Деление окружности на равные части с помощью циркуля и линейки. Деление окружности на равные части

Страница 2 из 6

ДЕЛЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ

Некоторые детали машин и приборов имеют эле­менты, равномерно расположенные по окружности, например, детали на рис. 52-59. При выполнении чер­тежей подобных деталей необходимо знать правила деления окружности на равное количество частей.

Деление окружности на четыре и восемь равных частей. На рис. 52, а показана крышка, в которой име­ется восемь отверстий, равномерно расположенных по окружности. При построении чертежа контура крышки (рис. 52 г) необходимо разделить окружность на восемь равных частей. Это можно сделать с помощью угольника с углами 45° (рис. 52, в), гипоте­нуза угольника должна проходить через центр окруж­ности, или построением.

Два взаимно перпендикулярных диаметра окружно­сти делят ее на четыре равные части (точки 7, 3, 5, 7 на рис. 52, б). Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, применяют известный прием деления прямого угла с помощью циркуля на две равные части. Получают точки 2, 4, 6, 8.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать рав­ных частей. Во фланце (рис. 53, а) имеется три отвер­стия, равномерно расположенных по окружности. При выполнении чертежа контура фланца (рис. 53, г) нужно разделить окружность на три равные части.

Для нахождения точек, делящих окружность радиуса R на три равные части, достаточно из любой точки окружности, например точки А, провести дугу ради­усом R . Пересечения дуги с окружностью дают две искомые точки 2 и 3; третья точка деления будет нахо­диться на пересечении оси окружности, проведенной из точки Л, с окружностью (рис. 53, б).

Разделить окружность на три равные части можно также угольником с углами 30 и 60° (рис. 53, в), гипотенуза угольника должна проходить через центр окруж­ности.

На рис. 54, б показано деление окружности цирку­лем на шесть равных частей. В этом случае выполня­ется то же построение, что на рис. 53, б но дугу описы­вают не один, а два раза, из точек и радиусом R , равным радиусу окружности.

Разделить окружность на шесть равных частей можно и угольником с углами 30 и 60° (рис. 54, в). На рис. 54, а показана крышка, при выполнении чертежа которой необходимо выполнить деление окружности на шесть частей.

Чтобы выполнить чертеж детали (рис. 55, а), кото­рая имеет 12 отверстий, равномерно расположенных по окружностям, нужно разделить осевую окружность на 12 равных частей (рис. 55, г).

При делении окружности на 12 равных частей с помощью циркуля можно использовать тот же прием, что и при делении окружности на шесть равных частей (рис. 54, б ),но дуги радиусом R описывать четыре раза из точек 1, 7, 4 и 10 (рис. 55, б).

Используя угольник с углами 30 и 60° с последующим поворотом его на 180°, делят окружность на 12 равных частей (рис. 55, в).

Деление окружности на пять, десять и семь равных частей. В плашке (рис. 56, а) имеется пять отверстий, равномерно расположенных по окружности. Выпол­няя чертеж плашки (рис. 56, в), необходимо разделить окружность на пять равных частей. Через намеченный центр О (рис. 56, б)

при помощи рейсшины и уголь­ника проводят осевые линии и из точки О циркулем описывают окружность заданного диаметра. Из точки А радиусом R, равным радиусу данной окружности, проводят дугу, которая пересечет окружность в точке n. Из точки n опускают перпендикуляр на горизон­тальную осевую линию, получают точку С. Из точки С радиусом R 1 равным расстоянию от точки С до точки 1, проводят дугу, которая пересечет горизонтальную осевую линию в точке т. Из точки 1 радиусом R , рав­ным расстоянию от точки 1 до точки m, проводят дугу, пересекающую окружность в точке 2. Дуга 12 является 1/5 длины окружности. Точки 3,4 и 5 находят, отклады­вая циркулем отрезки, равные m1.

Деталь «звездочка» (рис. 57, а) имеет 10 одинаковых элементов, равномерно расположенных по окружно­сти. Чтобы выполнить чертеж звездочки (рис. 57, я), следует окружность разделить на 10 равных частей. В этом случае следует применить то же построение, что и при делении окружности на пять частей (см. рис. 56, б). Отрезок п 1 будет равняться хорде, которая делит окружность на 10 равных частей.

На рис. 58, а изображен шкив, а на рис. 58, в - чер­теж шкива, где окружность разделена на семь равных частей.

Деление окружности на семь равных частей пока­зано на рис. 58, б. Из точки А проводится вспомога­тельная дуга радиусом R , равным радиусу данной окружности, которая пересечет окружность в точке. Из точки n опускают перпендикуляр на горизонталь­ную осевую линию. Из точки 1 радиусом, равным отрезку nс , делают по окружности семь засечек и полу­чают семь искомых точек.

Деление окружности на любое число равных частей. С достаточной точностью можно делить окружность на любое число равных частей, пользуясь таблицей коэффициентов для подсчета длины хорды (табл. 9).

Зная, на какое число (n) следует разделить окруж­ность, находят по таблице коэффициент. При умно­жении коэффициента k на диаметр окружности D получают длину хорды l, которую циркулем отклады­вают на окружности n раз.

При построении чертежа кольца (рис. 59, а) необхо­димо окружность диаметра D=142 мм разделить на 32 равные части. Количеству частей окружности n=32 соответствует коэффициент k=0,098. Подсчитав длину хорды l = Dk = 142x0,098= 13,9 мм, ее циркулем откла­дывают на окружности 32 раза (рис. 59, б и в).

И построение правильных вписанных многоугольников

Деление окружности на 3, 6 и 12 равных частей. Построение правильного вписанного треугольника, шестиугольника и двенадцатиугольника.

Для построения правильного вписанного треугольника надо из точки А пересечения центровой линии с окружностью отложить раз­мер, равный радиусу R, в одну и другую сторону. Получим вершины 1 и 2(рис. 26, а ). Вершина 3 лежит на противоположном точке А конце диаметра.

1/3 1/6 1/12

а) б) в)

Рис. 26

Сторона шестиугольника равна радиусу окружности. Деление на 6 частей показано на рис. 26, б.

Для того чтобы разделить окружность на 12 частей, надо раз­мер, равный радиусу, отложить на окружности в одну и другую сто­рону из четырех центров (рис. 26, в).

Деление окружности на 4 и 8

вписанного четырехугольника и восьмиугольника.

Рис. 27

На 4 части окружность делится двумя взаимно перпендикулярными центровыми линиями. Для деления на 8 частей надо дугу, равную четверти окружности, разделить пополам (рис.27.)

Деление окружности на 5 и 10 равных частей. Построение правильного

вписанного пятиугольника и десятиугольника.

1/5 1/10

а) б)

Рис. 28

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 28, а ), получают точку N. Из точки N, как из центра, проводят дугу радиу­сом R 1 , равным расстоянию от точки N до точки А , до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке Р. Отрезок АР равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности радиусом R 2 , равным отрезку АР, делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. ( ! Нельзя выполнять засечки в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной.)

Деление окружности на 10 равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 28, б ), но сначала делят окружность на пять частей, начиная построение из точки А, а затем из точки В, находящейся на противоположном конце диаметра. Можно использовать для построения отрезок ОР – длина которого равна хорде 1/10 длины окружности.

Деление окружности на 7 равных частей.

1/7

а) б) в)

Рис. 29

Из любой точки (например, А ) окружности, радиусом заданной окружности рповодят дугу до пересечения с окружностью в точках В и D (рис. 29,а). Соединив точки В и D прямой, получают отрезок ВС, равный хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Засечки выполняют в последовательности, указанной на рис. 29 б .

Сопряжения

Часто в конструкции деталей одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плавными, что повышает прочность деталей и делает их более удобными в работе. Сопряжение – это плавный переход от одной линии к другой. Построение сопряжений сводится к трем моментам: 1)определение центра сопряжения; 2)нахождение точек сопряжения; 3)построение дуги сопряжения заданного радиуса. Для построения сопряжения чаще всего задан радиус сопряжения. Центр и точка сопряжения определяются графически.

Деление окружности на 3 равные части.

Чтобы разделить окружность радиуса R на 3 равные части и вписать в нее равносторонний треугольник, из точки пересечения диаметра с окружностью (например из точки А) описывают как из центра дополнительную дугу радиусом R. Получают точки 2 и 3. Точки 1, 2, 3 делят окружность на три равные части. Соединив прямыми линиями точки 1, 2, 3 строят вписанный равносторонний треугольник.

Деление окружности на 6 равных частей.

Чтобы разделить окружность на 6 равных частей, из двух противоположных точек (1 и 4) пересечения диаметра с окружностью описывают две дуги радиусом R. Получают точки (2, 3, 5, 6). Вместе с точками которые получились при пересечении диаметра с окружностью он делят окружность на 6 равных частей.

Деление окружности на 12 равных частей.

Для деления окружности на 12 равных частей из четырех точек пересечения осей симметрии с окружностью описывают 4 дуги радиусом R. Полученные точки, вместе с теми, которые получились при пересечении осей симметрии с окружностью, делят окружность на 12 равных частей.

Виды обозначений сечений на чертежах

Чтобы показать поперечную форму деталей, пользуются изображениями, называемыми сечениями (рис. 13). Для того, чтобы получить сечение, деталь мысленно рассекают воображаемой секущей плоскостью в том месте, где нужно выявить её форму. Фигура, полученная в результате рассечения детали секущей плоскостью, изображается на чертеже. Следовательно сечением называется изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета плоскостью или несколькими плоскостями.

На сечении показывается только то, что получается непосредственно в секущей плоскости.

Для ясности чертежа сечения выделяют штриховкой. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45° к линиям рамки чертежа, а если они совпадают по направлению с линиями контура или осевыми линиями, то под углом 30° или 60°.

Вынесенное сечение.

Контур вынесенного сечения обводят сплошной толстой линией такой же толщины, как и линия, принятая для видимого контура изображения. Если сечение вынесенное, то, как правило проводят разомкнутую линию, два утолщенных штриха, и стрелки, указывающие направление взгляда. С внешней стороны стрелок наносят одинаковые прописные буквы. Над сечением пишут те же буквы через тире с тонкой чертой внизу. Если сечение представляет собой симметричную фигуру и расположено на продолжении линии сечения (штрихпунктирная), то обозначений не наносят.

Наложенное сечение.

Контур наложенного сечения – сплошная тонкая линия (S/2 – S/3), причем контур вида в месте расположения наложенного сечения не прерывают. Наложенное сечение обычно не обозначают. Но если сечение представляет собой не симметричную фигуру, проводят штрихи разомкнутой линии и стрелки, но буквы не наносят.

Обозначение сечений

Положение секущей плоскости указывают на чертеже линией сечения - разомкнутой линией, которая проводится в виде отдельных штрихов, не пересекающих контур соответствующего изображения. Толщина штрихов берётся в пределах от $ до 1 1/ 2 S, а длина их от 8 до 20 мм. На начальном и конечном штрихах перпендикулярно им, на расстоянии 2-3 мм от конца штриха, ставят стрелки, указывающие направление взгляда. У начала и конца линии сечения ставят одну и ту же прописную букву русского алфавита. Буквы наносят около стрелок, указывающих направление взгляда с внешней стороны, рис. 12. Над сечением делают надпись по типу А-А. Если сечение находится в разрыве между частями одного и того же вида, то при симметричной фигуре линию сечения не проврдяЯ4. Сечение можно располагать с поворотом, тогда к надписи А-А должен быть добавлен символ

повёрнуто О, то есть А-АО.

С помощью циркуля и линейки можно разделить окружность не на любое число частей. Математики доказали, что на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17,…, 257,…частей разделить можно, на 7, 9, 11, 13, 14, … частей нельзя.

К сожалению, нет единого способа деления. Приведем самые главные.

1) Деление окружности на 6, 3, 12, 24, …, 3×2 k (k=0,1,2,3,…) равных частей.

Начинаем с деления окружности на 6 частей . Для этого тем же раствором циркуля, которым проводилась окружность, из любой точки окружности, как из центра, надо провести окружность. Затем повторить процедуру, взяв в качестве центра точку пересечения начальной и новой окружностей.

Чтобы поделить окружность на 3 части, надо поделить ее на 6 частей и взять точки через одну (рис. 5а). Чтобы поделить окружность на 12 частей, надо поделить ее на 6 частей и каждую дугу поделить пополам, далее процесс деления дуг пополам можно продолжать неограниченно.

Длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на сторону шестиугольника, является неплохим приближением для длины стороны семиугольника, вписанного в окружность (на рисунке 5а показан штриховкой). Длина перпендикуляра ≈0,866R, длина стороны семиугольника ≈0,868R – точность ≈2%.

2) Деление окружности на 2, 4, 8, 16,…, 2 k (k=1,2,3,…) равные части.

Разделить окружность на 2 части с помощью линейки можно, проведя прямую через центр окружности. Но можно от любой точки окружности 3 раза отложить радиус круга. Начальная и конечная точки делят окружность пополам (через них можно провести диаметр - рис. 5а). Чтобы поделить окружность на 4 части, надо поделить пополам полученные дуги. Последовательное выполнение деления полученных дуг пополам обеспечивает деление окружности на 8, 16 и т.д. частей.

3) Деление окружности на 5 частей.

Принятый в черчении способ построения использует соотношение между стороной правильного десятиугольника (а 10 )и правильного пятиугольника (а 5 )- a 5 2 =R 2 +a 10 2 . Выполняется построение следующим образом. Проведем 2 перпендикулярные прямые через центр окружности О. А и В – точки их пересечения с окружностью. Из точки А, как из центра, проведем окружность того же радиуса (найдем середину отрезка АО – точку С). Из середины отрезка АО точки С проведем еще одну окружность радиуса СВ. Отрезок ВЕ – равен стороне пятиугольника, ОЕ – десятиугольника (рис. 5б).

Можно делить окружность на 5 и 10 частей способом, изображенным на рисунке 5в. Отрезок ВС - сторона пятиугольника, АС - десятиугольника. О замечательных свойствах пятиугольника и десятиугольника и о том, почему верен способ построения, приведенный на рисунке 5в, мы расскажем в следующей главе.

МедресеКукельдаш (XVIв., Ташкент)

Рисунок 5г демонстрирует прием приближенного геомет-рического решения задачи о делении окружности на любое число частей. Пусть, например, требуется разделить данную окружность на 7 равных частей. Построим на диаметре окружности АВ равносторонний треугольник АВС и разделим диаметр АВ точкой D в отношении AD:AB=2:7 (в общем случае 2:n). Для этого надо провести вспомогательную прямую, на ней отложить n+2 одинаковых отрезка, крайнюю точку соединить с точкой В и через вторую точку провести прямую, параллельную прямой BF. Проведем прямую DC до пересечения с окружностью. Дуга АЕ будет составлять 7-ую часть окружности (в общем случае n-ю). Этот метод при n<11 дает погрешность не более 1%.

Алгоритмы деления окружности на равные части можно использовать, например, для построения опорных точек спиралей - спирали Архимеда, названной так в честь великого древнегреческого ученого Архимеда (III в. до н.э.), впервые изучившего эту линию, и логарифмической спирали.

Сегодня в посте выкладываю несколько картинок кораблей и схем к ним для вышивания изонитью (картинки кликабельные).

Изначально второй парусник выполнен на гвоздиках. А поскольку гвоздик имеет определенную толщину, получается, что от каждого отходит две нитки. Плюс к этому наслоение одного паруса на второй. В итоге в глазах возникает некоторый эффект раздвоения изображения. Если вышивать корабль на картоне, думаю, он будет выглядеть более привлекательно.
Второй и третий кораблики вышивать несколько проще, чем первый. В каждом из парусов есть центральная точка (на нижней стороне паруса), из которой выходят лучи к точкам по периметру паруса.
Анекдот :
— У вас нитки есть?
— Есть.
— А суровые?
— Да кошмар просто! Подойти боюсь!

У меня дебют – первый мастер-класс . Надеюсь, не последний. Будем вышивать павлина.Схема изделия .Размечая места проколов, обратите особое внимание, чтобы в замкнутых контурах их было четное количество .Основа картинки – плотный картон (я брал коричневый плотностью 300 г/м2, можно попробовать и на черном, тогда цвета буду смотреться еще ярче), лучше прокрашенный с обеих сторон (для киевлян - я брал в отделе канцтоваров в ЦУМе на Крещатике). Нитки - мулине (любого производителя, у меня были DMC), в одну нитку, т.е. пучки разматываем на отдельные волокна. Вышивка состоит из трех слоев ниток. Сначала вышиваем методом настила первый слой в перышках на голове павлина, крыло (светло-голубой цвет ниток), а также темно-синие круги хвоста. Первый слой туловища вышивается хордами с переменным шагом, стараясь, чтобы нитки проходили по касательной к контуру крыла.Затем вышиваем веточки (шов-змейка, нитки горчичного цвета), листья (сначала темно-зеленые, потом остальн…