Naməlum eksponentli tənlikləri necə həll etmək olar. eksponensial tənliklər

Eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Diqqət!
Əlavə var
555-ci Xüsusi Bölmədəki material.
Şiddətli "çox deyil..." olanlar üçün
Və "çox..." olanlar üçün)

Nə eksponensial tənlik? Bu, naməlumların (x) və onlarla ifadələrin olduğu tənlikdir göstəricilər bəzi dərəcələr. Və yalnız orada! Vacibdir.

Siz oradasınız eksponensial tənliklərə nümunələr:

3 x 2 x = 8 x + 3

Qeyd! Dərəcələrin əsaslarında (aşağıda) - yalnız rəqəmlər. AT göstəricilər dərəcələr (yuxarıda) - x ilə ifadələrin geniş çeşidi. Əgər birdən tənlikdə göstəricidən başqa yerdə x görünürsə, məsələn:

bu qarışıq tipli tənlik olacaq. Belə tənliklərin həlli üçün aydın qaydaları yoxdur. Hələlik onları nəzərdən keçirməyəcəyik. Burada biz məşğul olacağıq eksponensial tənliklərin həlliən təmiz formada.

Əslində, hətta təmiz eksponensial tənliklər də həmişə aydın şəkildə həll edilmir. Ancaq həll edilə bilən və edilməli olan müəyyən eksponensial tənliklər var. Bunlar nəzərdən keçirəcəyimiz növlərdir.

Ən sadə eksponensial tənliklərin həlli.

Çox əsas bir şeylə başlayaq. Misal üçün:

Heç bir nəzəriyyə olmasa belə, sadə seçimlə x = 2 olduğu aydın olur. Daha heç nə, elə deyilmi!? Başqa x dəyəri rulonları yoxdur. İndi isə bu çətin eksponensial tənliyin həllinə baxaq:

Biz nə etmişik? Biz, əslində, eyni dibləri (üçlü) atdıq. Tamamilə atılıb. Və nə xoşdur, işarəni vurun!

Həqiqətən, əgər eksponensial tənlik solda və sağdadırsa eyni istənilən dərəcədə ədədlər, bu ədədlər çıxarıla bilər və bərabər eksponentlər. Riyaziyyat imkan verir. Daha sadə bir tənliyi həll etmək qalır. Yaxşıdı, elə deyilmi?)

Bununla belə, ironiya ilə xatırlayaq: siz əsasları yalnız sol və sağdakı əsas nömrələr mükəmməl təcrid vəziyyətində olduqda çıxara bilərsiniz! Heç bir qonşu və əmsal olmadan. Tənliklərdə deyək:

2 x +2 x + 1 = 2 3 və ya

Siz ikiqatları silə bilməzsiniz!

Yaxşı, biz ən vacib şeyi mənimsəmişik. Pis eksponensial ifadələrdən daha sadə tənliklərə necə keçmək olar.

"Budur o vaxtlar!" - deyirsen. "Kim nəzarət və imtahanlara belə primitiv verəcək!?"

Razılaşmağa məcbur. Heç kim etməyəcək. Ancaq indi qarışıq nümunələri həll edərkən hara müraciət edəcəyinizi bilirsiniz. Eyni əsas nömrə solda - sağda olduqda, onu xatırlamaq lazımdır. Sonra hər şey daha asan olacaq. Əslində bu, riyaziyyatın klassikləridir. Orijinal nümunəni götürürük və onu istədiyinizə çeviririk bizə ağıl. Təbii ki, riyaziyyatın qaydalarına görə.

Onları ən sadə hala gətirmək üçün əlavə səy tələb edən nümunələri nəzərdən keçirin. Gəlin onları çağıraq sadə eksponensial tənliklər.

Sadə eksponensial tənliklərin həlli. Nümunələr.

Eksponensial tənlikləri həll edərkən əsas qaydalar bunlardır səlahiyyətləri olan hərəkətlər. Bu hərəkətləri bilmədən heç nə işləməyəcək.

Dərəcəli hərəkətlərə şəxsi müşahidə və ixtiraçılıq əlavə edilməlidir. Eyni əsas nömrələrə ehtiyacımız varmı? Beləliklə, biz onları nümunədə açıq və ya şifrələnmiş formada axtarırıq.

Gəlin görək bu praktikada necə edilir?

Bizə bir misal verək:

2 2x - 8 x+1 = 0

İlk baxışdan əsaslar. Onlar... Onlar fərqlidirlər! İki və səkkiz. Ancaq ruhdan düşmək hələ tezdir. Bunu xatırlamağın vaxtı gəldi

İki və səkkiz dərəcə qohumdur.) Yazmaq tamamilə mümkündür:

8 x+1 = (2 3) x+1

Güclü hərəkətlərdən formulanı xatırlasaq:

(a n) m = a nm,

ümumiyyətlə əla işləyir:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Orijinal nümunə belə görünür:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Transfer edirik 2 3 (x+1) sağa (heç kim riyaziyyatın elementar hərəkətlərini ləğv etmədi!), alırıq:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Praktiki olaraq hamısı budur. Bazaların çıxarılması:

Bu canavarı həll edirik və alırıq

Bu düzgün cavabdır.

Bu nümunədə ikinin səlahiyyətlərini bilmək bizə kömək etdi. Biz müəyyən edilmişdir səkkizdə, şifrələnmiş ikili. Bu texnika (müxtəlif nömrələr altında ümumi əsasların kodlaşdırılması) eksponensial tənliklərdə çox məşhur hiylədir! Bəli, hətta loqarifmlərdə də. Rəqəmlərdə başqa rəqəmlərin gücünü tanımaq lazımdır. Bu eksponensial tənliklərin həlli üçün son dərəcə vacibdir.

Fakt budur ki, istənilən rəqəmi istənilən gücə qaldırmaq problem deyil. Çoxaldın, hətta bir kağız parçasına da, vəssalam. Məsələn, hər kəs 3-ü beşinci gücə qaldıra bilər. Vurma cədvəlini bilsəniz 243 çıxacaq.) Ancaq eksponensial tənliklərdə daha tez-tez gücə yüksəltmək lazım deyil, əksinə ... hansı rəqəm nə dərəcədə 243 rəqəminin arxasında gizlənir, ya da deyək ki, 343... Burada sizə heç bir kalkulyator kömək etməyəcək.

Bəzi rəqəmlərin gücünü görmə ilə bilməlisiniz, bəli ... Məşq edək?

Hansı gücləri və hansı nömrələrin rəqəmlər olduğunu müəyyənləşdirin:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Cavablar (əlbəttə ki, qarışıqlıqda!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Diqqətlə baxsanız, qəribə bir fakt görə bilərsiniz. Suallardan daha çox cavab var! Yaxşı, olur... Məsələn, 2 6 , 4 3 , 8 2 hamısı 64-dür.

Tutaq ki, siz rəqəmlərlə tanışlıq haqqında məlumatı qeyd etdiniz.) Nəzərinizə çatdırım ki, eksponensial tənliklərin həlli üçün müraciət edirik. bütün riyazi biliklər fondu. O cümlədən aşağı-orta siniflərdən. Birbaşa orta məktəbə getmədin, elə deyilmi?

Məsələn, eksponensial tənlikləri həll edərkən ümumi amili mötərizədən çıxarmaq çox vaxt kömək edir (7-ci sinifə salam!). Bir nümunəyə baxaq:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Və yenə ilk baxış - zəmində! Dərəcələrin əsasları fərqlidir ... Üç və doqquz. Və biz onların eyni olmasını istəyirik. Yaxşı, bu vəziyyətdə arzu olduqca mümkündür!) Çünki:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Dərəcələri olan hərəkətlər üçün eyni qaydalara görə:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Əladır, yaza bilərsiniz:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Yaxşı, bundan sonra nə var!? Üçü atmaq olmaz ... Çıxmaz?

Dəyməz. Ən universal və güclü qərar qaydasını xatırlamaq hamısı riyaziyyat tapşırıqları:

Nə edəcəyinizi bilmirsinizsə, bacardığınızı edin!

Baxırsan, hər şey formalaşıb).

Bu eksponensial tənlikdə nə var bacarmaq etmək? Bəli, sol tərəf birbaşa mötərizə tələb edir! Ümumi 3 2x faktoru buna aydın şəkildə işarə edir. Gəlin cəhd edək, sonra görəcəyik:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Nümunə getdikcə daha da yaxşılaşır!

Xatırlayırıq ki, əsasları aradan qaldırmaq üçün heç bir əmsal olmadan təmiz dərəcə lazımdır. 70 rəqəmi bizi narahat edir. Beləliklə, tənliyin hər iki tərəfini 70-ə bölürük, alırıq:

O-pa! Hər şey yaxşı oldu!

Bu son cavabdır.

Ancaq belə olur ki, eyni əsaslarla taksidən kənarlaşma əldə edilir, lakin onların ləğvi olmur. Bu, başqa tipli eksponensial tənliklərdə baş verir. Gəlin bu növü əldə edək.

Eksponensial tənliklərin həllində dəyişənin dəyişməsi. Nümunələr.

tənliyi həll edək:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Birincisi - həmişəki kimi. Gəlin bazaya keçək. Deuce üçün.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Tənliyi alırıq:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Və burada asacağıq. Necə çevirsəniz də, əvvəlki hiylələr işləməyəcək. Biz arsenaldan başqa bir güclü və çox yönlü üsul əldə etməliyik. Bu adlanır dəyişən əvəzetmə.

Metodun mahiyyəti təəccüblü dərəcədə sadədir. Bir mürəkkəb simvol əvəzinə (bizim vəziyyətimizdə 2 x) başqa, daha sadə birini (məsələn, t) yazırıq. Belə görünən mənasız əvəzləmə heyrətamiz nəticələrə gətirib çıxarır!) Hər şey sadəcə aydın və başa düşülən olur!

Elə isə qoy

Sonra 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Tənliyimizdə bütün gücləri x ilə t ilə əvəz edirik:

Yaxşı, səhər açılır?) Kvadrat tənlikləri hələ də unutmamısınız? Diskriminant vasitəsilə həll edirik, əldə edirik:

Burada əsas olan dayanmamaqdır, olduğu kimi... Bu hələ cavab deyil, bizə t yox, x lazımdır. X-lərə qayıdırıq, yəni. əvəz edilməsi. t 1 üçün ilk:

Yəni,

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:

Um... Sol 2 x, Sağ 1... Çatışmazlıq? Bəli, heç də yox! Birliyin olduğunu xatırlamaq kifayətdir (dərəcəli hərəkətlərdən, bəli ...). hər hansıədədi sıfıra. Hər hansı. Nə lazımdırsa, onu qoyuruq. Bizə iki lazımdır. Vasitələri:

İndi hamısı budur. 2 kök var:

Bu cavabdır.

At eksponensial tənliklərin həlli sonunda bəzi yöndəmsiz ifadələr bəzən əldə edilir. Növ:

Yeddi, sadə dərəcə vasitəsilə bir ikili işləmir. Qohum deyillər... Mən burada necə ola bilərəm? Kimisə çaşdıra bilər... Amma bu saytda “Loqarifm nədir?” mövzusunu oxuyan şəxs , yalnız təbəssümlə gülümsəyin və möhkəm əl ilə tamamilə düzgün cavabı yazın:

İmtahanın “B” tapşırıqlarında belə cavab ola bilməz. Müəyyən bir nömrə tələb olunur. Ancaq "C" tapşırıqlarında - asanlıqla.

Bu dərsdə ən ümumi eksponensial tənliklərin həlli nümunələri verilir. Əsas olanı vurğulayaq.

Praktik məsləhətlər:

1. İlk növbədə, biz baxırıq əsaslar dərəcə. Gəlin görək bunları etmək mümkün deyilmi? eyni. Gəlin aktiv istifadə edərək bunu etməyə çalışaq səlahiyyətləri olan hərəkətlər. Unutmayın ki, x olmayan ədədlər də gücə çevrilə bilər!

2. Sol və sağ olduqda eksponensial tənliyi formaya gətirməyə çalışırıq eyni istənilən dərəcədə rəqəmlər. istifadə edirik səlahiyyətləri olan hərəkətlər və faktorizasiya. Rəqəmlərlə nə sayıla bilər - biz sayırıq.

3. Əgər ikinci məsləhət nəticə vermədisə, dəyişən əvəzetməni tətbiq etməyə çalışırıq. Nəticə asanlıqla həll olunan bir tənlik ola bilər. Ən tez-tez - kvadrat. Və ya fraksiya, bu da kvadrata endirilir.

4. Eksponensial tənlikləri uğurla həll etmək üçün bəzi ədədlərin dərəcələrini "görmə ilə" bilmək lazımdır.

Həmişə olduğu kimi, dərsin sonunda bir az həll etməyə dəvət olunur.) Özünüz. Sadədən mürəkkəbə.

Eksponensial tənlikləri həll edin:

Daha çətin:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Kök məhsulunu tapın:

2 3-x + 2 x = 9

baş verdi?

Yaxşı, onda ən mürəkkəb nümunə (bununla belə, ağılda həll olunur ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Daha maraqlı nədir? O zaman sizə pis bir nümunə var. Artan çətinliklə kifayət qədər çəkmə. Bu nümunədə ixtiraçılıq və bütün riyazi tapşırıqların həlli üçün ən universal qaydanın qənaət etdiyinə işarə edəcəyəm.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

İstirahət üçün bir nümunə daha sadədir):

9 2 x - 4 3 x = 0

Və desert üçün. Tənliyin köklərinin cəmini tapın:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Hə hə! Bu qarışıq tipli tənlikdir! Bu dərsdə nəzərə almadıq. Və bunları nəzərə almaq lazımdır, onları həll etmək lazımdır!) Bu dərs tənliyi həll etmək üçün kifayətdir. Yaxşı, ixtiraçılıq lazımdır ... Bəli, yeddinci sinif sizə kömək edəcək (bu bir işarədir!).

Cavablar (səliqəsiz, nöqtəli vergüllə ayrılmış):

bir; 2; 3; 4; həll yolları yoxdur; 2; -2; -5; 4; 0.

Hər şey uğurludurmu? Yaxşı.

problem var? Problem deyil! Xüsusi Bölmə 555-də bütün bu eksponensial tənliklər ətraflı izahatlarla həll edilir. Nə, niyə və niyə. Və təbii ki, bütün növ eksponensial tənliklərlə işləmək üçün əlavə dəyərli məlumatlar var. Təkcə bunlarla yox.)

Nəzərə almaq üçün son bir əyləncəli sual. Bu dərsdə eksponensial tənliklərlə işlədik. Niyə mən burada ODZ haqqında bir söz demədim? Tənliklərdə bu çox vacib bir şeydir, yeri gəlmişkən ...

Bu saytı bəyənirsinizsə...

Yeri gəlmişkən, sizin üçün daha bir neçə maraqlı saytım var.)

Nümunələrin həllində məşq edə və səviyyənizi öyrənə bilərsiniz. Ani yoxlama ilə sınaq. Öyrənmək - maraqla!)

funksiyalar və törəmələrlə tanış ola bilərsiniz.

Mühazirə: “Göstərici tənliklərin həlli üsulları”.

1 . eksponensial tənliklər.

Göstəricidə naməlum olan tənliklərə eksponensial tənliklər deyilir. Bunlardan ən sadəsi ax = b tənliyidir, burada a > 0 və a ≠ 1 olur.

1) b üçün< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 üçün funksiyanın monotonluğundan və kök teoremindən istifadə edərək tənliyin tək kökü olur. Onu tapmaq üçün b b = aс, ax = bс ó x = c və ya x = logab kimi göstərilməlidir.

Cəbri çevrilmələr vasitəsilə eksponensial tənliklər aşağıdakı üsullarla həll olunan standart tənliklərə gətirib çıxarır:

1) bir bazaya endirmə üsulu;

2) qiymətləndirmə metodu;

3) qrafik üsul;

4) yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu;

5) faktorlara ayırma üsulu;

6) eksponensial - güc tənlikləri;

7) parametrli eksponensial.

2 . Bir əsasa endirmə üsulu.

Metod dərəcələrin aşağıdakı xassəsinə əsaslanır: əgər iki dərəcə bərabərdirsə və əsasları bərabərdirsə, onda onların göstəriciləri bərabərdir, yəni tənliyi formaya endirməyə çalışmaq lazımdır.

Nümunələr. Tənliyi həll edin:

1 . 3x=81;

Tənliyin sağ tərəfini 81 = 34 şəklində təqdim edək və ilkin 3 x = 34-ə bərabər olan bərabərliyi yazaq; x = 4. Cavab: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> və eksponentlər üçün tənliyə keçin 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Cavab: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" eni="105" hündürlük="47">

Qeyd edək ki, 0.2, 0.04, √5 və 25 ədədləri 5-in dərəcələridir. Gəlin bundan faydalanaq və orijinal tənliyi aşağıdakı kimi çevirək:

, buradan 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, buradan x = -1 həllini tapırıq. Cavab: -1.

5. 3x = 5. Loqarifmin tərifinə görə, x = log35. Cavab: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, yəni..png" width="181" height="49 src="> Beləliklə, x - 4 =0, x = 4. Cavab: 4. Tənliyi yenidən yazaq.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Güclərin xassələrindən istifadə edərək tənliyi e.x+1 = 2, x =1 şəklində yazırıq. Cavab: 1.

1 nömrəli tapşırıqlar bankı.

Tənliyi həll edin:

Test nömrəsi 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) kök yoxdur
	1) 7;1 2) kök yoxdur 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test # 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) kök yoxdur 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Qiymətləndirmə metodu.

Kök teoremi: f (x) funksiyası I intervalında artırsa (azalırsa), a sayı bu intervalda f tərəfindən qəbul edilən istənilən qiymətdir, onda f (x) = a tənliyinin I intervalında tək kökü var.

Tənlikləri qiymətləndirmə üsulu ilə həll edərkən bu teoremdən və funksiyanın monotonluq xassələrindən istifadə olunur.

Nümunələr. Tənlikləri həll edin: 1. 4x = 5 - x.

Qərar. Tənliyi 4x + x = 5 kimi yenidən yazaq.

1. əgər x \u003d 1, onda 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 doğrudursa, 1 tənliyin köküdür.

f(x) = 4x funksiyası R üzərində artır və g(x) = x R üzərində artır => h(x)= f(x)+g(x) artan funksiyaların cəmi kimi R üzərində artır, belə ki, x = 1 4x = 5 – x tənliyinin yeganə köküdür. Cavab: 1.

2.

Qərar. Tənliyi formada yenidən yazırıq .

1. əgər x = -1 olarsa, onda , 3 = 3-doğrudur, buna görə də x = -1 tənliyin köküdür.

2. unikal olduğunu sübut etmək.

3. f(x) = - funksiyası R-də azalır, g(x) = - x - R-də azalır => h(x) = f(x) + g(x) - R-də cəm kimi azalır. azalan funksiyalar. Beləliklə, kök teoreminə görə, x = -1 tənliyin yeganə köküdür. Cavab: -1.

2 nömrəli tapşırıqlar bankı. tənliyi həll edin

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Yeni dəyişənlərin tətbiqi üsulu.

Metod bölmə 2.1-də təsvir edilmişdir. Yeni dəyişənin (əvəzetmə) tətbiqi adətən tənliyin şərtlərinin çevrilməsindən (sadələşdirilməsindən) sonra həyata keçirilir. Nümunələri nəzərdən keçirin.

Nümunələr. R yemək tənliyi: 1. .

Gəlin tənliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e.png" width="210" height = "45">

Qərar. Tənliyi fərqli şəkildə yenidən yazaq:

https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> işarələyin - uyğun deyil.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> irrasional tənlikdir.Qeyd edək ki,

Tənliyin həlli x = 2.5 ≤ 4-ə bərabərdir, ona görə də 2.5 tənliyin köküdür. Cavab: 2.5.

Qərar. Tənliyi yenidən formada yazaq və hər iki tərəfi 56x+6 ≠ 0-a bölək. Tənliyi alırıq.

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, belə ki..png" eni="118" hündürlük="56">

Kvadrat tənliyin kökləri - t1 = 1 və t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Qərar . Tənliyi formada yenidən yazırıq

və ikinci dərəcəli bircins tənlik olduğunu qeyd edin.

Tənliyi 42x-ə bölün, alırıq

Əvəz edin https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Cavab: 0; 0.5.

Tapşırıq bankı №3. tənliyi həll edin

b)

G)

Test №3 cavab seçimi ilə. Minimum səviyyə.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
А2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) kök yoxdur 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) kök yoxdur 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test # 4 cavab seçimi ilə. Ümumi səviyyə.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) kökləri yoxdur

5. Faktorlara ayırma üsulu.

1. Tənliyi həll edin: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Həll..png" width="169" height="69"> , haradan

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Qərar. Tənliyin sol tərəfində 6x, sağ tərəfində isə 2x çıxaraq. 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x tənliyini alırıq.

Bütün x üçün 2x >0 olduğundan, həll yollarını itirməkdən qorxmadan bu tənliyin hər iki tərəfini 2x-ə bölmək olar. 3x = 1ó x = 0 alırıq.

3.

Qərar. Tənliyi faktorinq üsulu ilə həll edirik.

Binomun kvadratını seçirik

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" eni="500" hündürlük="181">

x = -2 tənliyin köküdür.

Tənlik x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test # 6 Ümumi səviyyə.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Eksponensial - güc tənlikləri.

Eksponensial tənliklərə eksponensial güc tənlikləri, yəni (f(x))g(x) = (f(x))h(x) formalı tənliklər birləşdirilir.

Əgər f(x)>0 və f(x) ≠ 1 olduğu məlumdursa, eksponensial kimi tənlik də g(x) = f(x) göstəricilərini bərabərləşdirməklə həll edilir.

Əgər şərt f(x)=0 və f(x)=1 imkanlarını istisna etmirsə, onda eksponensial güc tənliyini həll edərkən bu halları nəzərə almalıyıq.

1..png" eni="182" hündürlük="116 src=">

2.

Qərar. x2 +2x-8 - hər hansı x üçün məna kəsb edir, çünki çoxhədli olduğu üçün tənlik çoxluğa ekvivalentdir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" eni="137" hündürlük="35">

b)

7. Parametrli eksponensial tənliklər.

1. 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) tənliyinin p parametrinin hansı qiymətləri üçün unikal həlli var?

Qərar. 2x = t, t > 0 dəyişikliyini təqdim edək, onda (1) tənliyi t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 formasını alacaq. (2)

(2) tənliyinin diskriminantı D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2-dir.

Əgər (2) tənliyinin bir müsbət kökü varsa, (1) tənliyinin unikal həlli var. Bu, aşağıdakı hallarda mümkündür.

1. Əgər D = 0, yəni p = 1 olarsa, (2) tənliyi t2 – 2t + 1 = 0 formasını alacaq, deməli, t = 1, deməli, (1) tənliyinin x = 0 unikal həlli var.

2. Əgər p1, onda 9(p – 1)2 > 0 olarsa, (2) tənliyinin iki fərqli kökü var t1 = p, t2 = 4p – 3. Sistemlər çoxluğu məsələnin şərtini ödəyir.

Sistemlərdə t1 və t2-ni əvəz edərək, bizdə var

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Qərar. Qoy olsun onda (3) tənliyi t2 – 6t – a = 0 formasını alacaq. (4)

(4) tənliyinin ən azı bir kökünün t > 0 şərtini ödədiyi a parametrinin qiymətlərini tapaq.

f(t) = t2 – 6t – a funksiyasını təqdim edək. Aşağıdakı hallar mümkündür.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Hal 2. (4) tənliyinin unikal müsbət həlli var, əgər

D = 0, əgər a = – 9 olarsa, (4) tənliyi (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1 formasını alacaqdır.

Məsələn 3. (4) tənliyinin iki kökü var, lakin onlardan biri t > 0 bərabərsizliyini təmin etmir.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Beləliklə, a 0-da (4) tənliyinin tək müsbət kökü var . Onda (3) tənliyinin unikal həlli var

üçün a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

əgər a< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
a = – 9 olarsa, x = – 1;

a  0 olarsa, onda

(1) və (3) tənliklərinin həlli üsullarını müqayisə edək. Qeyd edək ki, (1) tənliyini həll edərkən diskriminantı tam kvadrat olan kvadrat tənliyə endirilmişdir; beləliklə, (2) tənliyinin kökləri dərhal kvadrat tənliyin köklərinin düsturu ilə hesablanmış və sonra bu köklərlə bağlı nəticələr çıxarılmışdır. (3) tənliyi diskriminantı mükəmməl kvadrat olmayan kvadratik tənliyə (4) endirildi, buna görə də (3) tənliyini həll edərkən kvadrat üçhəmin köklərinin yerləşməsi haqqında teoremlərdən istifadə etmək məqsədəuyğundur. qrafik modelidir. Qeyd edək ki, (4) tənliyi Vyeta teoremindən istifadə etməklə həll edilə bilər.

Daha mürəkkəb tənlikləri həll edək.

Tapşırıq 3. Tənliyi həll edin

Qərar. ODZ: x1, x2.

Bir əvəz təqdim edək. 2x = t, t > 0 olsun, onda çevrilmələr nəticəsində tənlik t2 + 2t – 13 – a = 0 formasını alacaq. (*) Ən azı bir kökü olan a-nın qiymətlərini tapın. (*) tənliyi t > 0 şərtini ödəyir.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Cavab: a > - 13, a  11, a  5 olarsa, a - 13 olarsa,

a = 11, a = 5, onda heç bir kök yoxdur.

Biblioqrafiya.

1. Təhsil texnologiyasının Quzeyev əsasları.

2. Guzeev texnologiyası: qəbuldan fəlsəfəyə qədər.

M. “Müdir” No 4, 1996

3. Quzeev və təhsilin təşkilati formaları.

4. Guzeev və inteqral təhsil texnologiyası təcrübəsi.

M. “Xalq təhsili”, 2001

5. Guzeev dərs formalarından - seminar.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1987, s.9 - 11.

6. Selevko təhsil texnologiyaları.

M. “Xalq təhsili”, 1998

7. Episheva məktəbliləri riyaziyyatı öyrənirlər.

M. “Maarifçilik”, 1990

8. İvanov dərslər - seminarlar hazırlamaq.

6 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1990, s. 37-40.

9. Riyaziyyatın tədrisinin Smirnov modeli.

1 nömrəli məktəbdə riyaziyyat, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko praktiki işin təşkili yolları.

1 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1993, s. 27 - 28.

11. Fərdi iş növlərindən biri haqqında.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1994, s.63 - 64.

12. Məktəblilərin Xazankin yaradıcılıq qabiliyyətləri.

2 saylı məktəbdə riyaziyyat, 1989, s. on.

13. Scanavi. Nəşriyyat, 1997

14. və başqaları Cəbr və təhlilin başlanğıcları. Üçün didaktik materiallar

15. Riyaziyyatda Krivonoqov tapşırıqları.

M. “Birinci sentyabr”, 2002

16. Çerkasov. Ali məktəb tələbələri üçün dərslik və

universitetlərə daxil olmaq. "A S T - mətbuat məktəbi", 2002

17. Universitetlərə abituriyentlər üçün Zhevnyak.

Minsk və RF "İcmal", 1996

18. Yazılı D. Riyaziyyatdan imtahana hazırlıq. M. Rolf, 1999

19. və başqaları.Tənlikləri və bərabərsizlikləri həll etməyi öyrənmək.

M. “İntellekt – Mərkəz”, 2003

20. və s. EG E-yə hazırlıq üçün tədris və təlim materialları.

M. "İntellekt - Mərkəz", 2003 və 2004

21 və başqaları.CMM variantları. Rusiya Federasiyası Müdafiə Nazirliyinin Test Mərkəzi, 2002, 2003

22. Qoldberq tənlikləri. “Kvant” №3, 1971-ci il

23. Voloviç M. Riyaziyyatı necə uğurla öyrətmək olar.

Riyaziyyat, 1997 No 3.

Dərs üçün 24 Okunev, uşaqlar! M. Maarifçilik, 1988

25. Yakimanskaya - məktəbdə yönümlü təhsil.

26. Liimets dərsdə işləyir. M. Bilik, 1975

Birinci səviyyə

eksponensial tənliklər. Hərtərəfli Bələdçi (2019)

hey! Bu gün biz sizinlə həm elementar ola biləcək tənlikləri necə həll edəcəyinizi müzakirə edəcəyik (və ümid edirəm ki, bu məqaləni oxuduqdan sonra onların demək olar ki, hamısı sizin üçün belə olacaq) və adətən "doldurma" verilir. Görünür, tam yuxuya getmək. Amma əlimdən gələni etməyə çalışacağam ki, indi bu tip tənliklərlə qarşılaşdığınız zaman çətinlik çəkməyəsiniz. Artıq kolun ətrafında döyməyəcəyəm, amma dərhal bir az sirri açacağam: bu gün öyrənəcəyik eksponensial tənliklər.

Onları həll etmək yollarının təhlilinə başlamazdan əvvəl, bu mövzunu fırtınalamağa tələsməzdən əvvəl təkrarlamalı olduğunuz bir dairəni (kifayət qədər kiçik) dərhal sizə təqdim edəcəyəm. Beləliklə, ən yaxşı nəticələr üçün, xahiş edirik təkrarlamaq:

1. xassələri və
2. Həlli və Tənliklər

Təkrarlandı? Heyrətamiz! Onda tənliyin kökünün ədəd olduğunu fərq etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Bunu necə etdiyimi başa düşdüyünə əminsən? Həqiqət? Sonra davam edirik. İndi mənə suala cavab ver, üçüncü qüvvə nəyə bərabərdir? Sən tamamilə haqlısan: . Səkkiz ikinin hansı qüvvəsidir? Düzdür - üçüncü! Çünki. Yaxşı, indi aşağıdakı məsələni həll etməyə çalışaq: Ədədi bir dəfə özünə vurub nəticəni alaq. Sual budur ki, mən özümə neçə dəfə vurmuşam? Əlbəttə ki, bunu birbaşa yoxlaya bilərsiniz:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( düzləşdirmək)

Onda belə nəticəyə gələ bilərsiniz ki, mən dəfələri özünə vurdum. Bunu başqa necə yoxlamaq olar? Və burada necə: birbaşa dərəcənin tərifi ilə: . Amma etiraf etməlisən ki, almaq üçün ikini neçəyə vurmaq lazım olduğunu soruşsaydım, deyəcəksən: üzüm göyərənə qədər özümü aldatmayacağam və özümə çoxalmayacağam. Və o, tamamilə haqlı olardı. Çünki necə edə bilərsən bütün hərəkətləri qısaca yazın(və qısalıq istedadın bacısıdır)

harada - bu çox "dəfə"özü ilə çoxaldıqda.

Düşünürəm ki, bilirsiniz (və əgər bilmirsinizsə, təcili, çox təcili olaraq dərəcələri təkrarlayın!) O zaman mənim problemim formada yazılacaq:

Necə məntiqli nəticə çıxara bilərsiniz:

Beləliklə, sakitcə ən sadəini yazdım eksponensial tənlik:

Və hətta tapdı kök. Sizə elə gəlmirmi ki, hər şey çox mənasızdır? Mən də elə düşünürəm. Budur sizin üçün başqa bir nümunə:

Amma nə etməli? Axı onu (ağlabatan) ədədin dərəcəsi kimi yazmaq olmaz. Ümidsizliyə qapılmayaq və qeyd edək ki, bu rəqəmlərin hər ikisi eyni ədədin gücü ilə mükəmməl ifadə olunub. Nə? Sağ: . Sonra orijinal tənlik formaya çevrilir:

Artıq başa düşdüyünüz kimi, haradan. Artıq çəkib yazmayaq tərif:

Bizim vəziyyətimizdə sizinlə: .

Bu tənliklər onları aşağıdakı formaya endirməklə həll olunur:

tənliyin sonrakı həlli ilə

Biz, əslində, əvvəlki nümunədə bunu etdik: biz bunu aldıq. Və sizinlə ən sadə tənliyi həll etdik.

Görünür, mürəkkəb bir şey yoxdur, elə deyilmi? Əvvəlcə ən sadə üzərində məşq edək. nümunələr:

Yenə görürük ki, tənliyin sağ və sol tərəfləri bir ədədin gücü kimi göstərilməlidir. Düzdür, bu, artıq solda edilib, amma sağda bir nömrə var. Ancaq hər şey qaydasındadır və mənim tənliyim möcüzəvi şəkildə buna çevrilir:

Mənim burada nə işim var idi? Hansı qayda? Gücdən Hakimiyyət Qaydası hansı oxuyur:

Birdən:

Bu suala cavab verməzdən əvvəl gəlin sizinlə aşağıdakı cədvəli dolduraq:

Nə qədər kiçik olsa, dəyərin daha kiçik olduğunu fərq etmək bizim üçün asandır, lakin buna baxmayaraq, bütün bu dəyərlər sıfırdan böyükdür. VƏ HƏMİŞƏ BELƏ OLACAQ!!! Eyni əmlak İSTƏNİLƏN İNDEKSİ OLAN HƏR BAZA ÜÇÜN doğrudur!! (hər hansı və üçün). Onda tənlik haqqında nə nəticə çıxara bilərik? Və burada biri: o kökləri yoxdur! Hər hansı bir tənliyin kökü olmadığı kimi. İndi məşq edək və Bəzi sadə nümunələri həll edək:

yoxlayaq:

1. Burada sizdən güclərin xassələrini bilməkdən başqa heç nə tələb olunmur (yeri gəlmişkən, bunu təkrar etməyinizi xahiş etdim!) Bir qayda olaraq, hər şey ən kiçik bazaya gətirib çıxarır: , . Onda orijinal tənlik aşağıdakılara bərabər olacaq: Mənə lazım olan tək şey güclərin xassələrindən istifadə etməkdir: eyni əsaslı ədədləri vurduqda göstəricilər toplanır, bölmək zamanı isə çıxarılır. Sonra əldə edəcəm: Yaxşı, indi təmiz bir vicdanla eksponensial tənlikdən xətti tənliyə keçəcəyəm: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(düzləşdirmə)

2. İkinci misalda daha diqqətli olmalısınız: problem ondadır ki, sol tərəfdə biz eyni rəqəmi güclə təmsil edə bilməyəcəyik. Bu vəziyyətdə bəzən faydalıdır ədədləri müxtəlif əsasları olan, lakin eyni eksponentləri olan güclərin məhsulu kimi təmsil edir:

Tənliyin sol tərəfi aşağıdakı formanı alacaq: Bu bizə nə verdi? Və budur: Fərqli əsaslara malik, lakin eyni göstəriciyə malik olan ədədləri çoxaltmaq olar.Bu halda, əsaslar vurulur, lakin eksponent dəyişmir:

Vəziyyətimə tətbiq edildikdə, bu verəcək:

\başlamaq (hizalamaq)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(düzləşdirmə)

Pis deyil, hə?

3. Tənliyin bir tərəfində iki şərt, digər tərəfində isə heç biri yoxdur (bəzən, əlbəttə ki, bu, haqlıdır, amma indi belə deyil). Mənfi termini sağa köçürün:

İndi, əvvəlki kimi, üçlüyün səlahiyyətləri vasitəsilə hər şeyi yazacağam:

Mən soldakı gücləri əlavə edirəm və ekvivalent tənlik əldə edirəm

Onun kökünü asanlıqla tapa bilərsiniz:

4. Üçüncü misalda olduğu kimi, mənfi olan termin - sağ tərəfdə bir yer!

Solda, demək olar ki, mənimlə hər şey yaxşıdır, nədən başqa? Bəli, ikilinin "yanlış dərəcəsi" məni narahat edir. Ancaq bunu yazmaqla asanlıqla düzəldə bilərəm: . Evrika - solda, bütün əsaslar fərqlidir, lakin bütün dərəcələr eynidir! Tez çoxalırıq!

Yenə də hər şey aydındır: (əgər başa düşmədinizsə, axırıncı bərabərliyi necə sehrli əldə etdim, bir dəqiqəlik fasilə verin, fasilə verin və dərəcənin xüsusiyyətlərini çox diqqətlə oxuyun. Kim dedi ki, atlaya bilərsiniz. Mənfi eksponentli dərəcə? Yaxşı, burada mən heç kimlə eyniyəm). İndi alacağam:

\başlamaq (hizalamaq)
& ((2)^(4\sol((x) -9 \sağ)=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(düzləşdirmə)

Budur məşq etməyiniz üçün tapşırıqlar, mən onlara yalnız cavab verəcəyəm (lakin “qarışıq” formada). Onları həll edin, yoxlayın və biz araşdırmalarımızı davam etdirək!

Hazırsan? Cavablar bunlar kimi:

1. istənilən nömrə

Yaxşı, tamam, zarafat etdim! Budur həllərin konturları (bəziləri olduqca qısadır!)

Sizcə, soldakı bir fraksiyanın digərinin "ters çevrilmiş" olması təsadüfi deyilmi? Bundan istifadə etməmək günah olardı:

Bu qayda eksponensial tənlikləri həll edərkən çox istifadə olunur, yaxşı xatırlayın!

Sonra orijinal tənlik belə olur:

Bu kvadrat tənliyi həll etməklə aşağıdakı kökləri əldə edəcəksiniz:

2. Başqa bir həll: tənliyin hər iki hissəsini soldakı (və ya sağdakı) ifadə ilə bölmək. Sağda olana böləcəyəm, sonra alacağam:

Harada (niyə?!)

3. Özümü təkrarlamaq belə istəmirəm, artıq hər şey o qədər “çeynəlib”.

4. kvadrat tənliyə ekvivalent, köklər

5. Birinci tapşırıqda verilmiş düsturdan istifadə etməlisiniz, onda bunu əldə edəcəksiniz:

Tənlik mənasız bir şəxsiyyətə çevrildi, bu, hər kəs üçün doğrudur. Onda cavab istənilən real rəqəmdir.

Yaxşı, buradasınız və qərar vermək üçün məşq etdiniz ən sadə eksponensial tənliklər.İndi mən sizə prinsipcə nə üçün lazım olduğunu başa düşməyə kömək edəcək bəzi həyat nümunələri vermək istəyirəm. Burada iki misal verəcəyəm. Onlardan biri olduqca gündəlikdir, digəri isə praktiki maraqdan daha çox elmidir.

Nümunə 1 (ticarət) Rublunuz olsun, amma siz onu rubla çevirmək istəyirsiniz. Bank sizə bu pulu sizdən illik faiz dərəcəsi ilə aylıq faiz kapitallaşması (aylıq hesablama) ilə almağı təklif edir. Sual budur ki, istədiyiniz yekun məbləği toplamaq üçün neçə ay müddətinə əmanət açmaq lazımdır? Olduqca adi bir işdir, elə deyilmi? Buna baxmayaraq, onun həlli müvafiq eksponensial tənliyin qurulması ilə bağlıdır: Qoy - ilkin məbləğ, - son məbləğ, - dövr üçün faiz dərəcəsi, - dövrlərin sayı. Sonra:

Bizim vəziyyətimizdə (əgər dərəcə illikdirsə, o zaman ayda hesablanır). Niyə bölünür? Bu sualın cavabını bilmirsinizsə, "" mövzusunu xatırlayın! Sonra aşağıdakı tənliyi alırıq:

Bu eksponensial tənliyi artıq yalnız kalkulyatorla həll etmək olar (görünüşü buna işarə edir və bu, bir az sonra tanış olacağımız loqarifmlər haqqında bilik tələb edir), mən bunu edəcəm: ... Beləliklə, bir milyon almaq, bir ay üçün töhfə vermək lazımdır (çox sürətli deyil, elə deyilmi?).

Nümunə 2 (daha çox elmi). Bəzi "təcrid" olmasına baxmayaraq, ona diqqət yetirməyi məsləhət görürəm: o, mütəmadi olaraq "imtahana girir!! (tapşırıq “real” variantdan götürülmüşdür) Radioaktiv izotopun parçalanması zamanı onun kütləsi qanuna uyğun olaraq azalır, burada (mq) izotopun ilkin kütləsi, (dəq.) izotopun parçalanmasından keçən vaxtdır. ilkin an, (dəq.) yarımparçalanma dövrüdür. Zamanın başlanğıc anında izotopun kütləsi mq-dır. Onun yarı ömrü min. Neçə dəqiqədən sonra izotopun kütləsi mq-a bərabər olacaq? Əla deyil: biz sadəcə olaraq bizə təklif olunan düsturdakı bütün məlumatları götürüb əvəz edirik:

Gəlin hər iki hissəni "ümidlə" bölək ki, solda həzm oluna bilən bir şey əldə edək:

Yaxşı, çox şanslıyıq! O, solda dayanır, sonra ekvivalent tənliyə keçək:

Harada min.

Gördüyünüz kimi, eksponensial tənliklərin praktikada çox real tətbiqi var. İndi mən sizinlə eksponensial tənliklərin həllinin başqa (sadə) yolunu müzakirə etmək istəyirəm ki, bu da mötərizədə ümumi amili çıxarmağa və sonra şərtləri qruplaşdırmağa əsaslanır. Sözlərimdən qorxma, siz artıq 7-ci sinifdə çoxhədliləri öyrənəndə bu üsulla qarşılaşmısınız. Məsələn, ifadəni faktorlara ayırmaq lazımdırsa:

Qruplaşdıraq: birinci və üçüncü şərtlər, həmçinin ikinci və dördüncü. Aydındır ki, birinci və üçüncü kvadratların fərqidir:

ikinci və dördüncü isə üç ümumi əmsala malikdir:

Onda orijinal ifadə buna bərabərdir:

Ümumi faktoru haradan çıxarmaq artıq çətin deyil:

Beləliklə,

Eksponensial tənlikləri həll edərkən təxminən belə hərəkət edəcəyik: şərtlər arasında "ümumiliyi" axtarın və onu mötərizədən çıxarın, sonra - nə olsun, şanslı olacağımıza inanıram =)) Məsələn:

Sağda yeddinin gücündən uzaqdır (yoxladım!) Solda isə - bir az daha yaxşı, əlbəttə ki, a amilini birinci və ikinci hissədən "kəsmək" və sonra məşğul ola bilərsiniz. nə əldə etdin, amma səninlə daha ehtiyatlı davranaq. Mən “seçmə” ilə qaçılmaz olaraq yaranan fraksiyalarla məşğul olmaq istəmirəm, buna görə də dözmək daha yaxşı olmazmı? Onda məndə fraksiyalar olmayacaq: necə deyərlər, həm canavar doyur, həm də qoyunlar salamatdır:

Mötərizədə ifadəni sayın. Sehrli, sehrli şəkildə belə çıxır (təəccüblü olsa da, başqa nə gözləmək olar?).

Sonra tənliyin hər iki tərəfini bu əmsalla azaldırıq. Alırıq: harada.

Budur daha mürəkkəb bir nümunə (bir az, həqiqətən):

Problem budur! Bizim burada ortaq nöqtəmiz yoxdur! İndi nə edəcəyiniz tam aydın deyil. Gəlin əlimizdən gələni edək: birincisi, “dördləri” bir istiqamətə, “beşləri” isə digər istiqamətdə hərəkət etdirəcəyik:

İndi sol və sağdakı "ümumi"ni çıxaraq:

İndi nə? Belə axmaq qruplaşmanın nə faydası var? İlk baxışdan heç görünmür, amma daha dərindən baxaq:

Yaxşı, indi elə edək ki, solda yalnız c ifadəsi, sağda isə qalan hər şey olsun. Biz bunu necə edə bilərik? Budur: Tənliyin hər iki tərəfini əvvəlcə bölün (beləliklə, sağdakı eksponentdən xilas olaq) və sonra hər iki tərəfi bölün (beləliklə, soldakı ədədi amildən xilas olaq). Nəhayət əldə edirik:

İnanılmaz! Solda bir ifadəmiz var, sağda isə sadəcə. Sonra dərhal nəticə çıxarırıq

Möhkəmləndirmək üçün başqa bir nümunə:

Mən onun qısa həllini verəcəyəm (əslində izah etməkdən çəkinmir), həllin bütün "incəliklərini" özünüz anlamağa çalışın.

İndi materialın son konsolidasiyası əhatə olunur. Aşağıdakı problemləri özünüz həll etməyə çalışın. Onları həll etmək üçün yalnız qısa tövsiyələr və məsləhətlər verəcəyəm:

1. Mötərizədə ümumi faktoru çıxaraq:
2. Birinci ifadəni formada təqdim edirik: , hər iki hissəni bölün və onu alın
3. , sonra orijinal tənlik formaya çevrilir: Yaxşı, indi bir ipucu - bu tənliyi artıq həll etdiyimiz yeri axtarın!
4. Təsəvvür edin, necə, necə, ah, yaxşı, sonra hər iki hissəni bölün, beləliklə ən sadə eksponensial tənliyi əldə edin.
5. Mötərizələrdən çıxarın.
6. Mötərizələrdən çıxarın.

EKPOZİSİYON TƏNLİKLƏR. ORTA SƏVİYYƏ

Güman edirəm ki, izah edilən ilk məqaləni oxuduqdan sonra eksponensial tənliklər nədir və onları necə həll etmək olar, siz ən sadə misalları həll etmək üçün lazım olan minimum biliyə yiyələnmisiniz.

İndi eksponensial tənliklərin həlli üçün başqa bir üsul təhlil edəcəyəm, bu

"yeni dəyişənin tətbiqi üsulu" (və ya əvəzetmə). O, eksponensial tənliklər (və təkcə tənliklər deyil) mövzusunda "çətin" məsələlərin əksəriyyətini həll edir. Bu üsul praktikada ən çox istifadə edilənlərdən biridir. Əvvəlcə mövzu ilə tanış olmağı məsləhət görürəm.

Adından artıq başa düşdüyünüz kimi, bu metodun mahiyyəti belə bir dəyişən dəyişikliyini təqdim etməkdir ki, eksponensial tənliyiniz möcüzəvi şəkildə asanlıqla həll edə biləcəyiniz tənliyə çevrilsin. Bu çox "sadələşdirilmiş tənliyi" həll etdikdən sonra sizə qalan yalnız "əks dəyişdirmə" etməkdir: yəni dəyişdiriləndən dəyişdirilənə qayıtmaq. İndi dediklərimizi çox sadə bir misalla izah edək:

Misal 1:

Bu tənlik riyaziyyatçıların aşağılayıcı şəkildə adlandırdıqları kimi "sadə əvəzetmə" ilə həll edilir. Həqiqətən də buradakı əvəzetmə ən barizdir. Sadəcə bunu görmək lazımdır

Sonra orijinal tənlik belə olur:

Əlavə olaraq necə təsəvvür etsək, nəyin dəyişdirilməsi lazım olduğu tamamilə aydındır: əlbəttə ki, . Sonra orijinal tənlik nə olur? Və budur:

Onun köklərini özünüz asanlıqla tapa bilərsiniz:. İndi nə etməliyik? Orijinal dəyişənə qayıtmağın vaxtı gəldi. Nəyi daxil etməyi unutdum? Məhz: müəyyən bir dərəcəni yeni dəyişənlə əvəz edərkən (yəni bir növü əvəz edərkən) məni maraqlandıracaq. yalnız müsbət köklər! Səbəbini özünüz asanlıqla cavablandıra bilərsiniz. Beləliklə, sizinlə maraqlanmırıq, amma ikinci kök bizim üçün olduqca uyğundur:

Sonra hara.

Cavab:

Gördüyünüz kimi, əvvəlki nümunədə, əvəz bizim əllərimizi istəyirdi. Təəssüf ki, bu həmişə belə olmur. Ancaq gəlin birbaşa kədərə getməyək, kifayət qədər sadə bir əvəz ilə daha bir nümunə üzərində məşq edək

Misal 2

Aydındır ki, çox güman ki, əvəz etmək lazım olacaq (bu, tənliyimizə daxil olan səlahiyyətlərin ən kiçikidir), lakin əvəzetməni təqdim etməzdən əvvəl tənliyimizi bunun üçün "hazırlamaq" lazımdır, yəni: , . Sonra əvəz edə bilərsiniz, nəticədə aşağıdakı ifadəni alacağam:

Oh dəhşət: onun həlli üçün tamamilə dəhşətli düsturları olan bir kub tənliyi (yaxşı, ümumi sözlə desək). Ancaq gəlin dərhal ümidsizliyə qapılmayaq, nə etməli olduğumuzu düşünək. Mən aldatmağı təklif edəcəyəm: biz bilirik ki, "gözəl" cavab almaq üçün üçün hansısa qüvvəsi şəklində almalıyıq (niyə belə olsun, hə?). Gəlin tənliyimizin heç olmasa bir kökünü təxmin etməyə çalışaq (üçün gücündən təxmin etməyə başlayacağam).

İlk təxmin. Kök deyil. Vay və ah...

.
Sol tərəf bərabərdir.
Sağ hissə:!
var! İlk kökü təxmin etdi. İndi işlər asanlaşacaq!

Siz "künc" bölgü sxemi haqqında bilirsinizmi? Əlbəttə ki, bilirsiniz, bir ədədi digərinə böləndə istifadə edirsiniz. Ancaq çoxhədlilərlə eyni şeyin edilə biləcəyini az adam bilir. Bir gözəl teorem var:

Vəziyyətimə uyğun olaraq, mənə qalıq olmadan nəyin bölünə biləcəyini söyləyir. Bölmə necə aparılır? Beləcə:

Aydın olmaq üçün hansı monomialı çoxaltmalı olduğuma baxıram, sonra:

Nəticəni ifadədən çıxarıram, alıram:

İndi, almaq üçün nəyi çoxaltmalıyam? Aydındır ki, sonra mən alacağam:

və nəticədə qalan ifadəni yenidən çıxarın:

Yaxşı, son addım, qalan ifadədən vururam və çıxarıram:

Yaşa, bölgü bitdi! Şəxsi olaraq nə topladıq? Özlüyündə: .

Sonra orijinal polinomun aşağıdakı genişlənməsini əldə etdik:

İkinci tənliyi həll edək:

Onun kökləri var:

Sonra orijinal tənlik:

üç kökü var:

Biz, əlbəttə ki, sıfırdan az olduğu üçün sonuncu kökü atırıq. Və tərs dəyişdirmədən sonra ilk ikisi bizə iki kök verəcəkdir:

Cavab: ..

Bu misalla mən sizi heç qorxutmaq istəmədim, əksinə, qarşıma məqsəd qoydum ki, bizdə kifayət qədər sadə bir əvəzetmə olsa da, həlli bəzi xüsusi bacarıqlar tələb edən kifayət qədər mürəkkəb bir tənliyə gətirib çıxardı. bizə. Yaxşı, heç kim bundan sığortalanmayıb. Ancaq bu vəziyyətdə dəyişiklik olduqca açıq idi.

Bir az daha az aydın əvəzetmə ilə bir nümunə:

Nə etməli olduğumuz heç də aydın deyil: problem ondadır ki, bizim tənliyimizdə iki fərqli əsas var və bir baza onu hər hansı (ağlabatan, təbii) gücə yüksəltməklə digərindən əldə edilə bilməz. Bununla belə, biz nə görürük? Hər iki əsas yalnız işarə ilə fərqlənir və onların məhsulu birinə bərabər olan kvadratların fərqidir:

Tərif:

Beləliklə, nümunəmizdə əsas olan ədədlər birləşir.

Bu halda, ağıllı hərəkət olardı tənliyin hər iki tərəfini konjugat sayı ilə çarpın.

Məsələn, on, onda tənliyin sol tərəfi bərabər olacaq və sağ tərəfi. Əvəz etsək, sizinlə orijinal tənliyimiz belə olacaq:

kökləri, onda, lakin bunu xatırlayaraq, biz bunu əldə edirik.

Cavab: , .

Bir qayda olaraq, əvəzetmə üsulu "məktəb" eksponensial tənliklərin əksəriyyətini həll etmək üçün kifayətdir. Aşağıdakı tapşırıqlar USE C1-dən götürülüb (artan çətinlik səviyyəsi). Siz artıq bu misalları özünüz həll edəcək qədər savadlısınız. Mən yalnız tələb olunan əvəzi verəcəm.

1. Tənliyi həll edin:
2. Tənliyin köklərini tapın:
3. Tənliyi həll edin: . Bu tənliyin seqmentə aid olan bütün köklərini tapın:

İndi bəzi qısa izahatlar və cavablar üçün:

1. Burada bunu qeyd etmək kifayətdir və. Onda orijinal tənlik buna ekvivalent olacaq: Bu tənlik əvəz etməklə həll edilir. Aşağıdakı hesablamaları özünüz edin. Sonda tapşırığınız ən sadə triqonometrik (sinus və ya kosinusdan asılı olaraq) həllinə qədər azalacaq. Bu cür nümunələrin həllini digər bölmələrdə müzakirə edəcəyik.
2. Burada hətta əvəz etmədən də edə bilərsiniz: çıxarışı sağa köçürmək və hər iki əsası ikinin səlahiyyətləri ilə təmsil etmək kifayətdir: sonra dərhal kvadrat tənliyə keçin.
3. Üçüncü tənlik də kifayət qədər standart şəkildə həll olunur: necə olduğunu təsəvvür edin. Sonra əvəz edərək kvadrat tənlik alırıq: onda,

   Loqarifmin nə olduğunu artıq bilirsinizmi? yox? O zaman mövzunu təcili oxuyun!

   Birinci kök, açıq-aydın, seqmentə aid deyil, ikincisi isə anlaşılmazdır! Ancaq çox tezliklə öyrənəcəyik! Ona görə də (bu, loqarifmin xassəsidir!) Gəlin müqayisə edək:

   Hər iki hissədən çıxırıq, onda alırıq:

   Sol tərəfi aşağıdakı kimi təmsil etmək olar:

   hər iki tərəfi çarpın:

   ilə vurula bilər, onda

   Sonra müqayisə edək:

   o vaxtdan bəri:

   Sonra ikinci kök istənilən intervala aiddir

   Cavab:

Gördüyünüz kimi, eksponensial tənliklərin köklərinin seçilməsi loqarifmlərin xassələri haqqında kifayət qədər dərin bilik tələb edir., buna görə də eksponensial tənlikləri həll edərkən mümkün qədər diqqətli olmağı məsləhət görürəm. Bildiyiniz kimi, riyaziyyatda hər şey bir-birinə bağlıdır! Riyaziyyat müəllimim deyirdi: “Riyaziyyat tarix kimidir, onu bir gecədə oxumaq olmaz”.

Bir qayda olaraq, hamısı C1 məsələlərinin həllində çətinlik məhz tənliyin köklərinin seçilməsidir. Başqa bir nümunə ilə məşq edək:

Aydındır ki, tənliyin özü olduqca sadə şəkildə həll olunur. Əvəzetmə etdikdən sonra orijinal tənliyimizi aşağıdakılara endiririk:

Əvvəlcə birinci kökə baxaq. Müqayisə et və: o vaxtdan bəri. (loqarifmik funksiyanın xassəsi, at). Onda aydın olur ki, birinci kök də bizim intervala aid deyil. İndi ikinci kök: . Aydındır ki (funksiya artdığından). Qalır müqayisə etmək və

o vaxtdan bəri, eyni zamanda. Beləliklə, mən və arasında "mix sürə" bilirəm. Bu dirək bir nömrədir. Birinci ifadə kiçik, ikincisi isə böyükdür. Onda ikinci ifadə birincidən böyükdür və kök intervala aiddir.

Cavab: .

Sonda, əvəzetmənin olduqca qeyri-standart olduğu başqa bir tənliyin nümunəsinə baxaq:

Dərhal nə edə biləcəyinizdən başlayaq və nə - prinsipcə, edə bilərsiniz, amma bunu etməmək daha yaxşıdır. Mümkündür - üç, iki və altının səlahiyyətləri ilə hər şeyi təmsil etmək. Hara aparır? Bəli və heç bir şeyə səbəb olmayacaq: dərəcələrin bir hodgepodge və bəzilərindən qurtulmaq olduqca çətin olacaq. Bəs onda nə lazımdır? Qeyd edək ki, a Və bu bizə nə verəcək? Və bu misalın həllini kifayət qədər sadə eksponensial tənliyin həllinə endirə biləcəyimiz faktı! Əvvəlcə tənliyimizi yenidən yazaq:

İndi yaranan tənliyin hər iki tərəfini aşağıdakılara bölürük:

Evrika! İndi əvəz edə bilərik, əldə edirik:

Yaxşı, indi nümayiş üçün problemləri həll etmək növbəsi sizdədir və mən onlara yalnız qısa şərhlər verəcəm ki, siz yolunuzu azmayasınız! Uğurlar!

1. Ən çətini! Burada bir əvəz görmək oh, necə də çirkindir! Buna baxmayaraq, bu nümunə istifadə edərək tamamilə həll edilə bilər tam kvadrat seçimi. Bunu həll etmək üçün qeyd etmək kifayətdir:

Beləliklə, əvəziniz budur:

(Qeyd edək ki, burada əvəzetməmizlə mənfi kökü silə bilmərik!!! Bəs niyə, siz nə düşünürsünüz?)

İndi nümunəni həll etmək üçün iki tənliyi həll etməlisiniz:

Onların hər ikisi "standart dəyişdirmə" ilə həll olunur (lakin bir nümunədə ikincisi!)

2. Buna diqqət yetirin və əvəzetmə edin.

3. Ədədi ümumi əmsallara genişləndirin və alınan ifadəni sadələşdirin.

4. Kəsirin payını və məxrəcini (yaxud istəsəniz) bölün və ya əvəzini edin.

5. Qeyd edək ki, və rəqəmləri birləşir.

EKPOZİSİYON TƏNLƏRİ. ƏTRAFLI SƏVİYYƏ

Bundan əlavə, başqa bir yola baxaq - eksponensial tənliklərin loqarifm üsulu ilə həlli. Deyə bilmərəm ki, eksponensial tənliklərin bu üsulla həlli çox populyardır, lakin bəzi hallarda yalnız o, bizi tənliyimizin düzgün həllinə apara bilər. Xüsusilə tez-tez sözdə həll etmək üçün istifadə olunur " qarışıq tənliklər': yəni müxtəlif növ funksiyaların olduğu yerlər.

Məsələn, belə bir tənlik:

ümumi halda, yalnız orijinal tənliyin aşağıdakılara çevrildiyi hər iki hissənin loqarifmini (məsələn, əsasla) götürməklə həll edilə bilər:

Aşağıdakı misalı nəzərdən keçirək:

Aydındır ki, bizi ancaq loqarifmik funksiyanın ODZ-si maraqlandırır. Bununla belə, bu, yalnız loqarifmin ODZ-dən deyil, başqa bir səbəbdən irəli gəlir. Düşünürəm ki, hansının olduğunu təxmin etmək sizin üçün çətin olmayacaq.

Tənliyimizin hər iki tərəfinin loqarifmini bazaya götürək:

Gördüyünüz kimi, ilkin tənliyimizin loqarifmini götürmək bizi tez bir zamanda düzgün (və gözəl!) cavaba apardı. Başqa bir nümunə ilə məşq edək:

Burada da narahat olmağa dəyməz: tənliyin hər iki tərəfinin loqarifmini baza baxımından götürürük, onda alırıq:

Əvəz edək:

Ancaq bir şeyi əldən verdik! Harada səhv etdiyimi gördünüzmü? Axı, onda:

tələbi ödəməyən (hardan gəldiyini düşünün!)

Cavab:

Aşağıdakı eksponensial tənliklərin həllini yazmağa çalışın:

İndi həllinizi bununla yoxlayın:

1. Bunu nəzərə alaraq hər iki hissəni bazaya loqarifm edirik:

(əvəz olunduğuna görə ikinci kök bizə uyğun gəlmir)

2. Əsasa loqarifm:

Nəticə ifadəsini aşağıdakı formaya çevirək:

EKPOZİSİYON TƏNLƏRİ. QISA TƏSVİRİ VƏ ƏSAS FORMULA

eksponensial tənlik

Tip tənliyi:

çağırdı ən sadə eksponensial tənlik.

Dərəcə xüsusiyyətləri

Həll yanaşmaları

• Eyni bazaya endirmə
• Eyni eksponentə endirmə
• Dəyişən əvəzetmə
• İfadəni sadələşdirin və yuxarıdakılardan birini tətbiq edin.

Bütün yeni video dərslərdən xəbərdar olmaq üçün saytımızın youtube kanalına.

Əvvəlcə dərəcələrin əsas düsturlarını və onların xassələrini xatırlayaq.

Nömrənin məhsulu aöz üzərinə n dəfə baş verir, bu ifadəni a … a=a n şəklində yaza bilərik

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Güc və ya eksponensial tənliklər- Bunlar dəyişənlərin dərəcələrdə (yaxud eksponentlərdə) olduğu tənliklərdir, baza isə ədəddir.

Eksponensial tənliklərə nümunələr:

Bu misalda 6 rəqəmi əsasdır, həmişə altdadır və dəyişəndir x dərəcə və ya ölçü.

Eksponensial tənliklərə daha çox nümunə verək.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

İndi eksponensial tənliklərin necə həll edildiyinə baxaq?

Sadə bir tənlik götürək:

2 x = 2 3

Belə bir nümunə hətta ağılda da həll edilə bilər. Görünür ki, x=3. Axı, sol və sağ tərəflərin bərabər olması üçün x əvəzinə 3 rəqəmini qoymaq lazımdır.
İndi gəlin bu qərarın necə verilməli olduğunu görək:

2 x = 2 3
x = 3

Bu tənliyi həll etmək üçün çıxardıq eyni əsaslar(yəni ikiliklər) və qalanları yazıblar, bunlar dərəcələrdir. Axtardığımız cavabı aldıq.

İndi həllimizi ümumiləşdirək.

Eksponensial tənliyin həlli alqoritmi:
1. Yoxlamaq lazımdır eyni tənliyin əsasları sağda və solda olsun. Əgər əsaslar eyni deyilsə, biz bu nümunəni həll etmək üçün variantlar axtarırıq.
2. Əsaslar eyni olduqdan sonra, bərabərləşdirmək dərəcə və nəticədə yeni tənliyi həll edin.

İndi bəzi nümunələri həll edək:

Sadə başlayaq.

Sol və sağ tərəfdəki əsaslar 2 rəqəminə bərabərdir, yəni bazanı atıb onların dərəcələrini bərabərləşdirə bilərik.

x+2=4 Ən sadə tənlik çıxdı.
x=4 - 2
x=2
Cavab: x=2

Aşağıdakı nümunədə əsasların fərqli olduğunu görə bilərsiniz, bunlar 3 və 9-dur.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Başlamaq üçün doqquzu sağ tərəfə köçürürük, alırıq:

İndi eyni əsasları düzəltməlisiniz. Biz bilirik ki, 9=32 . Güc düsturundan istifadə edək (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 alırıq

3 3x \u003d 3 2x + 16 indi sol və sağ tərəflərdəki əsasların eyni və üçə bərabər olduğu aydındır, yəni onları atıb dərəcələri bərabərləşdirə bilərik.

3x=2x+16 ən sadə tənliyi əldə etdi
3x-2x=16
x=16
Cavab: x=16.

Aşağıdakı misala baxaq:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Əvvəla, biz əsaslara baxırıq, əsaslar iki və dörd fərqlidir. Və biz də eyni olmalıyıq. Dördlüyə (a n) m = a nm düsturuna uyğun olaraq çevrilirik.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Həm də bir a n a m = a n + m düsturundan istifadə edirik:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Tənliyə əlavə edin:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Eyni səbəblərdən misal çəkdik. Amma digər 10 və 24 rəqəmləri bizə mane olur.Onlarla nə etmək lazımdır? Diqqətlə baxsanız, görə bilərsiniz ki, sol tərəfdə 2 2x təkrar edirik, cavab budur - mötərizədə 2 2x qoya bilərik:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Mötərizədə ifadəni hesablayaq:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Bütün tənliyi 6-ya bölürük:

Təsəvvür edin 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 əsas eynidir, onları atın və dərəcələri bərabərləşdirin.
2x \u003d 2 ən sadə tənlik oldu. Onu 2-yə bölürük, alırıq
x = 1
Cavab: x = 1.

tənliyi həll edək:

9 x - 12*3 x +27= 0

Gəlin çevirək:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Tənliyi alırıq:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Bazalar bizim üçün eynidir, üçə bərabərdir.Bu misalda birinci üçlüyün ikincidən (sadəcə x) iki dəfə (2x) dərəcəyə malik olduğunu görmək olar. Bu vəziyyətdə qərar verə bilərsiniz əvəzetmə üsulu. Ən kiçik dərəcəyə malik olan nömrə ilə əvəz olunur:

Sonra 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

t ilə tənlikdə bütün dərəcələri x ilə əvəz edirik:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Kvadrat tənlik alırıq. Diskriminant vasitəsilə həll edirik, əldə edirik:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Dəyişən səhifəsinə qayıt x.

t 1 alırıq:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Yəni,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Bir kök tapıldı. Biz t 2-dən ikincisini axtarırıq:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Cavab: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Saytda siz maraqlandıran suallar vermək üçün QƏRAR VERMƏYƏ KÖMƏK EDİN bölməsində edə bilərsiniz, biz sizə mütləq cavab verəcəyik.

Qrupa qoşulun

Yekun sınaq imtahanına hazırlıq mərhələsində lisey şagirdləri “İfrat tənliklər” mövzusunda biliklərini təkmilləşdirməlidirlər. Ötən illərin təcrübəsi göstərir ki, belə tapşırıqlar məktəblilər üçün müəyyən çətinliklər yaradır. Buna görə də orta məktəb şagirdləri hazırlıq səviyyəsindən asılı olmayaraq nəzəriyyəni diqqətlə mənimsəməli, düsturları yadda saxlamalı və belə tənliklərin həlli prinsipini başa düşməlidirlər. Bu tip tapşırıqların öhdəsindən gəlməyi öyrənən məzunlar riyaziyyatdan imtahan verərkən yüksək ballara arxalana biləcəklər.

Şkolkovo ilə birlikdə imtahan testinə hazır olun!

Öyrənilən materialları təkrarlayarkən bir çox şagirdlər tənliklərin həlli üçün lazım olan düsturların tapılması problemi ilə üzləşirlər. Məktəb dərsliyi həmişə əlində deyil və İnternetdə mövzu ilə bağlı lazımi məlumatların seçilməsi çox vaxt aparır.

Şkolkovo təhsil portalı tələbələri bilik bazamızdan istifadə etməyə dəvət edir. Biz yekun imtahana hazırlaşmağın tamamilə yeni üsulunu tətbiq edirik. Saytımızda oxuyaraq, bilik boşluqlarını müəyyən edə və ən böyük çətinliklərə səbəb olan vəzifələrə diqqət yetirə biləcəksiniz.

"Şkolkovo" müəllimləri imtahandan uğurla keçmək üçün lazım olan bütün materialları topladılar, sistemləşdirdilər və ən sadə və əlçatan formada təqdim etdilər.

Əsas təriflər və düsturlar "Nəzəri istinad" bölməsində təqdim olunur.

Materialın daha yaxşı mənimsənilməsi üçün tapşırıqları yerinə yetirməyi məsləhət görürük. Hesablama alqoritmini başa düşmək üçün bu səhifədə verilmiş həlləri olan eksponensial tənliklərin nümunələrini diqqətlə nəzərdən keçirin. Bundan sonra, "Kataloqlar" bölməsindəki tapşırıqlara davam edin. Siz ən asan tapşırıqlardan başlaya və ya bir neçə naməlum və ya mürəkkəb eksponensial tənliklərin həllinə birbaşa keçə bilərsiniz. Veb saytımızdakı məşqlər bazası daim əlavə olunur və yenilənir.

Sizi çətinliyə salan göstəriciləri olan nümunələri “Sevimlilər”ə əlavə etmək olar. Beləliklə, siz onları tez tapıb həll yolunu müəllimlə müzakirə edə bilərsiniz.

İmtahanı uğurla vermək üçün hər gün Shkolkovo portalında oxuyun!