Уравнения с параметрами. Задачи с параметром (графический прием решения) Введение

Отделкина Ольга ученица 9 класса

Эта тема является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Цель данной работы более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Этот реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Введение2

Глава 1. Уравнения с параметром

История возникновения уравнений с параметром3

Теорема Виета4

Основные понятия5

Глава 2. Виды уравнений с параметрами.

Линейные уравнения6

Квадратные уравнения…………………………………………....................7

Глава 3. Методы решения уравнений с параметром

Аналитический метод….……………………………………………….......8

Графический метод. История возникновения….…………………………9

Алгоритм решения графическим методом..…………….....…………….10

Решение уравнения с модулем……………...…………………………….11

Практическая часть……………………...………………………………………12

Заключение……………………………………………………………………….19

Список литературы………………………………………………………………20

Введение.

Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Мой реферат поможет понять другим ученикам применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.

В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.

Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра α.

Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.

История возникновения уравнений с параметром

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. Индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

αх 2 + bx = c, α>0

В уравнении коэффициенты, кроме параметра , могут быть и отрицательными.

Квадратные уравнения у ал-Хорезми.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений с параметром а. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. αx 2 = bx.

2) «Квадраты равны числу», т. е. αx 2 = c.

3) «Корни равны числу», т. е. αx = c.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. αx 2 + c = bx.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. αx 2 + bx = c.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bx + c = αx 2 .

Формулы решения квадратных уравнений по ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

Вывод формулы решения квадратного уравнения с параметром в общем виде имеется у Виета, однако Виета признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принял современный вид.

Теорема Виета

Теорема, выражающая связь между параметрами, коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. Следующим образом: «Если b + d, умноженное на α минус α 2 , равно bc, то α равно b и равно d».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что α, как и всякая гласная буква, означала у него неизвестное (наше х), гласные же b, d - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает:

Если имеет место

(α + b)x - x 2 = αb,

Т. е. x 2 - (α -b)x + αb =0,

то x 1 = α, x 2 = b.

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виета установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и поэтому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

Основные понятия

Параметр - независимая переменная, значение которой считается фиксированным или произвольным числом, или числом, принадлежащим заданному условием задачи промежутку.

Уравнение с параметром — математическое уравнение , внешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров.

Решить уравнение с параметром означает для каждого значения найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению, а также:

1. 1. Исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.
2. 2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение действительно определяет корень уравнения.

Рассмотрим уравнение α(х+k)= α +c, где α, c, k, x -переменные величины.

Системой допустимых значений переменных α, c, k, x называется любая система значений переменных, при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения.

Пусть А - множество всех допустимых значений α, K- множество всех допустимых значений k, Х - множество всех допустимых значений х, C- множество всех допустимых значений c. Если у каждого из множеств A, K, C, X выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению α, k, c, и подставить их в уравнение, то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные α, k, c, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: α, b, c, d, …, k , l, m, n, а неизвестные - буквами x, y,z.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными , если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Виды уравнений с параметрами

Уравнения с параметрами бывают: линейные и квадратные.

1)Линейное уравнение. Общий вид:

α х = b, где х - неизвестное; α , b - параметры.

Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра α является значение α = 0.

1.Если, а ≠0 , то при любой паре параметров α и b оно имеет единственное решение х = .

2.Если, а =0,то уравнение принимает вид:0 х = b . В этом случае значение b = 0 является особым значением параметра b .

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b =0 уравнение примет вид:0 х =0.

Решением данного уравнения является любое действительное число.

Квадратное уравнение с параметром.

Общий вид:

α x 2 + bx + c = 0

где параметр α ≠0, b и с — произвольные числа

Если α =1, то уравнение называется приведённым квадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения находятся по формулам

Выражение D = b 2 - 4 α c называют дискриминантом.

1. Если D> 0 — уравнение имеет два различных корня.

2. Если D < 0 — уравнение не имеет корней.

3. Если D = 0 — уравнение имеет два равных корня.

Методы решения уравнений с параметром:

1. Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.
2. Графический - в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика соответствующей квадратичной функции в системе координат.

Аналитический метод

Алгоритм решения:

1. Прежде, чем приступить к решению задачи с параметрами аналитическим методом, нужно разобраться в ситуации для конкретного числового значения параметра. Например, возьмите значение параметра α =1 и ответьте на вопрос: является ли значение параметра α =1 искомым для данной задачи.

Пример 1. Решить относительно Х линейное уравнение с параметром m :

По смыслу задачи (m-1)(x+3) = 0, то есть m = 1, x = -3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

Получаем

Отсюда при m= 2,25 .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых

найденное значение x равно -3.

решая это уравнение, получаем, что х равен -3 при m = -0,4.

Ответ: при m=1, m =2,25.

Графический метод. История возникновения

Исследование общих зависимостей началось в 14 веке. Средневековая наука была схоластической. При таком характере не оставалось места изучению количественных зависимостей, речь шла лишь о качествах предметов и их связях друг с другом. Но среди схоластов возникла школа, утверждавшая, что качества могут быть более или менее интенсивными (платье человека, свалившегося в реку, мокрее, чем у того, кто лишь попал под дождь)

Французский ученый Николай Оресм стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им "линией интенсивностей" или "линией верхнего края» (график соответствующей функциональной зависимости). Оресм изучал даже "плоскостные" и "телесные" качества, т.е. функции, зависящие от двух или трех переменных.

Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: Равномерные (с постоянной интенсивностью), равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности) и неравномерно-неравномерные (все остальные), а также характерные свойства графиков таких качеств.

Чтобы создать математический аппарат для изучения графиков функций, понадобилось понятие переменной величины. Это понятие было введено в науку французским философом и математиком Рене Декартом (1596-1650). Именно Декарт пришел к идеям о единстве алгебры и геометрии и о роли переменных величин, Декарт ввел фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему.

Таким образом, графики функций за все время своего существования прошли через ряд фундаментальных преобразований, приведших их к тому виду, к которому мы привыкли. Каждый этап или ступень развития графиков функций - неотъемлемая часть истории современной алгебры и геометрии.

Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.

Алгоритм решения графическим методом

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты — соответствующими значениями функции .

Алгоритм графического решения уравнений с параметром:

1. Находим область определения уравнения.
2. Выражаем α как функцию от х.
3. В системе координат строим график функции α (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.
4. Находим точки пересечения прямой α =с, с графиком функции

α (х). Если прямая α =с пересекает график α (х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение c = α (х) относительно х.

1. Записываем ответ

Решение уравнений с модулем

При решении уравнений с модулем, содержащих параметр, графическим способом, необходимо построить графики функций и при различных значениях параметра рассмотреть все возможные случаи.

Например, │х│= а,

Ответ: если а < 0, то нет корней, а > 0, то х = а , х = - а, если а = 0, то х =0.

Решение задач.

Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | - 2 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | - 2 | и y = a . График функции y = | | x | - 2 | изображен на рисунке.

Графиком функции y = α a = 0).

Из графика видно, что:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | - 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x 1,2 = + 2).
Если 0 < a < 2, то прямая y = α имеет с графиком функции y = | | x | - 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a > 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.

Ответ: если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 < a < 2, то четыре корня.

Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x 2 - 2| x | - 3 | = a в зависимости от параметра a ?

Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | x 2 - 2| x | - 3 | и y = a .

График функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = α является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).

Из графика видно:

Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | x2 - 2| x | - 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | две общие точки при a > 4. Значит, при a = 0 и a > 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 < a < 3, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | x 2 - 2| x | - 3 | четыре общие точки, а также прямая y= a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 < a < 3, a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 < a < 4, прямая y = α пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Если a < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α не пересекает график функции y = | x 2 - 2| x | - 3 |.

Ответ: если a < 0, то корней нет;
если a = 0, a > 4, то два корня;
если 0 < a < 3, a = 4, то четыре корня;

если a = 3, то пять корней;
если 3 < a < 4, то шесть корней.

Задача 3. Сколько корней имеет уравнение

в зависимости от параметра a ?

Решение. Построим в системе координат (x; y) график функции

но сначала представим ее в виде:

Прямые x = 1, y = 1 являются асимптотами графика функции. График функции y = | x | + a получается из графика функции y = | x | смещением на a единиц по оси Oy.

Графики функций пересекаются в одной точке при a > - 1; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет одно решение.

При a = - 1, a = - 2 графики пересекаются в двух точках; значит, при этих значениях параметра уравнение (1) имеет два корня.
При - 2 < a < - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Ответ: если a > - 1, то одно решение;
если a = - 1, a = - 2, то два решения;
если - 2 < a < - 1, a < - 1, то три решения.

Замечание. При решении уравнения задачи особо следует обратить внимание на случай, когда a = - 2, так как точка (- 1; - 1) не принадлежит графику функции но принадлежит графику функции y = | x | + a .

Задача 4. Сколько корней имеет уравнение

x + 2 = a | x - 1 |

в зависимости от параметра a ?

Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a 0 не может быть верным ни при каком значении параметра a . Разделим обе части уравнения на | x - 1 |(| x - 1 | 0), тогда уравнение примет вид В системе координат xOy построим график функции

График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).

К задачам с параметром можно отнести, например, поиск решения линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование уравнения на количество имеющихся корней в зависимости от значения параметра.

Не приводя подробных определений, в качестве примеров рассмотрим следующие уравнения:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр;

аx 2 + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр.

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение (неравенство, систему) – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Например, чтобы сравнить два числа -6а и 3а, необходимо рассмотреть три случая:

1) -6a будет больше 3a, если а отрицательное число;

2) -6а = 3а в случае, когда а = 0;

3) -6а будет меньше, чем 3а, если а – число положительное 0.

Решение и будет являться ответом.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число изR, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Пример 1.

Решить уравнение с параметром |6 – x| = a.

Решение.

Легко видеть, что здесь a ≥ 0.

По правилу модуля 6 – x = ±a, выразим х:

Ответ: х = 6 ± a, где a ≥ 0.

Пример 2.

Решить уравнение a(х – 1) + 2(х – 1) = 0 относительно переменной х.

Решение.

Раскроем скобки: aх – а + 2х – 2 = 0

Запишем уравнение в стандартном виде: х(а + 2) = а + 2.

В случае, если выражение а + 2 не нуль, т. е. если а ≠ -2, имеем решение х = (а + 2) / (а + 2), т.е. х = 1.

В случае, если а + 2 равно нулю, т.е. а = -2, то имеем верное равенство 0 · x = 0, поэтому х – любое действительное число.

Ответ: х = 1 при а ≠ -2 и х € R при а = -2.

Пример 3.

Решить уравнение x/a + 1 = а + х относительно переменной х.

Решение.

Если а = 0, то преобразуем уравнение к виду а + х = а 2 + ах или (а – 1)х = -а(а – 1). Последнее уравнение при а = 1 имеет вид 0 · x = 0, следовательно, х – любое число.

Если а ≠ 1, то последнее уравнение примет вид х = -а.

Данное решение можно проиллюстрировать на координатной прямой (рис. 1)

Ответ: нет решений при а = 0; х – любое число при а = 1; х = -а при а ≠ 0 и а ≠ 1.

Графический метод

Рассмотрим еще один способ решения уравнений с параметром – графический. Этот метод применяется достаточно часто.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от параметра a имеет уравнение ||x| – 2| = a?

Решение.

Для решения графическим методом строим графики функций y = ||x| – 2| и y = a (рис. 2) .

На чертеже наглядно видны возможные случаи расположения прямой y = a и количество корней в каждом из них.

Ответ: корней у уравнения не будет, если а < 0; два корня будет в случае, если a > 2 и а = 0; три корня уравнение будет иметь в случае а = 2; четыре корня – при 0 < a < 2.

Пример 5.

При каком а уравнение 2|x| + |x – 1| = a имеет единственный корень?

Решение.

Изобразим графики функций y = 2|x| + |x – 1| и y = a. Для y = 2|x| + |x – 1|, раскрыв модули методом промежутков, получим:

{-3x + 1, при x < 0,

y = {x + 1, при 0 ≤ x ≤ 1,

{3x – 1, при x > 1.

На рисунке 3 хорошо видно, что единственный корень уравнение будет иметь только при а = 1.

Ответ: а = 1.

Пример 6.

Определить число решений уравнения |x + 1| + |x + 2| = a в зависимости от параметра а?

Решение.

График функции y = |x + 1| + |x + 2| будет представлять собой ломаную. Ее вершины будут располагаться в точках (-2; 1) и (-1; 1) (рисунок 4) .

Ответ: если параметр a будет меньше единицы, то корней у уравнения не будет; если а = 1, то решение уравнения является бесконечное множество чисел из отрезка [-2; -1]; если значения параметра а будут больше одного, то уравнение будет иметь два корня.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения с параметром?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают из года в год в список заданий типа B и C на едином государственном экзамене ЕГЭ. Однако среди большого числа уравнений с параметрами есть те, которые с легкостью могут быть решены графическим способом. Рассмотрим этот метод на примере решения нескольких задач.

Найти сумму целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 2x – 3| = a имеет четыре корня.

Решение.

Чтобы ответить на вопрос задачи, построим на одной координатной плоскости графики функций

y = |x 2 – 2x – 3| и y = a.

График первой функции y = |x 2 – 2x – 3| будет получен из графика параболы y = x 2 – 2x – 3 путем симметричного отображения относительно оси абсцисс той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика, находящаяся выше оси абсцисс, останется без изменений.

Проделаем это поэтапно. Графиком функции y = x 2 – 2x – 3 является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы построить ее график, найдем координаты вершины. Это можно сделать по формуле x 0 = -b/2a. Таким образом, x 0 = 2/2 = 1. Чтобы найти координату вершины параболы по оси ординат, подставим полученное значение для x 0 в уравнение рассматриваемой функции. Получим, что y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Значит, вершина параболы имеет координаты (1; -4).

Далее нужно найти точки пересечения ветвей параболы с осями координат. В точках пересечения ветвей параболы с осью абсцисс значение функции равно нулю. Поэтому решим квадратное уравнение x 2 – 2x – 3 = 0. Его корни и будут искомыми точками. По теореме Виета имеем x 1 = -1, x 2 = 3.

В точках пересечения ветвей параболы с осью ординат значение аргумента равно нулю. Таким образом, точка y = -3 есть точка пересечения ветвей параболы с осью y. Полученный график изображен на рисунке 1.

Чтобы получить график функции y = |x 2 – 2x – 3|, отобразим симметрично относительно оси x часть графика, находящуюся ниже оси абсцисс. Полученный график изображен на рисунке 2.

График функции y = a – это прямая, параллельная оси абсцисс. Он изображен на рисунке 3. С помощью рисунка и находим, что графики имеют четыре общие точки (а уравнение – четыре корня), если a принадлежит интервалу (0; 4).

Целые значения числа a из полученного интервала: 1; 2; 3. Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем сумму этих чисел: 1 + 2 + 3 = 6.

Ответ: 6.

Найти среднее арифметическое целых значений числа a, при которых уравнение |x 2 – 4|x| – 1| = a имеет шесть корней.

Начнем с построения графика функции y = |x 2 – 4|x| – 1|. Для этого воспользуемся равенством a 2 = |a| 2 и выделим полный квадрат в подмодульном выражении, написанном в правой части функции:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Тогда исходная функция будет иметь вид y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Для построения графика этой функции строим последовательно графики функций:

1) y = (x – 2) 2 – 5 – парабола с вершиной в точке с координатами (2; -5); (Рис. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – часть построенной в пункте 1 параболы, которая находится справа от оси ординат, симметрично отображается слева от оси Oy; (Рис. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – часть построенного в пункте 2 графика, которая находится ниже оси x, отображается симметрично относительно оси абсцисс наверх. (Рис. 3).

Рассмотрим получившиеся рисунки:

Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси абсцисс.

С помощью рисунка делаем вывод, что графики функций имеют шесть общих точек (уравнение имеет шесть корней), если a принадлежит интервалу (1; 5).

Это можно видеть на следующем рисунке:

Найдем среднее арифметическое целых значений параметра a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Ответ: 3.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для каждого значения параметра a a решите неравенство | 2 x + a | ≤ x + 2 |2x+a| \leq x+2 .

Сначала решим вспомогательную задачу. Рассмотрим данное неравенство как неравенство с двумя переменными x x и a a и изобразим на координатной плоскости x O a xOa все точки, координаты которых удовлетворяют неравенству.

Если 2 x + a ≥ 0 2x+a \geq 0 (т. е. на прямой a = - 2 x a=-2x и выше), то получаем 2 x + a ≤ x + 2 ⇔ a ≤ 2 - x 2x+a \leq x+2 \Leftrightarrow a \leq 2-x .

Множество изображено на рис. 11.

Теперь решим с помощью этого чертежа исходную задачу. Если мы фиксируем a a , то получаем горизонтальную прямую a = const a = \textrm{const} . Чтобы определить значения x x ,надо найти абсциссы точек пересечения этой прямой с множеством решения неравенства. Например, если a = 8 a=8 , то неравенство не имеет решений (прямая не пересекает множество); если a = 1 a=1 , то решениями являются все x x из отрезка [ - 1 ; 1 ] [-1;1] и т. д. Итак, возможны три варианта.

1) Если $$a>4$$, то решений нет.

2) Если a = 4 a=4 , то x = - 2 x=-2 .

ОТВЕТ

при $$a

при a = 4 a=4 - x = - 2 x=-2 ;

при $$a>4$$ - решений нет.

Найдите все значения параметра a a , при которых неравенство $$3-|x-a| > x^2$$ а) имеет хотя бы одно решение; б) имеет хотя бы одно положительное решение.

Перепишем неравенство в виде $$3-x^2 > |x-a}$$. Построим графики левой и правой частей на плоскости x O y xOy . График левой части - это парабола с ветвями вниз с вершиной в точке (0 ; 3) (0;3) . График пересекает ось абсцисс в точках (± 3 ; 0) (\pm \sqrt{3};0) . График правой части - это угол с вершиной на оси абсцисс, стороны которого направлены вверх под углом 45 ° 45^{\circ} к осям координат. Абсцисса вершины - точка x = a x=a .

а) Для того, чтобы неравенство имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы в одной точке парабола оказалась выше графика y = | x - a | y=|x-a| . Это выполнено, если вершина уголка лежит между точками A A и B B оси абсцисс (см. рис. 12 - точки A A и B B не включаются). Таким образом, надо определить, при каком положении вершины одна из ветвей уголка касается параболы.

Рассмотрим случай, когда вершина уголка находится в точке A A . Тогда правая ветвь уголка касается параболы. Её угловой коэффициент равен единице. Значит, производная функции y = 3 - x 2 y = 3-x^2 в точке касания равна 1 1 , т. е. - 2 x = 1 -2x=1 , откуда x = - 1 2 x = -\frac{1}{2} . Тогда ордината точки касания равна y = 3 - (1 2) 2 = 11 4 y = 3 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{4} . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k = 1 k=1 и проходящей через точку с координатами (- 1 2 ; 11 4) (-\frac{1}{2}; \frac{11}{4}) , следующее * {\!}^* : y - 11 4 = 1 · (x + 1 2) y - \frac{11}{4} = 1 \cdot (x+ \frac{1}{2}) , откуда y = x + 13 4 y = x + \frac{13}{4} .

Это уравнение правой ветви уголка. Абсцисса точки пересечения с осью x x равна - 13 4 -\frac{13}{4} , т. е. точка A A имеет координаты A (- 13 4 ; 0) A(-\frac{13}{4}; 0) . Из соображений симметрии точка B B , имеет координаты: B (13 4 ; 0) B(\frac{13}{4}; 0) .

Отсюда получаем, что a ∈ (- 13 4 ; 13 4) a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}) .

б) Неравенство имеет положительные решения, если вершина уголка находится между точками F F и B B (см. рис. 13). Найти положение точки F F несложно: если вершина уголка находится в точке F F , то его правая ветвь (прямая, задаваемая уравнением y = x - a y = x-a проходит через точку (0 ; 3) (0;3) . Отсюда находим, что a = - 3 a=-3 и точка F F имеет координаты (- 3 ; 0) (-3;0) . Следовательно, a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac{13}{4}) .

ОТВЕТ

а) a ∈ (- 13 4 ; 13 4) ,       a\in (-\frac{13}{4}; \frac{13}{4}),\:\:\: б) a ∈ (- 3 ; 13 4) a \in (-3; \frac{13}{4}) .

* {\!}^* Полезные формулы:

­ - \-- прямая, проходящая через точку (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) и имеющая угловой коэффициент k k , задаётся уравнением y - y 0 = k (x - x 0) y-y_0=k(x-x_0) ;

­ - \-- угловой коэффициент прямой, проходящей через точки (x 0 ; y 0) (x_0;y_0) и (x 1 ; y 1) (x_1;y_1) , где x 0 ≠ x 1 x_0 \neq x_1 , вычисляется по формуле k = y 1 - y 0 x 1 - x 0 k = \dfrac{y_1-y_0}{x_1-x_0} .

Замечание. Если надо найти значение параметра, при котором касаются прямая y = k x + l y=kx+l и парабола y = a x 2 + b x + c y = ax^2+bx+c , то можно записать условие, что уравнение k x + l = a x 2 + b x + c kx+l = ax^2+bx+c имеет ровно одно решение.Тогда другой способ найти значения параметра a a , при котором вершина уголка находится в точке А А, следующий: уравнение x - a = 3 - x 2 x-a = 3-x^2 имеет ровно одно решение ⇔ D = 1 + 4 (a + 3) = 0 ⇔ a = - 13 4 \Leftrightarrow D = 1 + 4(a+3) = 0 \Leftrightarrow a = -\dfrac{13}{4} .

Обратите внимание, что таким образом нельзя записать условие касания прямой с произвольным графиком. Например, прямая y = 3 x - 2 y = 3x - 2 касается кубической параболы y = x 3 y=x^3 в точке (1 ; 1) (1;1) и пересекает её в точке (- 2 ; - 8) (-2;-8) , т. е. уравнение x 3 = 3 x + 2 x^3 = 3x+2 имеет два решения.

Найдите все значения параметра a a , при каждом из которых уравнение (a + 1 - | x + 2 |) (x 2 + 4 x + 1 - a) = 0 (a+1-|x+2|)(x^2+4x+1-a) = 0 имеет а) ровно два различных корня; б) ровно три различных корня.

Поступим так же, как и в примере 25. Изобразим множество решений этого уравнения на плоскости x O a xOa . Оно равносильно совокупности двух уравнений:

1) a = | x + 2 | - 1 a = |x+2| -1 - это угол с ветвями вверх и вершиной в точке (- 2 ; - 1) (-2;-1) .

2) a = x 2 + 4 x + 1 a = x^2 + 4x + 1 - это парабола с ветвями вверх и вершиной в точке (- 2 ; - 3) (-2;-3) . См. рис. 14.

Находим точки пересечения двух графиков. Правая ветвь угла задаётся уравнением y = x + 1 y=x+1 . Решая уравнение

x + 1 = x 2 + 4 x + 1 x+1 = x^2+4x+1

находим, что x = 0 x=0 или x = - 3 x=-3 . Подходит только значение x = 0 x=0 (т. к. для правой ветви x + 2 ≥ 0 x+2 \geq 0). Тогда a = 1 a=1 . Аналогично находим координаты второй точки пересечения - (- 4 ; 1) (-4;1) .

Возвращаемся к исходной задаче. Уравнение имеет ровно два решения при тех a a , при которых горизонтальная прямая a = const a=\textrm{const} пересекает множество решений уравнения в двух точках. По графику видим, что это выполняется при a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ { 1 } a\in (-3;-1)\bigcup\{1\} . Ровно три решения будут в случае трёх точек пересечения, что возможно только при a = - 1 a=-1 .

ОТВЕТ

а) a ∈ (- 3 ; - 1) ∪ { 1 } ;       a\in (-3;-1)\bigcup\{1\};\:\:\: б) a = - 1 a=-1 .

$$\begin{cases} x^2-x-a \leq 0,\\ x^2+2x-6a \leq 0 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Изобразим решения системы неравенств на плоскости x O a xOa . Перепишем систему в виде $$ \begin{cases} a \leq -x^2+x,\\ a \geq \dfrac{x^2+6x}{6} .\end{cases} $$

Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие на параболе a = - x 2 + x a = -x^2+x и ниже неё, а второму - точки, лежащие на параболе a = x 2 + 6 x 6 a = \dfrac{x^2+6x}{6} и выше неё. Находим координаты вершин парабол и точек их пересечения, а затем строим график. Вершина первой параболы - (1 2 ; 1 4) (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4}) , второй параболы - (- 1 ; - 1 6) (-1; -\dfrac{1}{6}) , точки пересечения - (0 ; 0) (0;0) и (4 7 ; 12 49) (\dfrac{4}{7}; \dfrac{12}{49}) . Множество точек, удовлетворяющих системе, изображено на рис. 15. Видно, что горизонтальная прямая a = const a=\textrm{const} имеет с этим множеством ровно одну общую точку (а значит, система имеет ровно одно решение) в случаях a = 0 a=0 и a = 1 4 a=\dfrac{1}{4} .

ОТВЕТ

A = 0 ,   a = 1 4 a=0,\: a=\dfrac{1}{4}

Найдите наименьшее значение параметра a a , при каждом из которых система

$$\begin{cases} x^2+y^2 + 3a^2 = 2y + 2\sqrt{3}ax,\\ \sqrt{3}|x|-y=4 \end{cases} $$

имеет единственное решение.

Преобразуем первое уравнение, выделяя полные квадраты :

(x 2 - 2 3 a x + 3 a 2) + (y 2 - 2 y + 1) = 1 ⇔ (x - a 3) 2 + (y - 1) 2 = 1 .       18 (x^2- 2\sqrt{3}ax+3a^2)+(y^2-2y+1)=1 \Leftrightarrow (x-a\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1. \:\:\:\left(18\right)

В отличие от предыдущих задач здесь лучше изобразить чертёж на плоскости x O y xOy (чертёж в плоскости “переменная - параметр” обычно используется для задач с одной переменной и одним параметром - в результате получается множество на плоскости. В данной задаче мы имеем дело с двумя переменными и параметром. Изобразить множество точек (x ; y ; a) (x;y;a) в трёхмерном пространстве - это трудная задача; к тому же, такой чертёж вряд ли получится наглядным). Уравнение (18) задаёт окружность с центром (a 3 ; 1) (a\sqrt{3};1) радиуса 1. Центр этой окружности в зависимости от значения a a может находиться в любой точке прямой y = 1 y=1 .

Второе уравнение системы y = 3 | x | - 4 y = \sqrt{3}|x|-4 задаёт угол со сторонами вверх под углом 60 ° 60^{\circ} к оси абсцисс(угловой коэффициент прямой - это тангенс угла наклона tg 60 ° = 3 \textrm{tg}{60^{\circ}} = \sqrt{3}), с вершиной в точке (0 ; - 4) (0;-4) .

Данная система уравнений имеет ровно одно решение, если окружность касается одной из ветвей уголка. Это возможно в четырёх случаях (рис. 16): центр окружности может находиться в одной из точек A A , B B , C C , D D . Поскольку нам надо найти наименьшее значение параметра a a , нас интересует абсцисса точки D D . Рассмотрим прямоугольный треугольник D H M DHM . Расстояние от точки D D до прямой H M HM равно радиусу окружности, поэтому D H = 1 DH=1 . Значит, D M = D H sin 60 ° = 2 3 DM=\dfrac{DH}{\textrm{sin}{60^{\circ}}} = \dfrac{2}{\sqrt{3}} . Координаты точки M M находятся как координаты точки пересечения двух прямых y = 1 y=1 и y = - 3 x - 4 y=-\sqrt{3}x-4 (левая сторона угла).

Получаем M (- 5 3) M(-\dfrac{5}{\sqrt{3}}) . Тогда абсцисса точки D D равна - 5 3 - 2 3 = - 7 3 -\dfrac{5}{\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}=-\dfrac{7}{\sqrt{3}} .

Поскольку абсцисса центра окружности равна a 3 a\sqrt{3} , отсюда следует, что a = - 7 3 a=-\dfrac{7}{3} .

ОТВЕТ

A = - 7 3 a=-\dfrac{7}{3}

Найдите все значения параметра a a , при каждом из которых система

$$\begin{cases} |4x+3y| \leq 12a,\\ x^2+y^2 \leq 14ax +6ay -57a^2+16a+64 \end{cases} $$

имеет ровно одно решение.

Изобразим множества решений каждого из неравенств на плоскости x O y xOy .

Во втором неравенстве выделим полные квадраты:

x 2 - 14 a x + 49 + y 2 - 6 a y + 9 a 2 ≤ a 2 + 16 a + 64 ⇔ (x - 7 a) 2 + (y - 3 a) 2 ≤ (a + 8) 2         (19) x^2-14ax+49 + y^2-6ay + 9a^2 \leq a^2 + 16a + 64 \Leftrightarrow (x-7a)^2+(y-3a)^2 \leq (a+8)^2 \:\:\:\: (19)

При a + 8 = 0 a+8=0 (a = - 8 a=-8) неравенство (19) задаёт точку с координатами (7 a ; 3 a) (7a;3a) , т. е. (- 56 ; - 24) (-56;-24) . При всех остальных значениях a a (19) задаёт круг с центром в точке (7 a ; 3 a) (7a;3a) радиуса | a + 8 | |a+8| .

Рассмотрим первое неравенство.
1) При отрицательных a a оно не имеет решений. Значит, не имеет решений и система.

2) Если a = 0 a=0 , то получаем прямую 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 . Из второго неравенства при этом получается круг с центром (0 ; 0) (0; 0) радиуса 8. Очевидно, выходит более одного решения.

3) Если $$a>0$$, то данное неравенство равносильно двойному неравенству - 12 a ≤ 4 x + 3 y ≤ 12 a -12a \leq 4x+3y \leq 12a . Оно задаёт полосу между двумя прямыми y = ± 4 a - 4 x 3 y=\pm 4a -\dfrac{4x}{3} , каждая из которых параллельна прямой 4 x + 3 y = 0 4x+3y=0 (рис. 17).

Поскольку мы рассматриваем $$a>0$$, центр круга расположен в первой четверти на прямой y = 3 x 7 y = \dfrac{3x}{7} . Действительно, координаты центра - это x = 7 a x=7a , y = 3 a y=3a ; выражая a a и приравнивая, получаем x 7 = y 3 \dfrac{x}{7}=\dfrac{y}{3} , откуда y = 3 x 7 y = \dfrac{3x}{7} . Для того, чтобы система имела ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы круг касался прямой a 2 a_2 . Это происходит, когда радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до прямой a 2 a_2 . По формуле расстояния от точки до прямой * {\!}^{*} получаем, что расстояние от точки (7 a ; 3 a) (7a;3a) до прямой 4 x + 3 y - 12 a = 0 4x+3y-12a=0 равно | 4 · 7 a + 3 · 3 a - 12 a | 4 2 + 3 2 = 5 a \dfrac{|4\cdot 7a + 3\cdot 3a -12a|}{\sqrt{4^2+3^2}} = 5\left|a\right| . Приравнивая к радиусу круга, получаем 5 a = | a + 8 | 5{a} = |a+8| . Так как $$a>0$$, опускаем модули и находим, что a = 2 a=2 .

ОТВЕТ

A = 2 a=2

* {\!}^{*} Пусть даны точка M (x 0 ; y 0) M (x_0;y_0) и прямая l l , заданная уравнением a x + b y + c = 0 ax+by+c=0 . Тогда расстояние от точки M M до прямой l l определяется формулой ρ = | a x 0 + b x 0 + c | a 2 + b 2 \rho = \dfrac{|ax_0+bx_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} .

При каких значениях параметра a a система

$$\begin{cases} |x|+|y|=1,\\ |x+a|+|y+a|=1 \end{cases}$$ не имеет решений?

Первое уравнение системы задаёт на плоскости x O y xOy квадрат A B C D ABCD (чтобы его построить, рассмотрим x ≥ 0 x\geq 0 и y ≥ 0 y\geq 0 . Тогда уравнение принимает вид x + y = 1 x+y=1 . Получаем отрезок - часть прямой x + y = 1 x+y=1 , лежащую в первой четверти. Далее отражаем этот отрезок относительно оси O x Ox , а затем полученное множество отражаем относительно оси O y Oy)(см. рис. 18). Второе уравнение задаёт квадрат P Q R S PQRS , равный квадрату A B C D ABCD , но с центром в точке (- a ; - a) (-a;-a) . На рис. 18 для примера изображён этот квадрат для a = - 2 a=-2 . Система не имеет решений, если эти два квадрата не пересекаются.

Несложно видеть, что если отрезки P Q PQ и B C BC совпадают, то центр второго квадрата находится в точке (1 ; 1) (1;1) . Нам подойдут те значения a a , при которых центр расположен “выше” и “правее”, т. е. $$a1$$.

ОТВЕТ

A ∈ (- ∞ ; - 1) ∪ (1 ; + ∞) a\in (-\infty;-1)\bigcup(1;+\infty) .

Найдите все значения параметра b b , при которых система

$$\begin{cases} y=|b-x^2|,\\ y=a(x-b) \end{cases} $$

имеет хотя бы одно решение при любом значении a a .

Рассмотрим несколько случаев.

1) Если $$b2) Если b = 0 b=0 , то система принимает вид $$\begin{cases} y=x^2,\\ y=ax .\end{cases} $$

При любом a a пара чисел (0 ; 0) (0;0) является решением этой системы, следовательно, b = 0 b=0 подходит.

3) Зафиксируем некоторое $$b>0$$. Первому уравнению удовлетворяет множество точек, полученное из параболы y = x 2 - b y=x^2-b отражением части этой параболы относительно оси O x Ox (см. рис. 19а, б). Второе уравнение задаёт семейство прямых(подставляя различные значения a a , можно получить всевозможные прямые, проходящие через точку (b ; 0) (b;0) , кроме вертикальной), проходящих через точку (b ; 0) (b;0) . Если точка (b ; 0) (b;0) лежит на отрезке [ - b ; b ] [-\sqrt{b};\sqrt{b}] . оси абсцисс, то прямая пересекает график первой функции при любом угловом коэффициенте (рис. 19а). Иначе (рис. 19б) в любом случае найдётся прямая, не пересекающая данный график. Решая неравенство - b ≤ b ≤ b -\sqrt{b}\leq b \leq \sqrt{b} и учитывая, что $$b>0$$, получаем, что b ∈ (0 ; 1 ] b \in (0;1] .

Объединяем результаты: $$b \in $$.

ОТВЕТ

$$b \in $$

Найдите все значения a a , при каждом из которых функция f (x) = x 2 - | x - a 2 | - 3 x f(x) = x^2-|x-a^2|-3x имеет хотя бы одну точку максимума.

Раскрывая модуль, получаем, что

$$f(x) = \begin{cases} x^2-4x+a^2, \:\:\: x\geq a^2 ,\\ x^2-2x-a^2, \:\:\: x\leq a^2 . \end{cases} $$

На каждом из двух промежутков графиком функции y = f (x) y=f(x) является парабола с ветвями вверх.

Поскольку параболы с ветвями вверх не могут иметь точек максимума, единственная возможность заключается в том, что точкой максимума является граничная точка этих промежутков - точка x = a 2 x=a^2 . В этой точке будет максимум, если вершина параболы y = x 2 - 4 x + a 2 y=x^2-4x+a^2 попадёт на промежуток $$x>a^2$$, а вершина параболы y = x 2 - 2 x - a 2 y=x^2-2x-a^2 - на промежуток $$x\lt a^2$$ (см. рис. 20). Это условие задается неравенствами и $$2 \gt a^2$$ и $$1 \lt a^2$$, решая которые, находим что a ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2}) .

ОТВЕТ

A ∈ (- 2 ; 1) ∪ (1 ; 2) a\in (-\sqrt{2};1)\bigcup(1;\sqrt{2})

Найдите все значения a a , при каждом из которых общие решения неравенств

y + 2 x ≥ a y+2x \geq a и y - x ≥ 2 a                 (20) y-x \geq 2a \:\:\:\:\:\:\:\: (20)

являются решениями неравенства

$$2y-x>a+3 \:\:\:\:\:\:\:\:\: (21)$$

Чтобы сориентироваться в ситуации, иногда бывает полезным рассмотреть какое-нибудь одно значение параметра. Сделаем чертёж, например, для a = 0 a=0 . Неравенствам (20)(фактически мы имеем дело с системой неравенств (20)) удовлетворяют точки угла B A C BAC (см. рис. 21) - точки, каждая из которых лежит выше обеих прямых y = - 2 x y=-2x и y = x y=x (или на этих прямых). Неравенству (21) удовлетворяют точки, лежащие выше прямой y = 1 2 x + 3 2 y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2} . Видно, что при a = 0 a=0 условие задачи не выполняется.

Что изменится, если мы возьмём другое значение параметра a a ? Каждая из прямых переместится и перейдёт в параллельную самой себе прямую, так как угловые коэффициенты прямых не зависят от a a . Чтобы выполнялось условие задачи, нужно, чтобы весь угол B A C BAC лежал выше прямой l l . Так как угловые коэффициенты прямых A B AB и A C AC по модулю больше углового коэффициента прямой l l , необходимо и достаточно, чтобы вершина угла лежала выше прямой l l .

Решая систему уравнений

$$\begin{cases} y+2x=a,\\ y-x=2a, \end{cases}$$

находим координаты точки A (- a 3 ; 5 a 3) A(-\dfrac{a}{3};\dfrac{5a}{3}) . Они должны удовлетворять неравенству (21), поэтому $$\dfrac{10a}{3}+\dfrac{a}{3} > a+3$$, откуда $$a>\dfrac{9}{8}$$.

ОТВЕТ

$$a>\dfrac{9}{8}$$