Loqarifmlər: nümunələr və həllər. Loqarifmlərin xassələri və onların həlli nümunələri

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda sorğu göndərdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, ünvanınız toplaya bilərik e-poçt və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Bizim tərəfimizdən yığılmışdır şəxsi məlumat Bizə sizinlə əlaqə saxlamağa və unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlər haqqında məlumat verməyə imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda qanunvericiliyə uyğun olaraq məhkəmə proseduru, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya sorğular əsasında dövlət qurumları Rusiya Federasiyasının ərazisində - şəxsi məlumatlarınızı açıqlayın. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyətli məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Məxfiliyinizi qorumaq bizim üçün vacibdir. Bu səbəbdən biz sizin məlumatlarınızı necə istifadə etdiyimizi və saxladığımızı təsvir edən Məxfilik Siyasəti hazırlamışıq. Zəhmət olmasa məxfilik təcrübələrimizi nəzərdən keçirin və hər hansı sualınız olarsa, bizə bildirin.

Şəxsi məlumatların toplanması və istifadəsi

Şəxsi məlumat müəyyən bir şəxsi müəyyən etmək və ya əlaqə saxlamaq üçün istifadə edilə bilən məlumatlara aiddir.

İstənilən vaxt bizimlə əlaqə saxladığınız zaman sizdən şəxsi məlumatlarınızı təqdim etməyiniz tələb oluna bilər.

Aşağıda toplaya biləcəyimiz şəxsi məlumat növlərinə və bu cür məlumatlardan necə istifadə edə biləcəyimizə dair bəzi nümunələr verilmişdir.

Hansı şəxsi məlumatları toplayırıq:

• Saytda ərizə təqdim etdiyiniz zaman biz müxtəlif məlumatlar, o cümlədən adınız, telefon nömrəniz, e-poçt ünvanınız və s.

Şəxsi məlumatlarınızı necə istifadə edirik:

• Topladığımız şəxsi məlumatlar bizə unikal təkliflər, promosyonlar və digər tədbirlər və qarşıdan gələn tədbirlərlə bağlı sizinlə əlaqə saxlamağa imkan verir.
• Zaman-zaman biz sizin şəxsi məlumatlarınızdan vacib bildirişlər və kommunikasiyalar göndərmək üçün istifadə edə bilərik.
• Təqdim etdiyimiz xidmətləri təkmilləşdirmək və sizə xidmətlərimizlə bağlı tövsiyələr vermək üçün auditlərin aparılması, məlumatların təhlili və müxtəlif tədqiqatların aparılması kimi şəxsi məlumatlardan daxili məqsədlər üçün də istifadə edə bilərik.
• Əgər siz uduş tirajında, müsabiqədə və ya oxşar təşviqatda iştirak edirsinizsə, biz bu cür proqramları idarə etmək üçün təqdim etdiyiniz məlumatdan istifadə edə bilərik.

Üçüncü tərəflərə məlumatların açıqlanması

Sizdən alınan məlumatları üçüncü tərəflərə açıqlamırıq.

İstisnalar:

• Zəruri hallarda - qanuna uyğun olaraq, məhkəmə qaydasında, məhkəmə prosesində və/və ya ictimai sorğular və ya Rusiya Federasiyasının ərazisində dövlət orqanlarının sorğuları əsasında - şəxsi məlumatlarınızı açıqlamaq. Bu cür açıqlamanın təhlükəsizlik, hüquq-mühafizə və ya digər ictimai əhəmiyyət kəsb edən məqsədlər üçün zəruri və ya uyğun olduğunu müəyyən etsək, sizinlə bağlı məlumatları da açıqlaya bilərik.
• Yenidən təşkil, birləşmə və ya satış halında, biz topladığımız şəxsi məlumatları müvafiq varisə üçüncü tərəfə ötürə bilərik.

Şəxsi məlumatların qorunması

Biz şəxsi məlumatlarınızı itkidən, oğurluqdan və sui-istifadədən, habelə icazəsiz daxil olmaqdan, açıqlamadan, dəyişdirilməkdən və məhv olmaqdan qorumaq üçün inzibati, texniki və fiziki tədbirləri görürük.

Şirkət səviyyəsində məxfiliyinizə hörmət etmək

Şəxsi məlumatlarınızın təhlükəsiz olmasını təmin etmək üçün biz məxfilik və təhlükəsizlik standartlarını əməkdaşlarımıza çatdırırıq və məxfilik təcrübələrini ciddi şəkildə tətbiq edirik.

Bu video ilə mən haqqında uzun dərslər silsiləsi başlayıram loqarifmik tənliklər. İndi qarşınızda üç nümunə var, onların əsasında ən çox həll etməyi öyrənəcəyik sadə tapşırıqlar, belə adlanır - protozoa.

log 0,5 (3x − 1) = −3

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Xatırladım ki, ən sadə loqarifmik tənlik aşağıdakı kimidir:

log a f (x) = b

Bu zaman x dəyişəninin yalnız arqument daxilində, yəni yalnız f (x) funksiyasında olması vacibdir. Və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiyalar deyil.

Əsas həll üsulları

Belə strukturları həll etməyin bir çox yolu var. Məsələn, məktəbdə əksər müəllimlər bu üsulu təklif edirlər: düsturdan istifadə edərək dərhal f (x) funksiyasını ifadə edin f ( x) = a b . Yəni, ən sadə konstruksiya ilə qarşılaşdığınız zaman əlavə hərəkətlər və konstruksiyalar olmadan dərhal həll yoluna keçə bilərsiniz.

Bəli, əlbəttə ki, qərar düzgün olacaq. Ancaq bu formulun problemi tələbələrin əksəriyyətindədir başa düşmürəm, haradan gəlir və niyə a hərfini b hərfinə qaldırırıq.

Nəticədə, məsələn, bu hərflər dəyişdirilərkən çox bezdirici səhvlər görürəm. Bu formula ya başa düşmək, ya da sıxmaq lazımdır, ikinci üsul isə ən yersiz və ən vacib məqamlarda səhvlərə yol açır: imtahanlar, testlər və s.

Buna görə bütün tələbələrimə standart məktəb düsturundan imtina etməyi və loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün ikinci yanaşmadan istifadə etməyi təklif edirəm, yəqin ki, adından da təxmin etdiyiniz kimi kanonik forma.

Kanonik forma ideyası sadədir. Problemimizə bir daha baxaq: solda log a var, a hərfi ilə isə rəqəm nəzərdə tutulur və heç bir halda x dəyişənini ehtiva edən funksiya nəzərdə tutulur. Nəticə etibarilə, bu hərf loqarifmin əsasına aid olan bütün məhdudiyyətlərə tabedir. yəni:

1 ≠ a > 0

Digər tərəfdən, eyni tənlikdən görürük ki, loqarifm b rəqəminə bərabər olmalıdır və bu hərf üçün heç bir məhdudiyyət qoyulmur, çünki o, istənilən qiymət ala bilər - həm müsbət, həm də mənfi. Hamısı f(x) funksiyasının hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılıdır.

Və burada biz gözəl qaydamızı xatırlayırıq ki, istənilən b ədədi a-nın əsasına, b-nin gücünə loqarifm kimi təqdim edilə bilər:

b = log a a b

Bu formulu necə yadda saxlamaq olar? Bəli, çox sadə. Aşağıdakı konstruksiyanı yazaq:

b = b 1 = b log a a

Təbii ki, bu halda başlanğıcda yazdığımız bütün məhdudiyyətlər yaranır. İndi loqarifmin əsas xassəsindən istifadə edək və b çarpanını a-nın gücü kimi təqdim edək. Biz əldə edirik:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Nəticədə, orijinal tənlik aşağıdakı kimi yenidən yazılacaq:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Hamısı budur. Yeni funksiya artıq loqarifmi ehtiva etmir və standart cəbri üsullardan istifadə etməklə həll edilə bilər.

Əlbəttə ki, kimsə indi etiraz edəcək: ümumiyyətlə, bir növ kanonik düsturla çıxış etmək nəyə lazım idi, ilkin dizayndan son düstura dərhal keçmək mümkün idisə, nə üçün əlavə iki lazımsız addım atmalısınız? Bəli, yalnız ona görə ki, əksər tələbələr bu formulun haradan gəldiyini başa düşmürlər və nəticədə onu tətbiq edərkən müntəzəm olaraq səhvlər edirlər.

Ancaq üç addımdan ibarət olan bu hərəkət ardıcıllığı, son düsturun haradan gəldiyini başa düşməsəniz belə, orijinal loqarifmik tənliyi həll etməyə imkan verir. Yeri gəlmişkən, bu giriş kanonik düstur adlanır:

log a f (x) = log a a b

Kanonik formanın rahatlığı həm də ondan ibarətdir ki, bu gün nəzərdən keçirdiyimiz ən sadələri deyil, çox geniş bir sinif loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər.

Həll nümunələri

İndi bir nəzər salaq real nümunələr. Beləliklə, qərar verək:

log 0,5 (3x − 1) = −3

Bunu belə yenidən yazaq:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Bir çox tələbə tələsir və dərhal 0,5 rəqəmini ilkin problemdən bizə gələn gücə qaldırmağa çalışır. Həqiqətən, bu cür problemlərin həllində artıq yaxşı təlim keçmişsinizsə, dərhal bu addımı yerinə yetirə bilərsiniz.

Ancaq indi bu mövzunu öyrənməyə başlayırsınızsa, təhqiramiz səhvlərə yol verməmək üçün heç yerə tələsməmək daha yaxşıdır. Beləliklə, kanonik formaya sahibik. Bizdə:

3x − 1 = 0,5 −3

Bu, artıq loqarifmik tənlik deyil, x dəyişəninə görə xəttidir. Bunu həll etmək üçün əvvəlcə 0,5 rəqəminin −3 dərəcəsinə baxaq. Qeyd edək ki, 0,5 1/2-dir.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Hamısı ondalıklar loqarifmik tənliyi həll edərkən adi olanlara çevirin.

Yenidən yazırıq və alırıq:

3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3

Budur, cavabını aldıq. Birinci problem həll olundu.

İkinci tapşırıq

İkinci tapşırığa keçək:

Gördüyümüz kimi, bu tənlik artıq ən sadə deyil. Yalnız ona görə ki, solda fərq var və bir bazaya bir loqarifm deyil.

Ona görə də biz bu fərqdən birtəhər xilas olmalıyıq. Bu vəziyyətdə hər şey çox sadədir. Əsaslara daha yaxından nəzər salaq: solda kök altındakı rəqəm var:

Ümumi tövsiyə: bütün loqarifmik tənliklərdə radikallardan, yəni kökləri olan girişlərdən xilas olmağa çalışın və güc funksiyalarına keçin, sadəcə olaraq, bu güclərin eksponentləri loqarifmin işarəsindən asanlıqla çıxarılır və nəticədə belədir. bir giriş hesablamaları əhəmiyyətli dərəcədə asanlaşdırır və sürətləndirir. Bunu belə yazaq:

İndi loqarifmin diqqətəlayiq xüsusiyyətini xatırlayaq: səlahiyyətlər həm arqumentdən, həm də əsasdan əldə edilə bilər. Əsaslar olduqda, aşağıdakılar baş verir:

log a k b = 1/k loqa b

Başqa sözlə, əsas qüvvədə olan ədəd irəli çəkilir və eyni zamanda tərs çevrilir, yəni qarşılıqlı rəqəmə çevrilir. Bizim vəziyyətimizdə baza dərəcəsi 1/2 idi. Buna görə də 2/1 olaraq çıxara bilərik. Biz əldə edirik:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Diqqət edin: bu addımda heç bir halda loqarifmlərdən qurtulmamalısınız. 4-5-ci sinif riyaziyyatını və əməliyyatların qaydasını xatırlayın: əvvəlcə vurma, sonra isə toplama və çıxma aparılır. Bu halda 10 elementdən eyni elementlərdən birini çıxarırıq:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

İndi tənliyimiz lazım olduğu kimi görünür. Bu ən sadə dizayn, və biz bunu kanonik formadan istifadə edərək həll edirik:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Hamısı budur. İkinci problem həll olundu.

Üçüncü misal

Üçüncü tapşırığa keçək:

log (x + 3) = 3 + 2 log 5

Aşağıdakı düsturu xatırlatmaq istəyirəm:

log b = log 10 b

Əgər nədənsə log qeydi ilə çaşıbsınızsa b , onda bütün hesablamaları yerinə yetirərkən sadəcə olaraq log 10 b yaza bilərsiniz. Onluq loqarifmlərlə digərləri ilə eyni şəkildə işləyə bilərsiniz: səlahiyyətləri götürün, lg 10 şəklində istənilən rəqəmləri əlavə edin və təmsil edin.

Problemi həll etmək üçün indi istifadə edəcəyimiz bu xüsusiyyətlərdir, çünki dərsimizin əvvəlində yazdığımız ən sadə deyil.

Əvvəlcə qeyd edək ki, lg 5-in qarşısındakı 2 faktoru əlavə oluna bilər və baza 5-in gücünə çevrilir. Bundan əlavə, sərbəst termin 3 də loqarifm kimi təqdim edilə bilər - bunu bizim qeydimizdən müşahidə etmək çox asandır.

Özünüz mühakimə edin: istənilən nömrə 10-cu bazaya log kimi təqdim edilə bilər:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Əldə edilmiş dəyişiklikləri nəzərə alaraq orijinal problemi yenidən yazaq:

log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
log (x − 3) = log 25,000

Qarşımızda yenə kanonik forma var və biz onu transformasiya mərhələsindən keçmədən əldə etdik, yəni ən sadə loqarifmik tənlik heç yerdə görünmədi.

Mən dərsin əvvəlində məhz bu haqda danışmışdım. Kanonik forma, əksər məktəb müəllimlərinin verdiyi standart məktəb formulundan daha geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verir.

Bax, budur, ondalık loqarifmin işarəsindən xilas oluruq və sadə xətti tikinti əldə edirik:

x + 3 = 25.000
x = 24,997

Hamısı! Problem həll olunur.

Əhatə dairəsi haqqında qeyd

Burada tərifin əhatə dairəsi ilə bağlı mühüm bir qeyd etmək istərdim. Şübhəsiz ki, indi deyəcək tələbələr və müəllimlər olacaq: “Biz loqarifmlərlə ifadələri həll edərkən yadda saxlamalıyıq ki, f (x) arqumenti sıfırdan böyük olmalıdır!” Bu baxımdan məntiqi sual yaranır: nə üçün nəzərdən keçirilən problemlərin heç birində bu bərabərsizliyin təmin olunmasını tələb etmədik?

narahat olma. Bu hallarda əlavə köklər görünməyəcəkdir. Və bu, həlli sürətləndirməyə imkan verən başqa bir böyük hiylədir. Sadəcə bilin ki, əgər problemdə x dəyişəni yalnız bir yerdə (daha doğrusu, tək loqarifmin tək bir arqumentində) baş verirsə və bizim vəziyyətimizdə x dəyişəni başqa heç bir yerdə görünmürsə, onda tərif sahəsini yazın. ehtiyac yoxdur, çünki o, avtomatik icra olunacaq.

Özünüz mühakimə edin: birinci tənlikdə əldə etdik ki, 3x − 1, yəni arqument 8-ə bərabər olmalıdır. Bu avtomatik olaraq o deməkdir ki, 3x − 1 sıfırdan böyük olacaq.

Eyni müvəffəqiyyətlə yaza bilərik ki, ikinci halda x 5 2-yə bərabər olmalıdır, yəni. əlbəttə ki, sıfırdan böyükdür. Və üçüncü halda, burada x + 3 = 25.000, yəni, yenə, açıq-aydın sıfırdan böyükdür. Başqa sözlə desək, əhatə dairəsi avtomatik təmin edilir, ancaq x yalnız bir loqarifmin arqumentində baş verərsə.

Ən sadə problemləri həll etmək üçün bilməli olduğunuz hər şey budur. Təkcə bu qayda transformasiya qaydaları ilə birlikdə çox geniş bir sinif problemləri həll etməyə imkan verəcəkdir.

Ancaq səmimi olaq: ​​bu texnikanı nəhayət başa düşmək, loqarifmik tənliyin kanonik formasını tətbiq etməyi öyrənmək üçün sadəcə bir video dərsinə baxmaq kifayət deyil. Beləliklə, seçimləri indi yükləyin müstəqil qərar, bu video dərsə əlavə olunur və bu iki müstəqil işdən ən azı birini həll etməyə başlayır.

Bu, sözün əsl mənasında bir neçə dəqiqənizi alacaq. Ancaq bu cür təlimin təsiri sadəcə bu video dərsinə baxdığınızdan daha yüksək olacaq.

Ümid edirəm ki, bu dərs sizə loqarifmik tənlikləri başa düşməyə kömək edəcək. Kanonik formadan istifadə edin, loqarifmlərlə işləmə qaydalarından istifadə edərək ifadələri sadələşdirin - və heç bir problemdən qorxmayacaqsınız. Bu gün üçün əlimdə olan şey budur.

Tərif sahəsini nəzərə alaraq

İndi isə loqarifmik funksiyanın təyin olunma oblastından və bunun loqarifmik tənliklərin həllinə necə təsir etməsindən danışaq. Formanın qurulmasını nəzərdən keçirin

log a f (x) = b

Belə bir ifadə ən sadə adlanır - o, yalnız bir funksiyanı ehtiva edir və a və b ədədləri sadəcə ədədlərdir və heç bir halda x dəyişənindən asılı olan bir funksiyadır. Bunu çox sadə həll etmək olar. Yalnız formuladan istifadə etməlisiniz:

b = log a a b

Bu düstur loqarifmin əsas xassələrindən biridir və orijinal ifadəmizi əvəz edərkən aşağıdakıları əldə edirik:

log a f (x) = log a a b

f (x) = a b

Bu, məktəb dərsliklərindən tanış düsturdur. Yəqin ki, bir çox tələbələrin sualı olacaq: orijinal ifadədə f (x) funksiyası log işarəsi altında olduğu üçün ona aşağıdakı məhdudiyyətlər qoyulur:

f(x) > 0

Bu məhdudiyyət tətbiq olunur, çünki loqarifmi mənfi ədədlər mövcud deyil. Deməli, bəlkə bu məhdudiyyət nəticəsində cavabların yoxlanılması tətbiq edilməlidir? Bəlkə onları mənbəyə daxil etmək lazımdır?

Xeyr, ən sadə loqarifmik tənliklərdə əlavə yoxlamaya ehtiyac yoxdur. Və burada niyə. Son düsturumuza nəzər salın:

f (x) = a b

Fakt budur ki, a sayı istənilən halda 0-dan böyükdür - bu tələb də loqarifm tərəfindən qoyulur. a sayı əsasdır. Bu halda b sayına heç bir məhdudiyyət qoyulmur. Ancaq bunun əhəmiyyəti yoxdur, çünki müsbət rəqəmi hansı gücə qaldırsaq da, çıxışda yenə də müsbət rəqəm alacağıq. Beləliklə, f (x) > 0 tələbi avtomatik olaraq ödənilir.

Həqiqətən yoxlamağa dəyər olan, log işarəsi altındakı funksiyanın domenidir. Kifayət qədər mürəkkəb strukturlar ola bilər və həll prosesində mütləq onlara diqqət yetirməlisiniz. Gəlin görək.

Birinci tapşırıq:

Birinci addım: sağdakı kəsri çevirin. Biz əldə edirik:

Loqarifm işarəsindən qurtulub adi irrasional tənliyi alırıq:

Əldə edilən köklərdən yalnız birincisi bizə uyğun gəlir, çünki ikinci kök sıfırdan azdır. Yeganə cavab 9 rəqəmi olacaq. Budur, problem həll olundu. Loqarifm işarəsi altında ifadənin 0-dan böyük olmasını təmin etmək üçün əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki o, sadəcə 0-dan böyük deyil, tənliyin şərtinə görə 2-yə bərabərdir. Ona görə də “sıfırdan böyük” tələbi ” avtomatik olaraq təmin edilir.

İkinci tapşırığa keçək:

Burada hər şey eynidir. Üçlüyü əvəz edərək tikintini yenidən yazırıq:

Loqarifm işarələrindən qurtulub irrasional tənlik alırıq:

Məhdudiyyətləri nəzərə alaraq hər iki tərəfi kvadratlaşdırırıq və alırıq:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x 2 + 7x + 6 = 0

Yaranan tənliyi diskriminant vasitəsilə həll edirik:

D = 49 − 24 = 25

x 1 = −1

x 2 = −6

Lakin x = −6 bizə uyğun gəlmir, çünki bu ədədi bərabərsizliyimizdə əvəz etsək, alırıq:

−6 + 4 = −2 < 0

Bizim vəziyyətimizdə onun 0-dan böyük və ya ekstremal hallarda bərabər olması tələb olunur. Lakin x = −1 bizə uyğundur:

−1 + 4 = 3 > 0

Bizim vəziyyətimizdə yeganə cavab x = −1 olacaqdır. Həll yolu budur. Gəlin hesablamalarımızın ən əvvəlinə qayıdaq.

Bu dərsdən əsas nəticə ondan ibarətdir ki, sadə loqarifmik tənliklərdə funksiya üzrə məhdudiyyətləri yoxlamağa ehtiyac yoxdur. Çünki həll prosesi zamanı bütün məhdudiyyətlər avtomatik olaraq ödənilir.

Ancaq bu, heç bir şəkildə yoxlamanı tamamilə unuta biləcəyiniz anlamına gəlmir. Loqarifmik tənlik üzərində işləmək prosesində, bu gün iki fərqli nümunədə gördüyümüz sağ tərəf üçün öz məhdudiyyətləri və tələbləri olan irrasional bir tənliyə çevrilə bilər.

Bu cür problemləri həll etməkdən çekinmeyin və mübahisədə bir kök varsa xüsusilə diqqətli olun.

Müxtəlif əsaslı loqarifmik tənliklər

Loqarifmik tənlikləri öyrənməyə davam edirik və daha çox həll etməyin dəbdə olduğu daha iki maraqlı texnikaya baxırıq. kompleks dizaynlar. Ancaq əvvəlcə ən sadə problemlərin necə həll edildiyini xatırlayaq:

log a f (x) = b

Bu qeyddə a və b ədədlərdir və f (x) funksiyasında x dəyişəni olmalıdır və yalnız orada, yəni x yalnız arqumentdə olmalıdır. Bu cür loqarifmik tənlikləri kanonik formadan istifadə edərək çevirəcəyik. Bunu etmək üçün qeyd edin

b = log a a b

Üstəlik, a b dəqiq bir arqumentdir. Bu ifadəni aşağıdakı kimi yenidən yazaq:

log a f (x) = log a a b

Məhz buna nail olmağa çalışırıq ki, a-nı həm solda, həm də sağda əsaslandırmaq üçün loqarifm olsun. Bu halda, obrazlı desək, log işarələrini kəsə bilərik və riyazi nöqteyi-nəzərdən deyə bilərik ki, biz sadəcə olaraq arqumentləri bərabərləşdiririk:

f (x) = a b

Nəticədə, həlli çox asan olacaq yeni bir ifadə alacağıq. Gəlin bu qaydanı bugünkü problemlərimizə tətbiq edək.

Beləliklə, ilk dizayn:

Əvvəlcə qeyd edirəm ki, sağda məxrəci log olan kəsr var. Belə bir ifadə gördüyünüz zaman loqarifmlərin gözəl xüsusiyyətini xatırlamaq yaxşı olar:

Rus dilinə tərcümə edilərsə, bu o deməkdir ki, istənilən loqarifm hər hansı c əsaslı iki loqarifmin bölünməsi kimi təqdim edilə bilər. Təbii ki 0< с ≠ 1.

Beləliklə: bu formulun bir gözəli var xüsusi hal, c dəyişəni dəyişənə bərabər olduqda b. Bu vəziyyətdə belə bir tikinti alırıq:

Tənliyimizdə sağdakı işarədən gördüyümüz konstruksiya məhz budur. Bu konstruksiyanı log a b ilə əvəz edək, alırıq:

Başqa sözlə, ilkin tapşırıqla müqayisədə biz arqumenti və loqarifmin əsasını dəyişdirdik. Əvəzində kəsri tərsinə çevirməli olduq.

Unutmayaq ki, istənilən dərəcə aşağıdakı qaydaya uyğun olaraq bazadan əldə edilə bilər:

Başqa sözlə, əsasın gücü olan k əmsalı ters çevrilmiş kəsr kimi ifadə edilir. Onu tərs kəsr kimi təqdim edək:

Kəsr amili öndə buraxıla bilməz, çünki bu halda biz təmsil edə bilməyəcəyik bu giriş kanonik forma kimi (axı, kanonik formada ikinci loqarifmadan əvvəl heç bir əlavə amil yoxdur). Buna görə də arqumentə güc kimi 1/4 kəsri əlavə edək:

İndi biz əsasları eyni olan arqumentləri bərabərləşdiririk (və bizim əsaslarımız həqiqətən eynidir) və yazırıq:

x + 5 = 1

x = −4

Hamısı budur. Birinci loqarifmik tənliyin cavabını aldıq. Diqqət edin: orijinal problemdə x dəyişəni yalnız bir jurnalda görünür və o, öz arqumentində görünür. Buna görə domeni yoxlamağa ehtiyac yoxdur və bizim x = −4 nömrəmiz həqiqətən cavabdır.

İndi ikinci ifadəyə keçək:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)

Burada adi loqarifmlərə əlavə olaraq log f (x) ilə işləməli olacağıq. Belə bir tənliyi necə həll etmək olar? Hazırlıqsız tələbə üçün bu, bir növ çətin iş kimi görünə bilər, amma əslində hər şeyi elementar şəkildə həll etmək olar.

lg 2 log 2 termininə yaxından nəzər salın. Bu barədə nə deyə bilərik? log və lg-nin əsasları və arqumentləri eynidir və bu, bəzi fikirlər verməlidir. Loqarifmin işarəsi altından güclərin necə çıxarıldığını bir daha xatırlayaq:

log a b n = nlog a b

Başqa sözlə desək, arqumentdə b-nin qüvvəsi olan şey logun özünün qarşısında faktora çevrilir. Gəlin bu düsturu lg 2 log 2 7 ifadəsinə tətbiq edək. Lg 2-dən qorxmayın - bu ən çox yayılmış ifadədir. Bunu aşağıdakı kimi yenidən yaza bilərsiniz:

Hər hansı digər loqarifmə tətbiq olunan bütün qaydalar onun üçün etibarlıdır. Xüsusən də arqumentin dərəcəsinə qarşıdakı amili də əlavə etmək olar. Onu yazaq:

Çox vaxt tələbələr bu hərəkəti birbaşa görmürlər, çünki bir log digərinin işarəsi altında daxil olmaq yaxşı deyil. Əslində bunda heç bir cinayət yoxdur. Bundan əlavə, vacib bir qaydanı xatırlayırsınızsa, hesablamaq asan olan bir düstur alırıq:

Bu düstur həm tərif kimi, həm də onun xüsusiyyətlərindən biri kimi qəbul edilə bilər. Hər halda, loqarifmik tənliyi çevirirsinizsə, bu düsturla hər hansı bir ədədin log təsvirini bildiyiniz kimi bilməlisiniz.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq. Bərabər işarənin sağındakı birinci həddin sadəcə olaraq lg 7-yə bərabər olacağını nəzərə alaraq onu yenidən yazırıq. Bizdə:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

lg 7-ni sola keçirək, əldə edirik:

lg 56 − log 7 = −3lg (x + 4)

Soldakı ifadələri çıxarırıq, çünki onların əsası eynidir:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

İndi əldə etdiyimiz tənliyə daha yaxından nəzər salaq. Bu praktik olaraq kanonik formadır, lakin sağda −3 amili var. Gəlin onu düzgün lg arqumentinə əlavə edək:

log 8 = log (x + 4) −3

Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, ona görə də lg işarələrini kəsirik və arqumentləri bərabərləşdiririk:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

Budur! İkinci loqarifmik tənliyi həll etdik. Bu halda heç bir əlavə yoxlama tələb olunmur, çünki orijinal məsələdə x yalnız bir arqumentdə mövcud idi.

İcazə verin, bu dərsin əsas məqamlarını bir daha sadalayım.

Loqarifmik tənliklərin həllinə həsr olunmuş bu səhifədəki bütün dərslərdə öyrədilən əsas düstur kanonik formadır. Və əksər məktəb dərsliklərinin sizə bu cür problemləri fərqli şəkildə həll etməyi öyrətdiyindən qorxmayın. Bu alət çox effektiv işləyir və dərsimizin əvvəlində öyrəndiyimiz ən sadə problemlərdən daha geniş sinif problemləri həll etməyə imkan verir.

Bundan əlavə, loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əsas xüsusiyyətləri bilmək faydalı olacaqdır. Məhz:

1. Bir bazaya keçmək üçün düstur və jurnalı tərs çevirdiyimiz zaman xüsusi hal (bu, birinci məsələdə bizim üçün çox faydalı oldu);
2. Loqarifm işarəsindən dərəcələrin toplanması və çıxılması düsturu. Burada bir çox tələbələr ilişib qalır və görmürlər ki, çıxarılan və təqdim edilən dərəcənin özündə log f (x) ola bilər. Bunda səhv bir şey yoxdur. Bir jurnalı digərinin işarəsinə görə təqdim edə bilərik və eyni zamanda problemin həllini əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirə bilərik, ikinci halda müşahidə etdiyimiz budur.

Sonda onu da əlavə etmək istərdim ki, bu halların hər birində tərif sahəsini yoxlamaq lazım deyil, çünki hər yerdə x dəyişəni logun yalnız bir işarəsində mövcuddur və eyni zamanda onun arqumentindədir. Nəticədə, əhatə dairəsinin bütün tələbləri avtomatik olaraq yerinə yetirilir.

Dəyişən baza ilə problemlər

Bu gün bir çox tələbələr üçün qeyri-standart görünən, tamamilə həll olunmayan loqarifmik tənliklərə baxacağıq. Söhbət rəqəmlərə deyil, dəyişənlərə və hətta funksiyalara əsaslanan ifadələrdən gedir. Biz bu cür konstruksiyaları standart texnikamızdan, yəni kanonik formadan istifadə edərək həll edəcəyik.

Əvvəlcə adi ədədlərə əsaslanaraq ən sadə məsələlərin necə həll edildiyini xatırlayaq. Beləliklə, ən sadə tikinti adlanır

log a f (x) = b

Belə problemləri həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərik:

b = log a a b

Orijinal ifadəmizi yenidən yazırıq və alırıq:

log a f (x) = log a a b

Sonra arqumentləri bərabərləşdiririk, yəni yazırıq:

f (x) = a b

Beləliklə, biz log işarəsindən xilas oluruq və adi problemi həll edirik. Bu halda məhluldan alınan köklər ilkin loqarifmik tənliyin kökləri olacaqdır. Bundan əlavə, həm solun, həm də sağın eyni baza ilə eyni loqarifmdə olduğu qeyd dəqiq olaraq kanonik forma adlanır. Biz bugünkü dizaynları azaltmağa çalışacağıq ki, belə bir rekorddur. Beləliklə, gedək.

Birinci tapşırıq:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

1-i log x − 2 (x − 2) 1 ilə əvəz edin. Arqumentdə müşahidə etdiyimiz dərəcə əslində bərabər işarəsinin sağında duran b ədədidir. Beləliklə, ifadəmizi yenidən yazaq. Biz əldə edirik:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)

Biz nə görürük? Qarşımızda loqarifmik tənliyin kanonik forması var, buna görə də arqumentləri etibarlı şəkildə bərabərləşdirə bilərik. Biz əldə edirik:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Ancaq həll yolu bununla bitmir, çünki bu tənlik ilkin tənliyə ekvivalent deyil. Axı, nəticədə qurulan quruluş bütün say xəttində müəyyən edilmiş funksiyalardan ibarətdir və orijinal loqarifmlərimiz hər yerdə və həmişə deyil.

Buna görə də tərif sahəsini ayrıca yazmalıyıq. Saçları ayırmayaq və əvvəlcə bütün tələbləri yazaq:

Birincisi, loqarifmlərin hər birinin arqumenti 0-dan böyük olmalıdır:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

İkincisi, baza yalnız 0-dan böyük deyil, həm də 1-dən fərqli olmalıdır:

x − 2 ≠ 1

Nəticədə sistemi əldə edirik:

Ancaq narahat olmayın: loqarifmik tənlikləri işləyərkən belə bir sistem əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirilə bilər.

Özünüz mühakimə edin: bir tərəfdən bizdən kvadrat funksiyanın sıfırdan böyük olması tələb olunur, digər tərəfdən isə bu kvadrat funksiya müəyyən xətti ifadəyə bərabər tutulur ki, onun da sıfırdan böyük olması tələb olunur.

Bu halda, əgər biz x − 2 > 0 olmasını tələb etsək, onda 2x 2 − 13x + 18 > 0 tələbi avtomatik olaraq yerinə yetiriləcək. Beləliklə, sistemimizdəki ifadələrin sayı üçə enəcək.

Əlbəttə, biz də üstündən xətt çəkə bilərdik xətti bərabərsizlik, yəni x − 2 > 0-ı kəsin və 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını tələb edin. Amma siz razılaşmalısınız ki, ən sadə xətti bərabərsizliyin həlli kvadratikdən qat-qat tez və asandır, hətta bütünün həlli nəticəsində belə bu sistemlə eyni kökləri alacağıq.

Ümumiyyətlə, mümkün olduqda hesablamaları optimallaşdırmağa çalışın. Loqarifmik tənliklər vəziyyətində isə ən çətin bərabərsizlikləri kəsin.

Sistemimizi yenidən yazaq:

Budur, üç ifadədən ibarət bir sistemdir, onlardan ikisi ilə əslində artıq məşğul olmuşuq. Ayrılıqda yazaq kvadrat tənlik və gəlin həll edək:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x 2 − 7x + 10 = 0

Bizdən əvvəl verilmişdir kvadrat üçbucaqlı və buna görə də Vyeta düsturlarından istifadə edə bilərik. Biz əldə edirik:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

İndi sistemimizə qayıdırıq və tapırıq ki, x = 2 bizə uyğun deyil, çünki bizdən x-in 2-dən ciddi şəkildə böyük olması tələb olunur.

Ancaq x = 5 bizə mükəmməl uyğun gəlir: 5 rəqəmi 2-dən böyükdür və eyni zamanda 5 3-ə bərabər deyil. Ona görə də bu sistemin yeganə həlli x = 5 olacaqdır.

Budur, problem ODZ nəzərə alınmaqla həll edilir. İkinci tənliyə keçək. Bizi burada daha maraqlı və informativ hesablamalar gözləyir:

İlk addım: keçən dəfə olduğu kimi, biz bütün bu məsələni kanonik formaya gətiririk. Bunun üçün 9 rəqəmini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

Köklə bazaya toxunmaq lazım deyil, amma arqumenti dəyişdirmək daha yaxşıdır. Rasional göstərici ilə kökdən gücə keçək. Gəlin yazaq:

İcazə verin, bütün böyük loqarifmik tənliyimizi yenidən yazmayaq, ancaq dərhal arqumentləri bərabərləşdirək:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Qarşımızda yeni azalmış kvadrat üçbucaq var, gəlin Vyeta düsturlarından istifadə edək və yazaq:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = −3

x 2 = −1

Beləliklə, biz kökləri aldıq, lakin heç kim bizə onların orijinal loqarifmik tənliyə uyğun olacağına zəmanət vermədi. Axı, log işarələri əlavə məhdudiyyətlər qoyur (burada sistemi yazmalı idik, lakin bütün strukturun çətin təbiətinə görə mən tərif sahəsini ayrıca hesablamaq qərarına gəldim).

Hər şeydən əvvəl, arqumentlərin 0-dan böyük olması lazım olduğunu unutmayın, yəni:

Bunlar tərifin əhatə dairəsi tərəfindən qoyulan tələblərdir.

Dərhal qeyd edək ki, sistemin ilk iki ifadəsini bir-birinə bərabərləşdirdiyimiz üçün onlardan hər hansı birinin üstündən xətt çəkə bilərik. Gəlin birincinin üstündən xətt çəkək, çünki ikincidən daha təhlükəli görünür.

Əlavə olaraq qeyd edək ki, ikinci və üçüncü bərabərsizliklərin həlli eyni çoxluqlar olacaq (bəzi ədədin kubu sıfırdan böyükdür, əgər bu ədədin özü sıfırdan böyükdürsə; eynilə üçüncü dərəcəli köklə - bu bərabərsizliklər tamamilə analojidir, buna görə də üstündən xətt çəkə bilərik).

Ancaq üçüncü bərabərsizliklə bu işləməyəcək. Hər iki hissəni bir kuba qaldıraraq, soldakı radikal işarədən xilas olaq. Biz əldə edirik:

Beləliklə, aşağıdakı tələbləri alırıq:

− 2 ≠ x > −3

Köklərimizdən hansı: x 1 = −3 və ya x 2 = −1 bu tələblərə cavab verir? Aydındır ki, yalnız x = −1, çünki x = −3 birinci bərabərsizliyi təmin etmir (çünki bərabərsizliyimiz sərtdir). Beləliklə, problemimizə qayıdaraq bir kök alırıq: x = −1. Budur, problem həll olundu.

Bir daha bu tapşırığın əsas məqamları:

1. Kanonik formadan istifadə edərək loqarifmik tənlikləri tətbiq etmək və həll etməkdən çekinmeyin. İlkin məsələdən bilavasitə log a f (x) = b kimi konstruksiyaya keçməkdənsə, belə qeydi edən tələbələr, hesablamaların aralıq addımlarını atlayaraq harasa tələsənlərə nisbətən daha az səhvə yol verirlər;
2. Loqarifmdə dəyişən baza görünən kimi problem ən sadə olmaqdan çıxır. Buna görə də onu həll edərkən tərif sahəsini nəzərə almaq lazımdır: arqumentlər sıfırdan böyük olmalıdır və əsaslar nəinki 0-dan böyük olmalıdır, həm də 1-ə bərabər olmamalıdır.

Yekun tələblər yekun cavablara müxtəlif üsullarla tətbiq oluna bilər. Məsələn, tərif sahəsi üçün bütün tələbləri ehtiva edən bütöv bir sistemi həll edə bilərsiniz. Digər tərəfdən, əvvəlcə problemin özünü həll edə, sonra tərif sahəsini xatırlaya, onu ayrı-ayrılıqda sistem şəklində işləyə və əldə edilən köklərə tətbiq edə bilərsiniz.

Müəyyən bir loqarifmik tənliyi həll edərkən hansı üsulu seçmək sizin ixtiyarınızdadır. Hər halda cavab eyni olacaq.

əsas xassələri.

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

eyni əsaslar

Log6 4 + log6 9.

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək.

Loqarifmlərin həlli nümunələri

Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Əlbəttə ki, bütün bu qaydalara əməl etsəniz məna kəsb edir ODZ loqarifmi: a > 0, a ≠ 1, x >

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Həmçinin bax:

Loqarifmin əsas xassələri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır.

Loqarifmlərin əsas xassələri

Bu qaydanı bilməklə siz biləcəksiniz və dəqiq dəyər sərgi iştirakçıları və Lev Tolstoyun doğum tarixi.

Loqarifmlər üçün nümunələr

Loqarifm ifadələri

Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq

2.

3.

4. Harada .

Misal 2. Əgər x tapın

Misal 3. Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərqi isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Qeyd edək: əsas nöqtə Burada - eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar hesablamanıza kömək edəcək loqarifmik ifadə hətta onun ayrı-ayrı hissələri hesablanmadıqda belə (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Çoxları bu fakt üzərində qurulub testlər. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz. Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Məncə son misal aydınlaşdırma tələb olunur. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik.

Loqarifm düsturları. Loqarifmlərin həlli nümunələri.

Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .

Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün hər hansı a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. Əsas a hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa - loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Həmçinin bax:

b-nin a əsasının loqarifmi ifadəni bildirir. Loqarifmanı hesablamaq bərabərliyin təmin olunduğu x () gücünü tapmaq deməkdir

Loqarifmin əsas xassələri

Yuxarıdakı xassələri bilmək lazımdır, çünki loqarifmlərlə bağlı demək olar ki, bütün məsələlər və nümunələr onların əsasında həll olunur. İstirahət ekzotik xüsusiyyətlər bu düsturların riyazi manipulyasiyası ilə əldə edilə bilər

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Loqarifmlərin cəmi və fərqi (3.4) düsturunu hesablayarkən tez-tez rastlaşırsınız. Qalanları bir qədər mürəkkəbdir, lakin bir sıra tapşırıqlarda mürəkkəb ifadələri sadələşdirmək və onların dəyərlərini hesablamaq üçün əvəzolunmazdır.

Loqarifmlərin ümumi halları

Ən çox yayılmış loqarifmlərdən bəziləri əsası on, eksponensial və ya ikiyə bərabər olanlardır.
Onluq bazası üçün loqarifma adətən onluq loqarifm adlanır və sadəcə olaraq lg(x) ilə işarələnir.

Səs yazısından aydın olur ki, səsyazmada əsaslar yazılmayıb. Məsələn

Natural loqarifm əsası eksponent olan loqarifmdir (ln(x) ilə işarə olunur).

Göstərici 2,718281828… Eksponenti xatırlamaq üçün qaydanı öyrənə bilərsiniz: eksponent 2,7-yə bərabərdir və Leo Nikolaevich Tolstoyun doğum ilinin iki qatıdır. Bu qaydanı bilməklə siz həm eksponentin dəqiq dəyərini, həm də Lev Tolstoyun doğum tarixini biləcəksiniz.

Və iki əsas üçün başqa bir vacib loqarifm ilə işarələnir

Funksiyanın loqarifminin törəməsi dəyişənə bölünən birinə bərabərdir

İnteqral və ya antiderivativ loqarifm əlaqə ilə müəyyən edilir

Verilən material loqarifmlər və loqarifmlərlə bağlı geniş sinif məsələləri həll etmək üçün kifayətdir. Materialı başa düşməyinizə kömək etmək üçün mən yalnız bir neçə ümumi nümunə verəcəyəm məktəb kurikulumu və universitetlər.

Loqarifmlər üçün nümunələr

Loqarifm ifadələri

Misal 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 xassələrindən istifadə edərək hesablayırıq

2.
Loqarifmlərin fərqi xüsusiyyətinə görə bizdə var

3.
3.5 xassələrindən istifadə edərək tapırıq

4. Harada .

Mürəkkəb görünən ifadə bir sıra qaydalardan istifadə etməklə sadələşdirilir

Loqarifm qiymətlərinin tapılması

Misal 2. Əgər x tapın

Həll. Hesablama üçün son 5 və 13 xassələrə müraciət edirik

Biz bunu yazıya qoyub yas tuturuq

Əsaslar bərabər olduğu üçün ifadələri bərabərləşdiririk

Loqarifmlər. Giriş səviyyəsi.

Loqarifmlərin qiyməti verilsin

Əgər log(x) hesablayın

Həlli: Loqarifmi onun şərtlərinin cəminə yazmaq üçün dəyişənin loqarifmini götürək.

Bu, loqarifmlər və onların xassələri ilə tanışlığımızın yalnız başlanğıcıdır. Hesablamaları məşq edin, praktiki bacarıqlarınızı zənginləşdirin - tezliklə loqarifmik tənlikləri həll etmək üçün əldə etdiyiniz biliyə ehtiyacınız olacaq. Bu cür tənliklərin həlli üçün əsas üsulları öyrəndikdən sonra biz sizin biliklərinizi eyni dərəcədə vacib olan başqa bir mövzuya - loqarifmik bərabərsizliklərə genişləndirəcəyik...

Loqarifmlərin əsas xassələri

Loqarifmlər, hər hansı bir rəqəm kimi, hər cür əlavə edilə, çıxıla və dəyişdirilə bilər. Amma loqarifmlər tam olaraq adi ədədlər olmadığı üçün burada adlanan qaydalar var əsas xassələri.

Bu qaydaları mütləq bilməlisiniz - onlar olmadan heç bir ciddi loqarifmik problem həll edilə bilməz. Bundan əlavə, onlardan çox azdır - bir gündə hər şeyi öyrənə bilərsiniz. Beləliklə, başlayaq.

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması

Eyni əsasları olan iki loqarifmi nəzərdən keçirin: logax və loqay. Sonra onlar əlavə və çıxıla bilər və:

1. logax + logay = loqa(x y);
2. logax − loqay = loqa (x: y).

Deməli, loqarifmlərin cəmi məhsulun loqarifminə, fərq isə hissənin loqarifmasına bərabərdir. Diqqət yetirin: burada əsas məqam budur eyni əsaslar. Səbəblər fərqlidirsə, bu qaydalar işləmir!

Bu düsturlar, hətta onun fərdi hissələri nəzərə alınmadıqda belə, loqarifmik ifadəni hesablamağa kömək edəcək (“Loqarifm nədir” dərsinə baxın). Nümunələrə nəzər salın və baxın:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log6 4 + log6 9.

Loqarifmlərin əsasları eyni olduğundan, biz cəmi düsturundan istifadə edirik:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log2 48 − log2 3.

Əsaslar eynidir, fərq düsturundan istifadə edirik:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log3 135 − log3 5.

Yenə də əsaslar eynidir, buna görə də bizdə:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Göründüyü kimi, orijinal ifadələr ayrıca hesablanmayan “pis” loqarifmlərdən ibarətdir. Amma çevrilmələrdən sonra tam normal ədədlər alınır. Bir çox testlər bu fakta əsaslanır. Bəli, Vahid Dövlət İmtahanında test kimi ifadələr bütün ciddiliklə (bəzən faktiki olaraq heç bir dəyişiklik olmadan) təklif olunur.

Loqarifmadan eksponentin çıxarılması

İndi tapşırığı bir az çətinləşdirək. Bəs loqarifmin əsası və ya arqumenti gücdürsə? Sonra bu dərəcənin göstəricisi aşağıdakı qaydalara uyğun olaraq loqarifmin işarəsindən çıxarıla bilər:

Sonuncu qaydanın ilk iki qaydaya əməl etdiyini görmək asandır. Ancaq hər halda bunu xatırlamaq daha yaxşıdır - bəzi hallarda hesablamaların miqdarını əhəmiyyətli dərəcədə azaldacaq.

Təbii ki, loqarifmin ODZ-si müşahidə olunarsa, bütün bu qaydalar məna kəsb edir: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Və daha bir şey: bütün düsturları yalnız soldan sağa deyil, həm də əksinə tətbiq etməyi öyrənin. , yəni. Loqarifmin özünə loqarifm işarəsindən əvvəlki rəqəmləri daxil edə bilərsiniz.

Loqarifmləri necə həll etmək olar

Ən çox tələb olunan budur.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log7 496.

Birinci düsturdan istifadə edərək arqumentdəki dərəcədən xilas olaq:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, məxrəcdə bazası və arqumenti dəqiq güclər olan loqarifm var: 16 = 24; 49 = 72. Bizdə:

Düşünürəm ki, sonuncu misal müəyyən aydınlaşdırma tələb edir. Loqarifmlər hara getdi? Son ana qədər biz ancaq məxrəclə işləyirik. Orada duran loqarifmin əsasını və arqumentini güclər şəklində təqdim etdik və eksponentləri çıxardıq - "üç mərtəbəli" bir kəsr aldıq.

İndi əsas hissəyə baxaq. Hissənin və məxrəcin eyni ədədi var: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kəsri azalda bilərik - 2/4 məxrəcdə qalacaq. Hesab qaydalarına görə, dördü saya köçürmək olar, bu da edilir. Nəticə belə oldu: 2.

Yeni bir təmələ keçid

Loqarifmlərin toplanması və çıxılması qaydaları haqqında danışarkən, onların yalnız eyni əsaslarla işlədiyini xüsusi vurğuladım. Bəs səbəblər fərqlidirsə? Bəs onlar eyni sayda dəqiq səlahiyyətlər deyilsə?

Yeni bir təmələ keçid üçün düsturlar köməyə gəlir. Onları teorem şəklində tərtib edək:

Loqarifm loqaxı verilsin. Onda c > 0 və c ≠ 1 olan istənilən c ədədi üçün bərabərlik doğrudur:

Xüsusilə, c = x təyin etsək, alırıq:

İkinci düsturdan belə çıxır ki, loqarifmin əsası və arqumenti dəyişdirilə bilər, lakin bu halda bütün ifadə "çevrilir", yəni. loqarifm məxrəcdə görünür.

Bu düsturlara adi ədədi ifadələrdə nadir hallarda rast gəlinir. Onların nə qədər əlverişli olduğunu yalnız loqarifmik tənliklərin və bərabərsizliklərin həlli zamanı qiymətləndirmək mümkündür.

Ancaq elə problemlər var ki, onları yeni təmələ keçməkdən başqa heç cür həll etmək mümkün deyil. Bunlardan bir neçəsinə baxaq:

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log5 16 log2 25.

Qeyd edək ki, hər iki loqarifmin arqumentlərində dəqiq səlahiyyətlər var. Göstəriciləri çıxaraq: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

İndi ikinci loqarifmanı “ters” edək:

Faktorları yenidən təşkil edərkən məhsul dəyişmədiyi üçün sakitcə dörd və ikini çoxaltdıq və sonra logarifmlərlə məşğul olduq.

Tapşırıq. İfadənin qiymətini tapın: log9 100 lg 3.

Birinci loqarifmin əsası və arqumenti dəqiq güclərdir. Bunu yazaq və göstəricilərdən xilas olaq:

İndi yeni bazaya keçərək onluq loqarifmadan xilas olaq:

Əsas loqarifmik eynilik

Çox vaxt həll prosesində ədədi verilmiş bazaya loqarifm kimi təqdim etmək lazımdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakı düsturlar bizə kömək edəcəkdir:

Birinci halda n ədədi arqumentdə eksponent olur. N rəqəmi tamamilə hər şey ola bilər, çünki bu, sadəcə loqarifm dəyəridir.

İkinci düstur əslində parafraz tərifdir. Buna belə deyilir: .

Əslində, b rəqəmi elə bir gücə qaldırılsa nə olar ki, bu qüvvəyə verilən b rəqəmi a rəqəmini versin? Düzdür: nəticə eyni a sayıdır. Bu paraqrafı bir daha diqqətlə oxuyun - bir çox insan ona ilişib qalır.

Yeni bazaya keçmək üçün düsturlar kimi, əsas loqarifmik eynilik bəzən yeganə mümkün həll yoludur.

Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:

Qeyd edək ki, log25 64 = log5 8 - sadəcə olaraq loqarifmin bazasından və arqumentindən kvadrat götürüb. Gücləri eyni baza ilə vurma qaydalarını nəzərə alaraq, alırıq:

Kimsə bilmirsə, bu Vahid Dövlət İmtahanından əsl tapşırıq idi :)

Loqarifmik vahid və loqarifmik sıfır

Yekun olaraq, mən çətin ki, xassələri adlandırmaq mümkün olmayan iki eyniliyi verəcəyəm - daha doğrusu, onlar loqarifmin tərifinin nəticəsidir. Onlar daim problemlərlə üzləşirlər və təəccüblüdür ki, hətta “qabaqcıl” tələbələr üçün də problemlər yaradırlar.

1. logaa = 1-dir. Birdəfəlik xatırlayın: bu əsasın özünün hər hansı a əsasının loqarifmi birə bərabərdir.
2. loqa 1 = 0-dır. a əsası hər hansı bir şey ola bilər, lakin arqumentdə bir varsa, loqarifm sıfıra bərabərdir! Çünki a0 = 1 tərifin birbaşa nəticəsidir.

Bütün xassələri budur. Onları həyata keçirmək üçün məşq etməyinizə əmin olun! Dərsin əvvəlində fırıldaqçı vərəqini yükləyin, çap edin və problemləri həll edin.

Bu dərsdə biz loqarifmlər haqqında əsas nəzəri faktları nəzərdən keçirəcəyik və ən sadə loqarifmik tənliklərin həllini nəzərdən keçirəcəyik.

Mərkəzi tərifi - loqarifmin tərifini xatırlayaq. Qərarla bağlıdır eksponensial tənlik. Bu tənliyin tək kökü var, ona a əsasına b-nin loqarifmi deyilir:

Tərif:

b-nin a bazasına loqarifmi, b-ni əldə etmək üçün a-nın əsasını qaldırmaq lazım olan göstəricidir.

Sizə xatırladaq əsas loqarifmik eynilik.

İfadə (ifadə 1) tənliyin köküdür (ifadə 2). İfadə 2-də x əvəzinə 1 ifadəsindən x dəyərini əvəz edin və əsas loqarifmik eyniliyi əldə edin:

Beləliklə, hər bir dəyərin bir dəyərlə əlaqəli olduğunu görürük. b-ni x(), c-ni y ilə işarələyirik və bununla da loqarifmik funksiya əldə edirik:

Məsələn:

Loqarifmik funksiyanın əsas xassələrini xatırlayaq.

Burada bir daha diqqət yetirək, çünki loqarifmin altında loqarifmin əsası kimi ciddi müsbət ifadə ola bilər.

düyü. 1. Müxtəlif əsaslı loqarifmik funksiyanın qrafiki

at funksiyasının qrafiki qara rəngdə göstərilmişdir. düyü. 1. Arqument sıfırdan sonsuza qədər artırsa, funksiya mənfidən üstəgəl sonsuza qədər artır.

at funksiyasının qrafiki qırmızı rənglə göstərilmişdir. düyü. 1.

Bu funksiyanın xüsusiyyətləri:

Əhatə dairəsi: ;

Dəyərlər diapazonu: ;

Funksiya bütün tərif sahəsi boyunca monotondur. Monoton (ciddi) artdıqda, daha yüksək dəyər arqument funksiyanın daha böyük dəyərinə uyğundur. Monoton (ciddi) azaldıqda, arqumentin daha böyük dəyəri funksiyanın daha kiçik dəyərinə uyğun gəlir.

Loqarifmik funksiyanın xassələri müxtəlif loqarifmik tənliklərin həlli üçün açardır.

Ən sadə loqarifmik tənliyi nəzərdən keçirək, bir qayda olaraq, bütün digər loqarifmik tənliklər bu formaya salınır.

Loqarifmlərin əsasları və loqarifmlərin özləri bərabər olduğundan, loqarifmin altındakı funksiyalar da bərabərdir, lakin tərif dairəsini qaçırmamalıyıq. Loqarifmin altında yalnız müsbət bir ədəd görünə bilər, bizdə:

Biz öyrəndik ki, f və g funksiyaları bərabərdir, ona görə də ODZ-ə uyğun olmaq üçün hər hansı bir bərabərsizliyi seçmək kifayətdir.

Beləliklə, bir tənlik və bərabərsizliyin olduğu qarışıq bir sistemə sahibik:

Bir qayda olaraq, bərabərsizliyi həll etmək lazım deyil, tənliyi həll etmək və tapılan kökləri bərabərsizliyə əvəz etmək, beləliklə yoxlama aparmaq kifayətdir.

Ən sadə loqarifmik tənliklərin həlli üsulunu tərtib edək:

Loqarifmlərin əsaslarını bərabərləşdirin;

Subloqarifmik funksiyaları bərabərləşdirir;

Yoxlayın.

Konkret misallara baxaq.

Misal 1 - tənliyi həll edin:

Loqarifmlərin əsasları əvvəlcə bərabərdir, subloqarifmik ifadələri bərabərləşdirmək hüququmuz var, ODZ-ni unutma, bərabərsizliyi yaratmaq üçün ilk loqarifmi seçirik:

Misal 2 - tənliyi həll edin:

Bu tənlik əvvəlki tənlikdən loqarifmlərin əsaslarının birdən az olması ilə fərqlənir, lakin bu heç bir şəkildə həllə təsir etmir:

Kökü tapıb bərabərsizliyə əvəz edək:

Yanlış bərabərsizlik aldıq, yəni tapılan kök ODZ-ni qane etmir.

Misal 3 - tənliyi həll edin:

Loqarifmlərin əsasları əvvəlcə bərabərdir, subloqarifmik ifadələri bərabərləşdirmək hüququmuz var, ODZ-ni unutma, bərabərsizliyi yaratmaq üçün ikinci loqarifmi seçirik:

Kökü tapıb bərabərsizliyə əvəz edək:

Aydındır ki, yalnız birinci kök ODZ-ni qane edir.