Математическая модель результатов измерения погрешности измерения. Математические модели изменения во времени погрешности средств измерений

Производственные погрешности можно рассматривать как случайные величины, описываемые вероятностными (теоретическими) и статистическими (экспериментальными) методами. Исчерпывающей характеристикой погрешности как случайной величины является закон распределения с конкретными значениями соответствующих параметров. Описанию распределений производственных погрешностей наиболее соответствует закон Гаусса с плотностью вероятности, рассчитываемой по формуле:

где т и σ – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

Распределение Гаусса неоднократно подтверждалось экспериментальными данными в диапазоне значений, соответствующих размаху ±3σ. В соответствии с этим распределением, погрешность совмещения в конкретной точке εх в направлении Х воспринимается как случайная величина, распределенная по нормальному закону, со следующими характеристиками:

(3.16)

где rx – коэффициент корреляции между величинами смещений соседних единичных участков в направлении X ; С2 x – число сочетаний из Х по 2, рассчитываемое из выражения

Из соотношений (3.15) и (3.16) выводится аналитическая запись плотности вероятности распределения величин:

Графики зависимости погрешностей совмещения от координат точек по одной оси, вытекающие из соотношения (3.18), показаны на рис. 3.59.

Рис. 3.59. Диаграмма погрешностей совмещения слоев в направлении Х

При наличии статистических данных могут быть найдены числовые характеристики распределения (3.18) для участка длиной L с шагом сетки h . Они находятся из соотношений:

(3.19)

где ML , σ L – соответственно математическое ожидание и дисперсия деформации участка длиной L ; – число сочетаний из L / h по 2.

В общем виде модель погрешности A 095 (i) может быть представлена в виде До9 5 (?) = До + F(t), где До - начальная погрешность СИ; F(t) - случайная для совокупности СИ данного типа функция времени, обусловленная физико-химическими процессами постепенного износа и старения элементов и блоков. Получить точное выражение для функции F(t) исходя из физических моделей процессов старения практически не представляется возможным. Поэтому, основываясь на данных экспериментальных исследований изменения погрешностей во времени, функцию F(t) аппроксимируют той или иной математической зависимостью.

Простейшей моделью изменения погрешности является линейная:

где v - скорость изменения погрешности. Как показали проведенные исследования , данная модель удовлетворительно описывает старение СИ в возрасте от одного до пяти лег. Использование ее в других диапазонах времени невозможно ввиду явного противоречия между определенными по этой формуле и экспериментальными значениями частоты отказов.

Метрологические отказы возникают периодически. Механизм их периодичности иллюстрирует рис. 4.2, а , где прямой линией 1 показано изменение 95%-ного квантиля при линейном законе.

При метрологическом отказе погрешность Д 095 (?) превышает значение Д пр = До + Д 3 , где Д, - значение запаса нормируемого предела погрешности, необходимого для обеспечения долговременной работоспособности СИ. При каждом таком отказе производится ремонт прибора, и его погрешность возвращается к исходному значению Д^ По прошествии времени Т? = t { - - t j _ l опять происходит отказ (моменты t u t 2 , t 3 и т.д.), после которого вновь производится ремонт. Следовательно, процесс изменения погрешности СИ описывается ломаной линией 2 на рис. 4.2, а, которая может быть представлена уравнением

где п - число отказов (или ремонтов) СИ. Если число отказов считать целым, то это уравнение описывает дискретные точки на прямой 1

(см. рис. 4.2, а). Если же условно принять, что п может принимать и дробные значения, то формула (4.2) будет описывать всю прямую 1 изменения погрешности Л 095 (() при отсутствии отказов.

Частота метрологических отказов увеличивается с ростом скорости V. Она столь же сильно зависит от запаса нормируемого значения погрешности Д 3 по отношению к фактическому значению погрешности средства измерений Д 0 на момент изготовления или окончания ремонта прибора. Практические возможности воздействия на скорость изменения V и запас погрешности Д, совершенно различны. Скорость старения определяется существующей технологией производства. Запас погрешности для первого межремонтного интервала определяется решениями, принятыми производителем СИ, а для всех последующих межремонтных интервалов - уровнем культуры ремонтной службы пользователя.

Если метрологическая служба предприятия обеспечивает при ремонте погрешность СИ, равную погрешности Д 0 на момент изготовления, то частота метрологических отказов будет малой. Если же при ремонте лишь обеспечивается выполнение условия До * (0,9-0,95) Д пр, то погрешность может выйти за пределы допустимых значений уже в ближайшие месяцы эксплуатации СИ и большую часть межповерочного интервала оно будет эксплуатироваться с погрешностью, превышающей его класс точности. Поэтому основным практическим средством достижения долговременной метрологической исправности средства измерений является обеспечение достаточно большого запаса Д 3 , нормируемого по отношению к пределу Д пр.

Постепенное непрерывное расходование этого запаса обеспечивает на некоторый определенный период времени метрологически исправное состояние СИ. Ведущие приборостроительные заводы обеспечивают Д 3 = (0,4-0,5) Д пр, что при средней скорости старения V = 0,05 Д пр /год позволяет получать межремонтный интервал Г р = А 3 /и = 8-10 лет и частоту отказов со = 1/Гр = 0,1-0,125 год -1 .

При изменении погрешности СИ в соответствии с формулой (4.1) все межремонтные интерваты Т будут равны между собой, а частота метрологических отказов со = 1 /Т будет постоянной в течение всего срока эксплуатации.

Структурная схема измерительного устройства обычно представляется соединением звеньев, каждое из которых отражает математическую модель отдельного элемента или части ИУ.

Звено на структурной схеме И У условно обозначают в виде прямоугольника с указанием входной и выходной величин, а также передаточной функции звена внутри него. Если звено является безынерционным, то указывают функцию преобразования, коэффициент передачи, коэффициент чувствительности или статическую характеристику этого звена.

На рис. 3.1 показаны обозначения наиболее распространенных звеньев стационарных ИУ: безынерционного звена с нелинейной функцией преобразования у = f(x) (рис. 3.1, о), безынерционного звена с линейной пропорциональной функцией преобразования у = kx (рис. 3.1, б), инерционного линейного звена с передаточной функцией W(p) (рис. 3.1, в).

Рис. 3.1.

а - нелинейное безынерционное; 6 - линейное безынерционное; в - линейное инерционное; г - сумматор; д - сравнивающее устройство: е - с т входами и п выходами; ж - с двумя входами и одним выходом; з - с одним входом и двумя выходами

Здесь же показаны структурные схемы сумматора (рис. 3.1, г) и сравнивающего устройства (рис. 3.1, Э), для которых, соответственно, можно записать z-хл-у и z = x-y. Эти устройства также можно рассматривать в качестве звеньев структурной схемы ИУ, так как в общем случае звено может иметь несколько (т) входов и несколько (??) выходов (см. рис. 3.1, е). Например, мостовые схемы с двумя активными плечами имеют два входа и один выход (рис. 3.1, ж), а дифференциальные И У - один вход и два выхода (рис. 3.1, з ).

Звенья могут быть пронумерованы, а их передаточные функции, уравнения, или характеристики указаны вне структурной схемы. На рис. 3.2 показан пример такой структурной схемы. В этом случае ИУ состоит из двух безынерционных звеньев (линейного звена 1 (с характеристикой у х = 5х{) и нелинейного звена 2 (с характеристикой у 2 = У / (10 + у {))), одного линейного инерционного звена 3 с передаточной функцией W 3 (p) = 2/(р + 3), сравнивающего устройства и сумматора, определенным образом связанных между собой.

Рис. 3.2.

Справа от рисунка показана соответствующая система уравнений. Эта система уравнений и структурная схема И У эквивалентны. Однако, поскольку математическое описание одинаковых измерительных преобразований может быть различным, возможны разные варианты структурной схемы одного и того же ИУ.

При анализе статического режима измерений считается, что измеряемая величина и информативные параметры измерительного сигнала во всех точках структурной схемы И У не изменяются во времени. В этом случае в уравнении звена 3 следует принять dy^/dt = 0. Тогда система уравнений, описывающих структурную схему ИУ, примет вид

Исключая промежуточные переменные, найдем статическую характери стику ИУ

Видно, что вследствие нелинейности статической характеристики звена 2 общая статическая характеристика ИУ оказалась нелинейной. При малых изменениях измеряемой величины х можно вместо нелинейной характеристики звена 2 у 2 = */i/(10 + у х) использовать линеаризованную характеристику этого звена у 2 = yj 10. В этом случае вместо прежнего

результата получим у - - х.

В возмущенном режиме измерений структурная схема ИУ дополняется элементами, отражающими воздействие влияющих величин и помех (см. рис. 3.9). Их также можно считать постоянными или переменными, рассматривая соответственно возмущенный статический и возмущенный динамический режимы измерений.

Сведения о режиме измерений получают на основе анализа технического задания на проектирование средства измерений. В нем отражаются назначение и условия эксплуатации создаваемого ИУ. Используя эти данные, разрабатывают модель измерительного сигнала (7.1) и выявляют источники погрешностей измерений.

Быстрые флуктуации ε (t) определяют случайную погрешность, ко­торую приближенно описывают эргодическим случайным процессом с нулевым математическим ожиданием. При проведении измерений с многократными наблюдениями эта составляющая проявляется в виде случайной величины, принимающей значения εi= ε (t i), взятые в моменты t i (i = 1,2,...,п) проведения наблюдений. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности являют­ся функции распределения. По известной дифференциальной функции распределения (плотности вероятности) ρ(ε) можно опре­делить вероятность пребывания случайной погрешности в заданных

границах от ∆ н до ∆ в:

Так как ε = х - X , где X - истинное, ах- измеренное значение изме­ряемой величины, то Р∆ = Р{х - ∆ вн < X < х + ∆ вн } (∆ вн - симметрич­ные границы интервала). Следовательно, вероятность Р∆ соответ­ствует вероятности пребывания истинного значения на интервале от х - ∆ вн до х + ∆ вн. Поскольку общая погрешность ∆ = Θ + ε, то ее плотность вероятности можно определить, сместив график ρ(ε) на Θ. В данном случае нижнюю ∆ н и верхнюю ∆ в границы интервала, в котором с вероятностью Р∆ лежит погрешность, выбирают симмет­рично относительно математического ожидания, поэтому I∆ Н I≠ ∆ е

4.10.4. Примеры законов распределения погрешностей

Для анализа результата измерений необходимо знать законы рас­пределения отдельных составляющих погрешности, по которым можно определить закон распределения общей погрешности и ре­шить вопрос о вычислении границ погрешностей. В некоторых слу­чаях удается оценить законы распределения составляющих по­грешности до проведения опыта на основе анализа причин их воз­никновения.

Равномерный закон. Этому закону подчи­нены погрешности, возникающие при кван­товании и дискретизации сигнала. Напри­мер, при измерении постоянного напряже­ния U x путем его сравнения с образцовым напряжением, изменяющимся по ступенча­тому закону с постоянным шагом Uст, ре­зультат измерений определяется числом n ступенек, зафиксированным с помощью электронного счетчика, и погрешностью квантования ∆U кв: U x = nUст - ∆U KB . Поскольку значение измеряемого напряжения неизвестно и нельзя указать область его предпочтительных значений, погрешность кван­тования считают распределенной по равномерному закону от 0 до Uст. Систематическая погрешность

График плотности вероятности случайной погрешности ε = ∆U кв – Θ получается смещением графика ρ(U KB) на Uct/2. Предельная по­грешность ∆п = Uct /2. СКО случайной погрешности

Для погрешностей, о которых ничего не известно, кроме их преде­лов, равномерный закон является удобной математической моде­лью, как дающий наибольшую погрешность измерений. Например, при анализе неисключенной систематической погрешности удается оценить лишь ее предельные значения ±Θ н. Закон распределения неисключеннойсистематической погрешности моделируют равно­мерным законом с СКО σ = Θ/√12. Согласно ГОСТ 8.009-84 равно­мерно распределенной считают погрешность из-за вариациипока­заний в пределах +Н/2с СКО σ =H√ 12 , где Н =IС б -С м I.

Например, при измерении временного интервала цифровым мето­дом, если начало измеряемого интервала не синхронизировано с последовательностью счетных импульсов, результат измерений T x =nT 0 -∆t H +∆t k =nT 0 -∆t д, где ∆t н и ∆t K погрешности дискретизации в начале и конце интервала Т х, ∆t д общая погрешность дискретиза­ции. Погрешности ∆t н и ∆t K подчинены равномерному закону с пре­дельными значениями 0 и Т 0 . Если интервал Т х не измерен, то случайные погрешности независимы, а закон распределения общей погрешности дискретизации ∆t д треугольный с предельными значе­ниями ±Т 0 .

Характеристики окружающей среды, в которой проводятся измере­ния, называют условиями измерений. Это климатические условия (температура, относительная влажность воздуха, атмосферное давление), электрические и магнитные поля, механические и аку­стические факторы (вибрации, ударные нагрузки, сотрясения), ио­низирующие излучения, газовый состав атмосферы и т.п. Так как они оказывают влияние на результат измерений, то для средств измерения в нормативно-технической документации всегда указы­ваются условия, в которых нормированы их метрологические ха­рактеристики.

Метрологические характеристики средств измерений нормируют раздельно для нормальных и рабочих условий применения.

4.12. Организация измерительного эксперимента

Измерение выполняется оптимально, если результат и желаемая точность достигнуты самыми простыми средствами и в соответст­вии с простейшей стратегией.

Подготовка включает уточнение задачи измерений, планирование измерительного эксперимента, выбор требуемых методов и техни­ческих средств, в том числе и вспомогательное оборудование (ис­точники питания, соединение с измеряемой средой, средства со­пряжения, средства подвода охладителя, если требуется и т.д.); калибровку механических и юстировку оптических приборов, гра­дуировку электронных средств.

В общем случае результаты измерений и их погрешности должны рассматриваться как функции, изменяющиеся во времени случайным образом, т.е. случайные функции, или, как принято говорить в математике, случайные процессы. Поэтому математическое описание результатов и погрешностей измерений (т.е. их математические модели) должно строиться на основе теории случайных процессов. Изложим основные моменты теории случайных функций.

Случайным процессом X(t) называется процесс (функция), значение которого при любом фиксированном значении t = tQ является случайной величиной X(t ). Конкретный вид процесса (функции), полученный в результате опыта, называется реализацией .

Рис. 4. Вид случайных функций

Каждая реализация является неслучайной функцией времени. Семейство реализаций при каком-либо фиксированном значении времени t (рис. 4) представляет собой случайную величину, называемую сечением случайной функции, соответствующим моменту времени t . Следовательно, случайная функция совмещает в себе характерные признаки случайной величины и детерминированной функции. При фиксированном значении аргумента она превращается в случайную величину, а в результате каждого отдельного опыта становится детерминированной функцией.

Математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения:

где p(x, t) - одномерная плотность распределения случайной величины х в соответствующем сечении случайного процесса X(t).

Дисперсией случайной функции X(t) называется неслучайная функция значение которой для каждого момента времени равно дисперсии соответствующего сечения, т.е. дисперсия характеризует разброс реализаций относительно m (t).

Корреляционная функция - неслучайная функция R(t, t") двух аргументов t и t", которая при каждой паре значений аргументов равна ковариации соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция, называемая иногда автокорреляционной, описывает статистическую связь между мгновенными значениями случайной функции, разделенными заданным значением времени т = t"-t. При равенстве аргументов корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса. Она всегда неотрицательна.

Случайные процессы, протекающие во времени однородно, частные реализации которых с постоянной амплитудой колеблются вокруг средней функции, называются стационарными . Количественно свойства стационарных процессов характеризуются следующими условиями:

Математическое ожидание постоянно;

Дисперсия по сечениям является постоянной величиной;

Корреляционная функция зависит не от значения аргументов, а только от промежутка.

Важной характеристикой стационарного случайного процесса является его спектральная плотность S(w), которая описывает частотный состав случайного процесса при w>О и выражает среднюю мощность случайного процесса, приходящуюся на единицу полосы частот:

Спектральная плотность стационарного случайного процесса является неотрицательной функцией частоты. Корреляционная функция может быть выражена через спектральную плотность

При построении математической модели погрешности измерений следует учитывать всю информацию о проводимом измерении и его элементах.

Каждая из них может быть обусловлена действием нескольких различных источников погрешностей и в свою очередь состоять также из некоторого числа составляющих.

Для описания погрешностей используются теория вероятностей и математическая статистика, однако прежде необходимо сделать ряд существенных оговорок:

Применение методов математической статистики к обработке результатов измерений правомочно лишь в предположении о независимости между собой отдельных получаемых отсчетов;

Большинство используемых в метрологии формул теории вероятностей правомерны только для непрерывных распределений, в то время как распределения погрешностей вследствие неизбежного квантования отсчетов, строго говоря, всегда дискретны, т.е. погрешность может принимать лишь счетное множество значений.

Таким образом, условия непрерывности и независимости для результатов измерений и их погрешностей соблюдаются приближенно, а иногда и не соблюдаются. В математике под термином "непрерывная случайная величина" понимается существенно более узкое, ограниченное рядом условий понятие, чем "случайная погрешность" в метрологии.

В метрологии принято различать три группы характеристик и параметров погрешностей. Первая группа-задаваемые в качестве требуемых или допускаемых нормы характеристик погрешности измерений (нормы погрешностей). Вторая группа характеристик- погрешности, приписываемые совокупности выполняемых по определенной методике измерений. Характеристики этих двух групп применяются в основном при массовых технических измерениях и представляют собой вероятностные характеристики погрешности измерений. Третья группа характеристик-статистические оценки погрешностей измерений отражают близость отдельного, экспериментально полученного результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Они используются в случае измерений, проводимых при научных исследованиях и метрологических работах.

Совокупность формул, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов, полученных в рамках выбранных физических моделей на основе законов физики, будем называть математической моделью объекта или процесса . Процесс создания математической модели можно разделить на ряд этапов:

1) составление формул и уравнений, описывающих состояние, движение и взаимодействие объектов в рамках построенной физической модели. Этап включает запись в математических терминах сформулированных свойств объектов, процессов и связей между ними;

2) исследование математических задач, к которым приходят на первом этапе. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение численных данных и теоретических следствий. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат и вычислительная техника (компьютер).

3) выяснение того, согласуются ли результаты анализа и вычислений или следствия из них с результатами наблюдений в пределах точности последних, т.е. удовлетворяет ли принятая физическая и (или) математическая модель практике-основному критерию истинности наших представлений об окружающем мире.

Отклонение результатов расчетов от результатов наблюдений свидетельствует либо о неправильности применяемых математических методов анализа и расчета, либо о неверности принятой физической модели. Выяснение источников ошибок требует большого искусства и высокой квалификации исследователя.

Часто при построении математической модели некоторые ее характеристики или связи между параметрами остаются неопределенными вследствие ограниченности наших знаний о физических свойствах объекта. Например, оказывается, что число уравнений, описывающих физические свойства объекта или процесса и связи между объектами, меньше числа физических параметров, характеризующих объект. В этих случаях приходится вводить дополнительные соотношения, характеризующие объект исследования и его свойства, иногда даже пытаться угадать эти свойства, для того, чтобы задача могла быть решена и результаты соответствовали результатам опыта в пределах заданной погрешности.