Haqiqiy sonning n-darajali ildizi haqida tushuncha. n-darajali ildizning ta'rifi Haqiqiy sonning n-darajali ildizi haqida tushuncha

X 4 =1 va uni grafik tarzda yechish. Buning uchun bitta koordinata tizimida y \u003d x n to'g'ri chiziq y \u003d 1 funktsiyasining grafigini tuzamiz (164-rasm a). Ular ikki nuqtada kesishadi:

Ular x 4 \u003d 1 tenglamaning ildizlari.
Xuddi shu tarzda bahslashtirib, biz x 4 \u003d 16 tenglamaning ildizlarini topamiz:

Va endi x 4 \u003d 5 tenglamasini echishga harakat qilaylik; geometrik rasmda ko'rsatilgan. 164 b. Ko'rinib turibdiki, tenglamaning ikkita ildizi x 1 va x 2 va bu raqamlar, avvalgi ikkita holatda bo'lgani kabi, bir-biriga qarama-qarshidir. Ammo birinchi ikkita tenglama uchun ildizlar qiyinchiliksiz topildi (ularni grafiklardan foydalanmasdan topish mumkin), lekin x 4 \u003d 5 tenglamasi bilan bog'liq muammolar mavjud: chizmaga ko'ra, biz ildizlarning qiymatlarini aniqlamaymiz, lekin biz faqat bitta ildiz -1 nuqtaning chap tomonida, ikkinchisi esa 1-bandning o'ng tomonida joylashganligini aniqlang.
X 1 va x 2 irratsional sonlar (yaʼni cheksiz davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar) ekanligini isbotlash mumkin (xuddi “Algebra-8” darsligimizdagi l/b soni uchun qilinganidek).

Bunday vaziyatga birinchi marta duch kelgan matematiklar buni matematik tilda tasvirlash usulini o'ylab topishlari kerakligini tushunishdi. Ular to'rtinchi darajali ildiz deb atagan yangi belgini hisobga oldilar va bu belgi yordamida x 4 \u003d 5 tenglamaning ildizlari quyidagicha yozildi: (o'qing: "beshning to'rtinchi ildizi").

Izoh 1. Ushbu argumentlarni § 17, 32 va 38-bandlardagi o'xshash dalillar bilan solishtiring. Matematikadagi yangi atamalar va yangi belgilar yangi matematikani tavsiflash uchun zarur bo'lganda paydo bo'ladi. modellar. Bu matematik tilning o'ziga xos xususiyatlarini aks ettiradi: uning asosiy vazifasi kommunikativ emas - muloqot qilish, balki tashkil qilish - turli bilim sohalarida matematik modellar bilan muvaffaqiyatli ishlashni tashkil etish.

Biz x 4 \u003d a tenglamasi haqida gapirdik, bu erda a > 0. Teng muvaffaqiyat bilan biz x 4 \u003d a tenglamasi haqida ham gapirishimiz mumkin, bu erda a > 0 va n har qanday natural sondir. Masalan, x 5 \u003d 1 tenglamasini grafik tarzda yechib, biz x \u003d 1 ni topamiz (165-rasm); x 5 "= 7 tenglamani yechishda, tenglamaning bitta ildiz xr borligini aniqlaymiz, u x o'qida 1 nuqtadan biroz o'ng tomonda joylashgan (165-rasmga qarang). Xx raqami uchun Hh yozuvini kiritamiz. .

Umuman olganda, x n \u003d a tenglamasini yechishda, bu erda a> 0, n e N, n> 1, juft n holatda ikkita ildiz olamiz: (164-rasm, c); toq n bo'lsa - bitta ildiz (u o'qiydi: "a sonidan n-darajali ildiz"). x p \u003d 0 tenglamasini yechish orqali biz yagona ildiz x \u003d 0 ni olamiz.

Izoh 2. Oddiy tilda bo'lgani kabi matematik tilda ham shunday bo'ladiki, bir xil atama turli tushunchalarga nisbatan qo'llaniladi; demak, oldingi gapda “ildiz” so‘zi ikki ma’noda qo‘llangan: tenglamaning ildizi sifatida (siz bunday talqinga anchadan beri o‘rganib qolgansiz) va sonning l-darajasining ildizi sifatida (yangi. talqini). Odatda kontekstdan bu atamaning qaysi talqini nazarda tutilgani aniq bo‘ladi.

Endi biz aniq ta'rif berishga tayyormiz.

Ta'rif 1. Manfiy bo'lmagan a sonining l-chi ildizi (n = 2, 3.4, 5, ...) manfiy bo'lmagan son bo'lib, n ning darajasiga ko'tarilganda a soni paydo bo'ladi.

Bu raqam belgilanadi, a soni ildiz raqami, n soni esa ildiz indeksidir.
Agar n \u003d 2 bo'lsa, ular odatda "ikkinchi darajali ildiz" demaydilar, balki ""kvadrat ildiz" deyishadi. Bunday holda, yozmang. Bu siz 8-sinf algebra kursida maxsus o'rgangan maxsus holat.

Agar n \u003d 3 bo'lsa, unda "uchinchi darajali ildiz" o'rniga ular ko'pincha "kub ildizi" deyishadi. Kub ildiz bilan birinchi tanishuvingiz ham 8-sinf algebra kursida bo‘lgan. 6-misolni yechishda § 36 da kub ildizidan foydalandik.

Umuman olganda, bu bir xil matematik model (manfiy bo'lmagan a va b raqamlari orasidagi bir xil munosabat), lekin faqat ikkinchisi birinchisiga qaraganda soddaroq tilda (oddiyroq belgilar qo'llaniladi) tasvirlangan.

Manfiy bo'lmagan sonning ildizini topish operatsiyasi odatda ildiz chiqarish deb ataladi. Ushbu operatsiya mos keladigan quvvatga ko'tarilishning teskarisidir. Taqqoslash:

Yana bir bor e'tibor bering: jadvalda faqat ijobiy raqamlar ko'rinadi, chunki bu ta'rif 1-da ko'rsatilgan. Va, masalan, (-6) 6 \u003d 36 to'g'ri tenglik bo'lsa ham, kvadrat ildizdan foydalanib, undan yozuvga o'ting, ya'ni. qila olmaydigan narsani yozing. Ta'rifi bo'yicha

Ba'zan ibora radikal deb ataladi (lotincha gadix - "ildiz" so'zidan). Rus tilida radikal atamasi juda tez-tez ishlatiladi, masalan, "radikal o'zgarishlar" "radikal o'zgarishlar" degan ma'noni anglatadi. Aytgancha, ildizning belgilanishi gadiks so'zini eslatadi: belgi stilize qilingan r harfidir.

1-misol Hisoblash:

d) Oldingi misollardan farqli o'laroq, biz raqamning aniq qiymatini aniqlay olmaymiz, faqat u 2 dan katta, lekin 3 dan kichik ekanligi aniq, chunki 2 4 \u003d 16 (bu 17 dan kam) va 3 4 \u003d 81 (bu 17 dan ortiq). E'tibor bering, 24 34 dan ko'ra 17 ga yaqinroq, shuning uchun taxminiy tenglik belgisini ishlatish uchun sabab bor:

Biroq, raqamning aniqroq taxminiy qiymatini ildiz chiqarish operatsiyasini o'z ichiga olgan kalkulyator yordamida topish mumkin, u taxminan tengdir.
Ildizni ajratib olish operatsiyasi manfiy ildiz soni uchun ham aniqlanadi, lekin faqat toq ildiz ko'rsatkichi bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, (-2)5 =-32 tengligi ekvivalent shaklda qayta yozilishi mumkin. Bu erda quyidagi ta'rifdan foydalaniladi.

Ta'rif 2. Manfiy a sonidan (n \u003d 3,5, ...) toq darajali l ning ildizi manfiy son bo'lib, u n ning kuchiga ko'tarilganda a soniga olib keladi.

Bu raqam, 1 ta'rifidagi kabi, bilan belgilanadi, a soni ildiz son, n soni ildiz indeksidir.
Shunday qilib,

Shunday qilib, juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan radikal ifoda uchun ma'noga ega (ya'ni, aniqlanadi); g'alati ildiz har qanday radikal ifoda uchun ma'no beradi.
2-misol. Tenglamalarni yechish:

Yechim: Agar Aslida, biz berilgan tenglamaning ikkala qismini ham kub qilishimiz kerak. Biz olamiz:

b) a) misolidagi kabi bahslashamiz, biz tenglamaning ikkala tomonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz. Biz olamiz:

c) Bu erda to'rtinchi darajaga ko'tarish shart emas, bu tenglamaning yechimlari yo'q. Nega? Chunki, 1-ta’rifga ko‘ra, juft darajaning ildizi manfiy bo‘lmagan sondir.
d) Tenglamaning ikkala tomonini oltinchi darajaga ko'tarib, biz quyidagilarni olamiz:

A.G. Mordkovich algebra 10-sinf

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, masallar, maqollar, krossvordlar, iqtiboslar Qo'shimchalar tezislar Inquisitive cheat sheets uchun maqolalar chips darsliklar asosiy va qo'shimcha atamalar lug'ati boshqa Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlari eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi muhokama dasturining uslubiy tavsiyalari Integratsiyalashgan darslar

Mavzu bo'yicha 11-sinfda dars skripti:

Haqiqiy sonning n-chi ildizi. »

Darsning maqsadi: Talabalarda ildizga yaxlit qarashni shakllantirish n-darajali va n-darajali arifmetik ildiz, hisoblash ko‘nikmalarini shakllantirish, radikalni o‘z ichiga olgan turli masalalarni yechishda ildiz xossalaridan ongli va oqilona foydalanish ko‘nikmalarini shakllantirish. Mavzuga oid savollarni talabalar tomonidan o`zlashtirilganlik darajasini tekshirish.

Mavzu:mavzu bo'yicha materialni o'zlashtirish uchun mazmunli va tashkiliy shart-sharoitlar yaratish " Raqamli va alfavitli ifodalar » idrok etish, tushunish va birlamchi yodlash darajasida; haqiqiy sondan n-darajali ildizni hisoblashda ushbu ma'lumotni qo'llash qobiliyatini shakllantirish;

Metamavzu: hisoblash ko'nikmalarini rivojlantirishga ko'maklashish; tahlil qilish, taqqoslash, umumlashtirish, xulosa chiqarish qobiliyati;

Shaxsiy: o'z nuqtai nazarini ifoda etish, boshqalarning javoblarini tinglash, muloqotda qatnashish qobiliyatini rivojlantirish, ijobiy hamkorlik qilish qobiliyatini shakllantirish.

Rejalashtirilgan natija.

Mavzu: haqiqiy sondan n-darajali ildiz xossalarini ildizlarni hisoblash, tenglamalarni yechishda real vaziyat jarayonida qo‘llay bilish.

Shaxsiy: hisob-kitoblarda ehtiyotkorlik va aniqlikni, o'ziga va ishiga talabchan munosabatni shakllantirish, o'zaro yordam tuyg'usini tarbiyalash.

Dars turi: o'rganish va yangi bilimlarni birlamchi mustahkamlash darsi

O'quv faoliyati uchun motivatsiya:

Sharq donoligida shunday deyilgan: "Otni suvga olib borishingiz mumkin, lekin siz uni ichishga majbur qila olmaysiz". Va agar odamning o'zi ko'proq o'rganishga intilmasa, aqliy rivojlanishi ustida ishlashga intilmasa, uni yaxshi o'qishga majburlash mumkin emas. Zero, bilim faqat xotira bilan emas, balki o‘z tafakkuri sa’y-harakatlari bilan o‘zlashtirilsagina bilimdir.

Darsimiz “Har qanday cho‘qqini biz intilsak, zabt etamiz” shiori ostida o‘tkaziladi. Dars davomida siz va men bir nechta cho'qqilarni bosib o'tishga vaqt ajratishimiz kerak va har biringiz bu cho'qqilarni zabt etish uchun bor kuchingizni sarflashingiz kerak.

“Bugun bizda yangi tushuncha: “n-chi ildiz” bilan tanishishimiz kerak bo'lgan dars bor va bu tushunchani turli iboralarni o'zgartirishda qanday qo'llashni o'rganishimiz kerak.

Sizning maqsadingiz turli xil ish shakllari asosida mavjud bilimlarni faollashtirish, materialni o'rganishga hissa qo'shish va yaxshi baho olishdir.
Haqiqiy sonning kvadrat ildizini 8-sinfda o‘rgandik. Kvadrat ildiz ko'rish funktsiyasi bilan bog'liq y=x 2. Bolalar, biz kvadrat ildizlarni qanday hisoblaganimizni eslaysizmi va u qanday xususiyatlarga ega edi?
a) individual so'rov:

bu qanday ifoda

kvadrat ildiz nima

arifmetik kvadrat ildiz nima

kvadrat ildizning xossalarini sanab o'ting

b) juftlikda ishlash: hisoblash.

-

2. Bilimlarni yangilash va muammoli vaziyat yaratish: x 4 =1 tenglamani yeching. Buni qanday hal qilishimiz mumkin? (Analitik va grafik). Keling, buni grafik tarzda hal qilaylik. Buning uchun bitta koordinatalar tizimida y \u003d x 4 to'g'ri chiziq y \u003d 1 funktsiyasining grafigini tuzamiz (164-rasm a). Ular ikkita nuqtada kesishadi: A (-1;1) va B(1;1). A va B nuqtalarining abscissalari, ya'ni. x 1 \u003d -1,

x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 1 tenglamaning ildizlari.
Xuddi shu tarzda bahslashtirib, biz x 4 \u003d 16 tenglamaning ildizlarini topamiz: Endi x 4 \u003d 5 tenglamasini echishga harakat qilaylik; geometrik rasmda ko'rsatilgan. 164 b. Ko'rinib turibdiki, tenglamaning ikkita ildizi x 1 va x 2 va bu raqamlar, avvalgi ikkita holatda bo'lgani kabi, bir-biriga qarama-qarshidir. Ammo dastlabki ikkita tenglama uchun ildizlar qiyinchiliksiz topildi (ularni grafiklardan foydalanmasdan ham topish mumkin) va x 4 \u003d 5 tenglamasi bilan bog'liq muammolar mavjud: chizmaga ko'ra, biz qiymatlarni ko'rsata olmaymiz \ ildizlar, lekin biz faqat bitta ildiz chap nuqtada -1, ikkinchisi esa 1-bandning o'ng tomonida joylashganligini aniqlashimiz mumkin.

x 2 \u003d - (o'qing: "beshning to'rtinchi ildizi").

Biz x 4 \u003d a tenglamasi haqida gapirdik, bu erda a 0. Teng muvaffaqiyat bilan x 4 \u003d a tenglamasi haqida gapirishimiz mumkin, bu erda a 0 va n har qanday natural sondir. Masalan, x 5 \u003d 1 tenglamasini grafik tarzda yechib, biz x \u003d 1 ni topamiz (165-rasm); x 5 "= 7 tenglamasini yechishda biz tenglamaning bitta ildizi x 1 ekanligini aniqlaymiz, u x o'qida 1-nuqtadan biroz o'ngda joylashgan (165-rasmga qarang). X 1 raqami uchun biz kiritamiz. yozuv.

Ta'rif 1. Manfiy bo'lmagan a sonining n-darajali ildizi (n = 2, 3.4, 5, ...) manfiy bo'lmagan son bo'lib, n ning darajasiga ko'tarilganda a soni hosil bo'ladi.

Bu raqam belgilanadi, a soni ildiz raqami, n soni esa ildiz indeksidir.
Agar n = 2 bo'lsa, ular odatda "ikkinchi darajali ildiz" demaydilar, balki "kvadrat ildiz" deyishadi. Bu holda ular yozmaydilar. Bu siz 8-sinfda maxsus o'rgangan maxsus holat. sinf algebra kursi.

Agar n \u003d 3 bo'lsa, unda "uchinchi darajali ildiz" o'rniga ular ko'pincha "kub ildizi" deyishadi. Kub ildiz bilan birinchi tanishuvingiz ham 8-sinf algebra kursida bo‘lgan. 9-sinf algebra kursida kub ildizidan foydalandik.

Demak, a ≥0, n= 2,3,4,5,… bo'lsa, 1) ≥ 0; 2) () n = a.

Umuman olganda, =b va b n =a - a va b manfiy bo'lmagan sonlar orasidagi bir xil munosabat, lekin ikkinchisi birinchisiga qaraganda soddaroq tilda (oddiyroq belgilardan foydalanadi) tasvirlangan.

Manfiy bo'lmagan sonning ildizini topish operatsiyasi odatda ildiz chiqarish deb ataladi. Ushbu operatsiya mos keladigan quvvatga ko'tarilishning teskarisidir. Taqqoslash:

Yana bir bor e'tibor bering: jadvalda faqat ijobiy raqamlar ko'rinadi, chunki bu ta'rif 1-da ko'rsatilgan. Va, masalan, (-6) 6 \u003d 36 to'g'ri tenglik bo'lsa ham, kvadrat ildizdan foydalanib, undan yozuvga o'ting, ya'ni. qila olmaydigan narsani yozing. Ta'rif bo'yicha - ijobiy raqam, shuning uchun = 6 (va -6 emas). Xuddi shu tarzda, 2 4 \u003d 16, m (-2) 4 \u003d 16 bo'lsa ham, ildiz belgilariga o'tsak, biz \u003d 2 (va bir vaqtning o'zida ≠-2) yozishimiz kerak.

Ba'zan ibora radikal deb ataladi (lotincha gadix - "ildiz" so'zidan). Rus tilida radikal atamasi juda tez-tez ishlatiladi, masalan, "radikal o'zgarishlar" "radikal o'zgarishlar" degan ma'noni anglatadi. Aytgancha, ildizning belgilanishi gadiks so'zini eslatadi: belgi stilize qilingan r harfidir.

Ildizni ajratib olish operatsiyasi manfiy ildiz soni uchun ham aniqlanadi, lekin faqat toq ildiz ko'rsatkichi bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, (-2) 5 = -32 tenglamani =-2 kabi ekvivalent shaklda qayta yozish mumkin. Bu erda quyidagi ta'rifdan foydalaniladi.

Ta'rif 2. Manfiy a sonidan (n = 3.5, ...) toq darajali n ning ildizi manfiy son boʻlib, n ning darajasiga koʻtarilganda a soni hosil boʻladi.

Bu raqam, 1 ta'rifidagi kabi, bilan belgilanadi, a soni ildiz son, n soni ildiz indeksidir.
Demak, a, n=,5,7,… bo‘lsa, u holda: 1) 0; 2) () n = a.

Shunday qilib, juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan radikal ifoda uchun ma'noga ega (ya'ni, aniqlanadi); g'alati ildiz har qanday radikal ifoda uchun ma'no beradi.

5. Bilimlarni birlamchi mustahkamlash:

1. Hisoblang: No 33,5; 33,6; 33,74 33,8 og'zaki a) ; b) ; in); G) .

d) Oldingi misollardan farqli o'laroq, biz raqamning aniq qiymatini aniqlay olmaymiz, faqat u 2 dan katta, lekin 3 dan kichik ekanligi aniq, chunki 2 4 \u003d 16 (bu 17 dan kam) va 3 4 \u003d 81 (bu 17 dan ortiq). E'tibor bering, 24 34 dan ko'ra 17 ga yaqinroq, shuning uchun taxminiy tenglik belgisini ishlatish uchun sabab bor:
2. Quyidagi ifodalarning qiymatlarini toping.

Misol yoniga tegishli harfni qo'ying.

Buyuk olim haqida qisqacha ma'lumot. Rene Dekart (1596-1650) fransuz zodagoni, matematigi, faylasufi, fiziologi, mutafakkiri. Rene Dekart analitik geometriyaga asos soldi, x 2, y 3 harf belgilarini kiritdi. Har bir inson o'zgaruvchining funktsiyasini aniqlaydigan Dekart koordinatalarini biladi.

3 . Tenglamalarni yeching: a) = -2; b) = 1; c) = -4

Yechim: a) Agar = -2 bo'lsa, u holda y = -8. Aslida, biz berilgan tenglamaning ikkala qismini ham kub qilishimiz kerak. Biz quyidagilarni olamiz: 3x+4= - 8; 3x= -12; x = -4. b) a) misolidagi kabi bahslashamiz, biz tenglamaning ikkala tomonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz. Biz olamiz: x=1.

c) Bu erda to'rtinchi darajaga ko'tarish shart emas, bu tenglamaning yechimlari yo'q. Nega? Chunki, 1-ta’rifga ko‘ra, juft darajaning ildizi manfiy bo‘lmagan sondir.
Sizning e'tiboringiz uchun bir nechta vazifalar mavjud. Ushbu topshiriqlarni bajarganingizda, siz buyuk matematikning ismi va familiyasini bilib olasiz. Bu olim 1637 yilda birinchi bo'lib ildiz belgisini kiritgan.

6. Keling, biroz dam olaylik.

Sinf qo'llarini ko'taradi - bu "vaqt".

Bosh o'girildi - bu "ikkita".

Qo'llar pastga, oldinga qarab turing - bu "uch".

Qo'llar "to'rtta" tomonga kengroq buriladi,

Ularni qo'llaringizga kuch bilan bosish "besh" dir.

Barcha yigitlar o'tirishlari kerak - bu "oltita".

7. Mustaqil ish:

variant: 2 variant:

b) 3-. b) 12-6.

2. Tenglamani yeching: a) x 4 \u003d -16; b) 0,02x6 -1,28=0; a) x 8 \u003d -3; b) 0,3x 9 - 2,4 \u003d 0;

c) = -2; c)= 2

8. Takrorlash:= - x tenglamaning ildizini toping. Agar tenglama bir nechta ildizga ega bo'lsa, javobdagi ildizlardan kichikroqini yozing.

9. Mulohaza: Darsda nimani o'rgandingiz? Nima qiziq edi? Nima qiyin edi?

Ildiz darajasi n haqiqiy raqamdan a, qayerda n- natural son, bunday haqiqiy son deyiladi x, n kuchi kimga teng a.

daraja ildiz n raqamdan a belgisi bilan ko'rsatilgan. Ushbu ta'rifga ko'ra.

Ildizni topish n orasidan th daraja a ildiz chiqarish deb ataladi. Raqam lekin ildiz raqami (ifoda) deb ataladi, n- ildizning ko'rsatkichi. G'alati uchun n ildiz bor n har qanday haqiqiy son uchun --chi daraja a. Hatto n ildiz bor n-inchi daraja faqat manfiy bo'lmagan son uchun a. Ildizning noaniqligini bartaraf etish uchun n orasidan th daraja a, arifmetik ildiz tushunchasi kiritiladi n orasidan th daraja a.

N darajali arifmetik ildiz tushunchasi

Agar va n- natural son dan katta 1 , u holda mavjud va faqat bitta manfiy bo'lmagan son mavjud X, shundayki, tenglik amal qiladi. Bu raqam X arifmetik ildiz deb ataladi n manfiy bo'lmagan sonning th darajasi lekin va belgilanadi. Raqam lekin ildiz raqami deb ataladi n- ildizning ko'rsatkichi.

Demak, ta'rifga ko'ra, , qaerda , belgisi, birinchidan, o'sha, ikkinchidan, o'sha, ya'ni. .

Ratsional darajali daraja tushunchasi

Tabiiy ko'rsatkichli daraja: ruxsat lekin haqiqiy son, va n birdan katta natural sondir n-sonning darajasi lekin ishni chaqiring n ko'paytirgichlar, ularning har biri teng lekin, ya'ni. . Raqam lekin- daraja asosi; n- ko'rsatkich. Nol darajali ko'rsatkich: ta'rifiga ko'ra, agar , keyin . Raqamning nol kuchi 0 ma'noga ega emas. Manfiy butun ko'rsatkichli quvvat: ta'rifi bo'yicha, agar va n natural son bo'lsa, . Kasr ko'rsatkichli daraja: ta'rifi bo'yicha, agar va n- natural son, m butun son bo'lsa, .

Ildizlar bilan operatsiyalar.

Quyidagi barcha formulalarda belgi arifmetik ildizni bildiradi (radikal ifoda ijobiy).

1. Bir necha omillar hosilasining ildizi ushbu omillarning ildizlari mahsulotiga teng:

2. Nisbatning ildizi dividend va bo‘luvchining ildizlari nisbatiga teng:

3. Ildizni bir darajaga ko'tarishda ildiz raqamini shu darajaga ko'tarish kifoya:

4. Agar ildizning darajasini n marta oshirib, bir vaqtning o‘zida ildiz sonini n-darajali darajaga ko‘tarsangiz, u holda ildizning qiymati o‘zgarmaydi:

5. Agar ildizning darajasini n marta kamaytirsangiz va shu bilan birga radikal sondan n-darajali ildizni ajratib olsak, u holda ildizning qiymati o'zgarmaydi:

Daraja tushunchasini kengaytirish. Hozircha biz darajalarni faqat tabiiy ko'rsatkich bilan ko'rib chiqdik; lekin kuchlar va ildizlar bilan amallar manfiy, nol va kasr koʻrsatkichlariga ham olib kelishi mumkin. Ushbu ko'rsatkichlarning barchasi qo'shimcha ta'rifni talab qiladi.

Salbiy ko'rsatkichli daraja. Manfiy (butun) ko'rsatkichli ba'zi sonning kuchi manfiy ko'rsatkichning mutlaq qiymatiga teng ko'rsatkichga ega bo'lgan bir xil sonning kuchiga bo'linish sifatida aniqlanadi:

Endi a m: a n \u003d a m - n formulasi nafaqat n dan katta m, balki n dan kichik m uchun ham ishlatilishi mumkin.

MISOL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3 .

Agar a m: a n = a m - n formulasi m = n uchun amal qilishini istasak, nol darajani aniqlashimiz kerak.

Nol ko'rsatkichli daraja. Nol ko'rsatkichli har qanday nolga teng bo'lmagan sonning darajasi 1 ga teng.

MISOLLAR. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Kasr ko'rsatkichli daraja. Haqiqiy a sonini m/n darajaga oshirish uchun ushbu a sonining m-darajali darajasidan n-darajali ildizni ajratib olish kerak:

Mantiqiy bo'lmagan iboralar haqida. Bunday iboralar bir nechta.

1-holat

Bu erda ≠ 0 mavjud emas.

Haqiqatan ham, agar biz x ni ma'lum bir raqam deb hisoblasak, unda bo'linish operatsiyasining ta'rifiga muvofiq, bizda: a = 0 · x, ya'ni. a = 0, bu shartga zid: a ≠ 0

2-holat

Har qanday raqam.

Haqiqatan ham, agar bu ifodani qandaydir x soniga teng deb hisoblasak, bo'linish amalining ta'rifiga ko'ra, bizda: 0 = 0 · x . Lekin bu tenglik isbotlanishi kerak bo'lgan har qanday x soni uchun amal qiladi.

Haqiqatan ham,

Yechim. Uchta asosiy holatni ko‘rib chiqing:

1) x = 0 - bu qiymat bu tenglamani qanoatlantirmaydi

2) x > 0 uchun biz olamiz: x / x = 1, ya'ni. 1 = 1, bundan kelib chiqadiki, x har qanday sondir; lekin bizning holatimizda x > 0 ekanligini hisobga olsak, javob x > 0;

3) x da< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

bu holda hech qanday yechim yo'q. Shunday qilib, x > 0.

Mavzu: Ildizlar va darajalar. Haqiqiy sonning n- ildizi haqida tushuncha.

Dars maqsadlari:

tarbiyaviy: tabiiy darajaning, shu jumladan toq darajaning arifmetik ildizi tushunchasini o‘rganish; Arifmetik ildizlarni hisoblashni o'rganing.

tarbiyaviy: o'quvchilarning darsda mehnatini faollashtirish, fanga qiziqishni rivojlantirish;

Rivojlanayotgan: intellektual qobiliyatlarni, bilimlarni yangi vaziyatlarga o'tkazish qobiliyatini rivojlantirish.

Dars turi: yangi materialni o'rganish.

Usul: tushuntiruvchi va illyustrativ.

Uskunalar: kompyuter, interfaol doska, taqdimot.

Darslar davomida

1. Tashkiliy qism

Salom. Sinfning darsga tayyorligi. Uy vazifasini tekshirish.

2. O'quv faoliyatini rag'batlantirish, mavzuni muloqot qilish va dars maqsadini belgilash.

Bugun biz "Ildizlar va darajalar" mavzusini o'rganamiz. Haqiqiy sonning n-chi ildizi haqida tushuncha. Men sizning e'tiboringizni so'zlarga qaratmoqchiman Anatol Frantsiya (1844-1924) , bu bizning darsimizning epigrafi bo'ladi. Tarkibida ildiz bo‘lgan iboralar bilan ishlaymiz. Siz ildizlar haqidagi bilimingizni kengaytirasiz. Dars oxirida ushbu mavzu bo'yicha bilimlarni qanday mustaqil qo'llash mumkinligini tekshirish uchun biz kichik mustaqil ish qilamiz.

"O'rganish faqat qiziqarli bo'lishi mumkin ...

Bilimni hazm qilish uchun uni ishtaha bilan singdirish kerak”.

Yangi materialni tushuntirish.

Ta'rif 1.ildiznmanfiy bo'lmagan sonning th darajasi a(n=2,3,4,5...) manfiy bo‘lmagan son bo‘lib, n ning darajasiga ko‘tarilganda a soni hosil bo‘ladi.

Belgilanishi: - n-darajaning ildizi.

n soni arifmetik ildizning darajasi deb ataladi.

Agar n=2 bo'lsa, u holda ildizning darajasi ko'rsatilmaydi va yoziladi

Ikkinchi darajali ildiz kvadrat ildiz, uchinchi darajali ildiz kubik ildiz deyiladi.

Eksponentsiya va ildiz chiqarish bir xil bog'liqlikdir:

Ildizlarning asosiy xossalari

O'rganilayotgan materialni birlashtirish:

№ 1063 og'zaki,

№ 1067 – 1069,

№ 1070 - 1071 (a, b)

№ 1072 -1073 (a, b)

№ 1076 (a, c)

№ 1078 (a, b)

№ 1079 (a, c)

Mustaqil ish:

Variant 1

№ 1070 -1071 (c)

№ 1072 -1073 (g)

Variant 2

№ 1070 -1071 (g)

№ 1072 -1073 (c)

Uy vazifasi: No 1076 (d), No 1078 (c), No 1079 (b)

Darsni yakunlash:

Bugun darsda biz n-darajali arifmetik ildiz tushunchasini o'rganib chiqdik va uni misollar yechish orqali aniqladik.

Darsni baholash.

Adabiyot

1.A.G. Mordkovich. Algebra va matematik analizning boshlanishi. 10-11 sinflar. Soat 2 da Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik (asosiy daraja) .- M: Mnemosyne, 2012 y.

2. Aleksandrova L.A. Algebra va tahlilning boshlanishi. 11 hujayra Mustaqil ish: ta'lim muassasalari uchun qo'llanma / ostida. ed. Mordkovich A.G.-M.: Mnemozina, 2014

3. T.I. Kuporova. Algebra va tahlilning boshlanishi. 11-sinf: Mordkovich A.G. darsligi bo'yicha dars rejalari - Volgograd: O'qituvchi, 2008 yil.

4. Rurukin A. N. Algebrada pourochnye rivojlanishi va tahlilning boshlanishi: 11-sinf. – M.: VAKO, 2014 yil.

5. Nechaev M.P. "Algebra - 11" kursi bo'yicha darslar. - M.: Bilim uchun 5, 2007