişməsi həll yolu olacaqdır. Ciddi qeyri-bərabərdirsə, kənarlar daxil edilmir. Ciddi deyilsə, əvəz etməklə yoxlayın.

İkinci intervalda alırıq

Kesiti interval (-2;-5/3) olacaq. Qrafik olaraq həll belə görünəcək

Üçüncü intervalda alırıq

Bu şərt istədiyiniz domendə həllər təmin etmir.

Tapılan iki həll (-3;-2) və (-2;-5/3) x=-2 nöqtəsində sərhəd olduğundan onu da yoxlayırıq.

Beləliklə, x=-2 nöqtəsi həlldir. Ümumi qərar bunu nəzərə alsaq (-3;5/3) kimi görünəcək.

Misal 2. Bərabərsizliyin həllini tapın
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Həll:
Submodul funksiyaların sıfırları x=2, x=3, x=4 nöqtələri olacaqdır. Bu nöqtələrdən az olan arqument dəyərləri üçün submodul funksiyalar mənfi, daha böyük dəyərlər üçün isə müsbətdir.

Nöqtələr həqiqi oxu dörd intervala bölür. Modulları sabit işarəli intervallara görə genişləndiririk və bərabərsizlikləri həll edirik.

1) Birinci intervalda bütün submodul funksiyalar mənfi olur, ona görə də modulları genişləndirərkən işarəni əksinə dəyişirik.

Tapılan x dəyərlərinin nəzərdən keçirilən intervalla kəsişməsi nöqtələr dəsti olacaqdır

2) x=2 və x=3 nöqtələri arasındakı intervalda birinci submodul funksiya müsbət, ikinci və üçüncü isə mənfidir. Modulları genişləndirərək əldə edirik

həll etdiyimiz intervalla kəsişdikdə bir həlli verən bərabərsizlik - x=3.

3) x=3 və x=4 nöqtələri arasındakı intervalda birinci və ikinci submodul funksiyalar müsbət, üçüncüsü isə mənfidir. Buna əsaslanaraq əldə edirik

Bu şərt göstərir ki, bütün interval modullarla bərabərsizliyi ödəyəcək.

4) x>4 qiymətləri üçün bütün funksiyalar müsbət işarələrə malikdir. Modulları genişləndirərkən biz onların işarəsini dəyişmirik.

Aralığın kəsişməsində tapılan şərt aşağıdakı həllər toplusunu verir

Bərabərsizlik bütün intervallarda həll olunduğundan, x-in tapılan bütün qiymətlərinin ümumi dəyərini tapmaq qalır. Həll iki interval olacaq

Bu nümunəni yekunlaşdırır.

Misal 3. Bərabərsizliyin həllini tapın
||x-1|-5|>3-2x

Həll:
Moduldan modul ilə bərabərsizliyimiz var. Bu cür bərabərsizliklər modullar daha dərində yerləşənlərdən başlayaraq iç-içə yerləşdikdə aşkarlanır.

X-1 submodul funksiyası x=1-də sıfıra çevrilir. 1-dən yuxarı kiçik dəyərlər üçün mənfi və x>1 üçün müsbətdir. Buna əsaslanaraq açıqlayırıq daxili modul və intervalların hər biri üzrə bərabərsizliyi nəzərdən keçirin.

Əvvəlcə mənfi sonsuzluqdan birinə qədər olan intervalı nəzərdən keçirin

Submodul funksiyası x=-4-də sıfırdır. Kiçik dəyərlərdə müsbət, böyük dəyərlərdə mənfi olur. X üçün modulu genişləndirək<-4:

Nəzərdən keçirdiyimiz sahə ilə kəsişmədə bir sıra həllər əldə edirik

Növbəti addım modulu (-4;1) intervalında genişləndirməkdir.

Modulun genişlənmə sahəsini nəzərə alaraq, həll intervalını əldə edirik

UNUTMAYIN: modullarla bu cür pozuntularda ümumi bir nöqtə ilə həmsərhəd olan iki interval əldə edirsinizsə, bir qayda olaraq, bu da bir həlldir.

Bunu etmək üçün sadəcə yoxlamaq lazımdır.

Bu halda x=-4 nöqtəsini əvəz edirik.

Beləliklə, x=-4 həlldir.
Daxili modulu x>1 üçün genişləndirək

Submodul funksiyası x üçün mənfi<6.
Aldığımız modulu genişləndirərək

(1;6) intervalı olan bölmədəki bu şərt boş həllər toplusunu verir.

x>6 üçün bərabərsizliyi əldə edirik

Həmçinin həll edərək boş dəst əldə etdik.
Yuxarıda göstərilənlərin hamısını nəzərə alaraq, modullarla bərabərsizliyin yeganə həlli aşağıdakı interval olacaqdır.

Kvadrat tənlikləri ehtiva edən modulları olan bərabərsizliklər

Misal 4. Bərabərsizliyin həllini tapın
|x^2+3x|>=2-x^2

Həll:
Submodul funksiyası x=0, x=-3 nöqtələrində yox olur. Mənfi birin sadə əvəzi

müəyyən edirik ki, o sıfırdan azdır intervalda (-3;0) və ondan kənarda müsbətdir.
Submodul funksiyasının müsbət olduğu sahələrdə modulu genişləndirək

Kvadrat funksiyasının müsbət olduğu bölgələri müəyyən etmək qalır. Bunun üçün kvadrat tənliyin köklərini təyin edirik

Rahatlıq üçün (-2;1/2) intervalına aid olan x=0 nöqtəsini əvəz edirik. Bu intervalda funksiya mənfidir, yəni həll aşağıdakı x dəstləri olacaqdır

Burada həlləri olan sahələrin kənarları mötərizədə göstərilir, bu, aşağıdakı qayda nəzərə alınmaqla qəsdən edilmişdir.

UNUTMAYIN: Əgər modullu bərabərsizlik və ya sadə bərabərsizlik ciddidirsə, onda tapılan sahələrin kənarları həllər deyil, bərabərsizliklər ciddi deyilsə (), kənarlar həllərdir (kvadrat mötərizə ilə işarələnir).

Bu qaydadan bir çox müəllimlər istifadə edir: əgər ciddi bərabərsizlik verilirsə və hesablamalar zamanı həlldə kvadrat mötərizə ([,]) yazsanız, onlar avtomatik olaraq bunu yanlış cavab hesab edəcəklər. Həmçinin, sınaq zamanı modullarla qeyri-ciddi bərabərsizlik verilirsə, onda həllər arasında kvadrat mötərizə olan sahələri axtarın.

Modulu genişləndirərək (-3;0) intervalda funksiyanın işarəsini əksinə dəyişirik.

Bərabərsizliyin açıqlanma sahəsini nəzərə alaraq, həll formasına sahib olacaqdır

Əvvəlki sahə ilə birlikdə bu, iki yarım interval verəcəkdir

Misal 5. Bərabərsizliyin həllini tapın
9x^2-|x-3|>=9x-2

Həll:
X=3 nöqtəsində submodul funksiyası sıfıra bərabər olan qeyri-ciddi bərabərsizlik verilir. Kiçik dəyərlər üçün mənfi, daha böyük dəyərlər üçün müsbətdir. X intervalında modulu genişləndirin<3.

Tənliyin diskriminantının tapılması

və köklər

Sıfır nöqtəsini əvəz etməklə məlum olur ki, [-1/9;1] intervalında kvadrat funksiya mənfidir, ona görə də interval həlldir. Sonra modulu x>3-də genişləndiririk

Rəqəmlərin modulu qeyri-mənfidirsə bu ədədin özü, mənfi olduqda isə əks işarəli eyni ədəd deyilir.

Məsələn, 6 rəqəminin modulu 6, -6 rəqəminin modulu da 6-dır.

Yəni ədədin modulu dedikdə onun işarəsi nəzərə alınmadan bu ədədin mütləq qiyməti, mütləq qiyməti başa düşülür.

Aşağıdakı kimi təyin olunur: |6|, | X|, |A| və s.

(Ətraflı məlumat “Nömrə modulu” bölməsində).

Modulu olan tənliklər.

Misal 1 . Tənliyi həll edin|10 X - 5| = 15.

Həll.

Qaydaya görə, tənlik iki tənliyin birləşməsinə bərabərdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Qərar veririk:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cavab verin: X 1 = 2, X 2 = -1.

Misal 2 . Tənliyi həll edin|2 X + 1| = X + 2.

Həll.

Modul mənfi olmayan ədəd olduğu üçün X+ 2 ≥ 0. Müvafiq olaraq:

X ≥ -2.

İki tənlik yaradaq:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Qərar veririk:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Hər iki ədəd -2-dən böyükdür. Beləliklə, hər ikisi tənliyin kökləridir.

Cavab verin: X 1 = -1, X 2 = 1.

Misal 3 . Tənliyi həll edin

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Həll.

Məxrəc olmadıqda tənlik məna kəsb edir sıfıra bərabərdir- əgər deməkdir X≠ 1. Bu şərti nəzərə alaq. İlk hərəkətimiz sadədir - biz yalnız fraksiyadan qurtulmuruq, həm də modulu təmiz formada əldə etmək üçün onu dəyişdiririk:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

İndi tənliyin sol tərəfində modulun altında yalnız bir ifadəmiz var. Davam et.
Ədədin modulu mənfi olmayan bir ədəddir - yəni sıfırdan böyük və ya sıfıra bərabər olmalıdır. Buna görə bərabərsizliyi həll edirik:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Beləliklə, ikinci şərtimiz var: tənliyin kökü ən azı 3/4 olmalıdır.

Qaydaya uyğun olaraq iki tənlik toplusunu tərtib edirik və onları həll edirik:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki cavab aldıq. Onların orijinal tənliyin kökləri olub-olmadığını yoxlayaq.

Bizim iki şərtimiz var idi: tənliyin kökü 1-ə bərabər ola bilməz və ən azı 3/4 olmalıdır. Yəni X ≠ 1, X≥ 3/4. Bu şərtlərin hər ikisi alınan iki cavabdan yalnız birinə - 2 rəqəminə uyğun gəlir. Bu o deməkdir ki, yalnız bu, ilkin tənliyin köküdür.

Cavab verin: X = 2.

Modulu olan bərabərsizliklər.

Misal 1 . Bərabərsizliyi həll edin| X - 3| < 4

Həll.

Modul qaydasında deyilir:

|A| = A, Əgər A ≥ 0.

|A| = -A, Əgər A < 0.

Modul həm mənfi, həm də mənfi nömrələrə malik ola bilər. Beləliklə, hər iki halı nəzərdən keçirməliyik: X- 3 ≥ 0 və X - 3 < 0.

1) Nə vaxt X- 3 ≥ 0 ilkin bərabərsizliyimiz olduğu kimi qalır, yalnız modul işarəsi olmadan:
X - 3 < 4.

2) Nə vaxt X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Mötərizələri açaraq əldə edirik:

-X + 3 < 4.

Beləliklə, bu iki şərtdən iki bərabərsizlik sisteminin birləşməsinə gəldik:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Gəlin onları həll edək:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Beləliklə, cavabımız iki çoxluğun birləşməsidir:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Ən kiçikini təyin edin və ən yüksək dəyər. Bunlar -1 və 7-dir. Üstəlik X-1-dən böyük, lakin 7-dən kiçik.
Bundan başqa, X≥ 3. Bu o deməkdir ki, bərabərsizliyin həlli bu ekstremal ədədlər istisna olmaqla -1-dən 7-yə qədər olan bütün ədədlər toplusudur.

Cavab verin: -1 < X < 7.

Və ya: X ∈ (-1; 7).

Əlavələr.

1) Bərabərsizliyimizi həll etməyin daha sadə və qısa yolu var - qrafik. Bunu etmək üçün üfüqi bir ox çəkmək lazımdır (şəkil 1).

İfadə | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3-cü bənd dörd vahiddən azdır. Oxda 3 rəqəmini qeyd edirik və onun solunda və sağında 4 bölmə sayırıq. Solda -1 nöqtəsinə, sağda - 7 nöqtəsinə gələcəyik. Beləliklə, nöqtələr X biz onları sadəcə hesablamadan gördük.

Üstəlik, bərabərsizlik şərtinə görə -1 və 7-nin özləri həllər çoxluğuna daxil edilmir. Beləliklə, cavabı alırıq:

1 < X < 7.

2) Ancaq qrafik metoddan daha sadə olan başqa bir həll yolu var. Bunun üçün bərabərsizliyimiz aşağıdakı formada təqdim edilməlidir:

4 < X - 3 < 4.

Axı modul qaydasına görə belədir. Mənfi olmayan 4 rəqəmi və oxşar mənfi ədəd -4 bərabərsizliyin həlli üçün sərhədlərdir.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Misal 2 . Bərabərsizliyi həll edin| X - 2| ≥ 5

Həll.

Bu nümunə əvvəlkindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Sol tərəf 5-dən böyük və ya 5-ə bərabərdir. Həndəsi nöqteyi-nəzərdən bərabərsizliyin həlli 2-ci nöqtədən 5 vahid və ya daha çox məsafədə olan bütün ədədlərdir (şək. 2). Qrafik göstərir ki, bunlar -3-dən kiçik və ya bərabər, 7-dən böyük və ya bərabər olan bütün ədədlərdir. Bu o deməkdir ki, biz artıq cavabı almışıq.

Cavab verin: -3 ≥ X ≥ 7.

Yolda sərbəst termini əks işarə ilə sola və sağa yenidən təşkil etməklə eyni bərabərsizliyi həll edirik:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cavab eynidir: -3 ≥ X ≥ 7.

Və ya: X ∈ [-3; 7]

Nümunə həll olunur.

Misal 3 . Bərabərsizliyi həll edin 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Həll.

Nömrə X ola bilər müsbət rəqəm, həm mənfi, həm də sıfır. Ona görə də hər üç halı nəzərə almalıyıq. Bildiyiniz kimi, onlar iki bərabərsizlikdə nəzərə alınır: X≥ 0 və X < 0. При X≥ 0, yalnız modul işarəsi olmadan orijinal bərabərsizliyimizi olduğu kimi yenidən yazırıq:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

İndi ikinci hal haqqında: əgər X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Mötərizənin genişləndirilməsi:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Beləliklə, iki tənlik sistemi əldə etdik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlərdəki bərabərsizlikləri həll etməliyik - bu o deməkdir ki, biz iki kvadrat tənliyin köklərini tapmalıyıq. Bunun üçün bərabərsizliklərin sol tərəflərini sıfıra bərabərləşdiririk.

Birincidən başlayaq:

6X 2 - X - 2 = 0.

Kvadrat tənliyi necə həll etmək olar - bölməyə baxın " Kvadrat tənlik" Dərhal cavabı adlandıracağıq:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Birinci bərabərsizliklər sistemindən əldə edirik ki, ilkin bərabərsizliyin həlli -1/2-dən 2/3-ə qədər olan bütün ədədlər toplusudur. Həlllərin birliyini yazırıq X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

İndi ikinci kvadrat tənliyi həll edək:

6X 2 + X - 2 = 0.

Onun kökləri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Nəticə: nə vaxt X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Gəlin iki cavabı birləşdirək və yekun cavabı alaq: həll yolu bu ifrat ədədlər də daxil olmaqla -2/3-dən 2/3-ə qədər olan bütün ədədlər toplusudur.

Cavab verin: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Və ya: X ∈ [-2/3; 2/3].