สามมุมที่อยู่ติดกัน มุมใดเรียกว่าประชิด? ผลบวกของมุมประชิดสองมุม

จะหามุมประชิดได้อย่างไร?

คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดซึ่งได้รับคำสั่งให้ศึกษาในโรงเรียน วิทยาลัย สถาบันและมหาวิทยาลัย อย่างไรก็ตาม ความรู้พื้นฐานมักจะวางไว้ที่โรงเรียนเสมอ บางครั้ง เด็กได้รับงานที่ค่อนข้างยาก และผู้ปกครองก็ช่วยอะไรไม่ได้ เพราะพวกเขาลืมบางอย่างจากวิชาคณิตศาสตร์ไป เช่น วิธีหามุมประชิดด้วยค่ามุมหลัก เป็นต้น งานนี้เรียบง่าย แต่อาจแก้ไขได้ยากเนื่องจากไม่รู้ว่ามุมใดเรียกว่าด้านประชิดและจะหาได้อย่างไร

มาดูคำจำกัดความและคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกันอย่างละเอียดยิ่งขึ้น รวมถึงวิธีคำนวณจากข้อมูลในปัญหา

ความหมายและคุณสมบัติของมุมที่อยู่ติดกัน

รังสีสองเส้นที่เปล่งออกมาจากจุดเดียวกันทำให้เกิดรูปร่างที่เรียกว่า "มุมแบน" ในกรณีนี้ จุดนี้เรียกว่าจุดยอดของมุม และรังสีเป็นด้านข้าง หากรังสีหนึ่งเคลื่อนที่ต่อไปไกลกว่าจุดเริ่มต้นตามแนวเส้นตรง ก็จะเกิดอีกมุมหนึ่งซึ่งเรียกว่าอยู่ประชิด แต่ละมุมในกรณีนี้มีมุมประชิดสองมุม เนื่องจากด้านของมุมเท่ากัน นั่นคือมีมุมประชิด 180 องศาเสมอ

คุณสมบัติหลักของมุมที่อยู่ติดกัน ได้แก่

• มุมที่อยู่ติดกันมีจุดยอดทั่วไปและด้านหนึ่ง
• ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ หรือ pi หากการคำนวณเป็นเรเดียน
• ไซน์ของมุมประชิดจะเท่ากันเสมอ
• โคไซน์และแทนเจนต์ของมุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน

วิธีหามุมที่อยู่ติดกัน

โดยปกติแล้วจะมีการกำหนดรูปแบบปัญหาสามแบบในการค้นหาค่าของมุมที่อยู่ติดกัน

• ค่าของมุมหลักจะได้รับ
• กำหนดอัตราส่วนของมุมหลักและมุมประชิด
• ค่าของมุมแนวตั้งจะได้รับ

ปัญหาแต่ละรุ่นมีวิธีแก้ไขของตัวเอง ลองพิจารณาพวกเขา

ให้ค่าของมุมหลัก

หากค่าของมุมหลักถูกระบุในปัญหา การหามุมที่อยู่ติดกันนั้นง่ายมาก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะลบค่าของมุมหลักออกจาก 180 องศา และคุณจะได้ค่าของมุมที่อยู่ติดกัน คำตอบนี้มาจากคุณสมบัติของมุมประชิด - ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันจะเท่ากับ 180 องศาเสมอ

หากค่าของมุมหลักถูกกำหนดเป็นเรเดียนและในปัญหาจำเป็นต้องค้นหามุมที่อยู่ติดกันเป็นเรเดียน จำเป็นต้องลบค่าของมุมหลักออกจากจำนวน Pi เนื่องจากค่าของมุมเต็ม ของ 180 องศา เท่ากับจำนวน Pi

กำหนดอัตราส่วนของมุมหลักและมุมประชิด

ในปัญหานั้น สามารถกำหนดอัตราส่วนของมุมหลักและมุมประชิดแทนองศาและเรเดียนของขนาดของมุมหลักได้ ในกรณีนี้ สารละลายจะมีลักษณะเป็นสมการสัดส่วนดังนี้

1. เราแสดงสัดส่วนของสัดส่วนของมุมหลักเป็นตัวแปร "Y"
2. สัดส่วนที่เกี่ยวข้องกับมุมที่อยู่ติดกันจะแสดงเป็นตัวแปร "X"
3. จำนวนองศาที่ตรงกับแต่ละสัดส่วน เราแทน ตัวอย่างเช่น "a"
4. สูตรทั่วไปจะมีลักษณะดังนี้ - a*X+a*Y=180 หรือ a*(X+Y)=180
5. เราพบตัวประกอบร่วมของสมการ "a" โดยสูตร a=180/(X+Y)
6. จากนั้นเราจะคูณค่าที่ได้รับของตัวประกอบร่วม "a" ด้วยเศษส่วนของมุมที่ต้องการหาค่า

วิธีนี้เราสามารถหาค่าของมุมประชิดเป็นองศาได้ อย่างไรก็ตาม หากคุณต้องการหาค่าเป็นเรเดียน คุณเพียงแค่ต้องแปลงองศาเป็นเรเดียน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณมุมเป็นองศาด้วย pi แล้วหารด้วย 180 องศา ค่าที่ได้จะเป็นเรเดียน

จากค่าของมุมแนวตั้ง

หากค่าของมุมหลักไม่ได้ระบุในปัญหา แต่ให้ค่าของมุมแนวตั้ง มุมที่อยู่ติดกันสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเดียวกับในย่อหน้าแรกซึ่งให้ค่าของมุมหลัก .

มุมแนวตั้งคือมุมที่มาจากจุดเดียวกับมุมหลัก แต่ในขณะเดียวกันมุมแนวตั้งก็มีทิศทางตรงกันข้าม ส่งผลให้ภาพสะท้อน ซึ่งหมายความว่ามุมแนวตั้งมีขนาดเท่ากับมุมหลัก ในทางกลับกัน มุมประชิดของมุมแนวตั้งจะเท่ากับมุมประชิดของมุมหลัก ด้วยเหตุนี้จึงสามารถคำนวณมุมที่อยู่ติดกันของมุมหลักได้ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เพียงแค่ลบค่าของแนวตั้งออกจาก 180 องศา แล้วหาค่าของมุมประชิดของมุมหลักเป็นองศา

หากค่าที่กำหนดเป็นเรเดียน จำเป็นต้องลบค่าของมุมแนวตั้งออกจากตัวเลข Pi เนื่องจากค่าของมุมเต็ม 180 องศาจะเท่ากับจำนวน Pi

คุณยังสามารถอ่านบทความที่เป็นประโยชน์ของเราและ

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับมุม

ให้เราได้รับรังสีตามอำเภอใจสองอัน มาวางทับกัน แล้ว

คำจำกัดความ 1

มุมคือชื่อที่กำหนดให้กับรังสีสองเส้นที่มีต้นกำเนิดเดียวกัน

คำจำกัดความ 2

จุดซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของรังสีภายในกรอบคำจำกัดความ 3 เรียกว่าจุดยอดของมุมนี้

มุมจะแสดงด้วยจุดสามจุดต่อไปนี้: จุดยอด จุดบนรังสีหนึ่ง และจุดบนรังสีอื่น โดยจุดยอดของมุมเขียนไว้ตรงกลางของการกำหนด (รูปที่ 1)

ทีนี้ลองมานิยามว่าค่าของมุมคืออะไร

ในการทำเช่นนี้คุณต้องเลือกมุม "อ้างอิง" ซึ่งเราจะใช้เป็นหน่วย บ่อยครั้ง มุมดังกล่าวเป็นมุมที่เท่ากับ $\frac(1)(180)$ ของส่วนหนึ่งของมุมตรง ค่านี้เรียกว่าดีกรี หลังจากเลือกมุมดังกล่าวแล้ว เราจะเปรียบเทียบมุมกับมุมที่ต้องการหาค่าของมัน

มุมมี 4 ประเภท:

คำจำกัดความ 3

มุมจะเรียกว่ามุมแหลม หากมีค่าน้อยกว่า $90^0$

คำจำกัดความ 4

มุมเรียกว่าป้านถ้ามันมากกว่า $90^0$

คำจำกัดความ 5

มุมจะเรียกว่าเส้นตรงถ้ามันเท่ากับ $180^0$

คำจำกัดความ 6

มุมจะเรียกว่ามุมฉากถ้ามันเท่ากับ $90^0$

นอกเหนือจากประเภทของมุมดังกล่าว ซึ่งได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว ยังสามารถแยกแยะประเภทของมุมที่มีความสัมพันธ์ซึ่งกันและกัน ได้แก่ มุมแนวตั้งและมุมที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกัน

พิจารณามุมตรง $COB$ วาดรังสี $OA$ จากจุดยอดของมัน รังสีนี้จะแบ่งมุมเดิมออกเป็นสองมุม แล้ว

คำจำกัดความ 7

มุมสองมุมจะถูกเรียกว่าประชิดถ้าด้านหนึ่งเป็นมุมตรง และอีกคู่หนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกัน (รูปที่ 2)

ในกรณีนี้ มุม $COA$ และ $BOA$ อยู่ติดกัน

ทฤษฎีบท 1

ผลรวมของมุมประชิดคือ $180^0$

การพิสูจน์.

พิจารณารูปที่ 2

ตามคำจำกัดความ 7 มุม $COB$ ในมุมนั้นจะเท่ากับ $180^0$ เนื่องจากด้านคู่ที่สองของมุมประชิดติดกัน ดังนั้นรังสี $OA$ จะหารมุมตรงด้วย 2 ดังนั้น

$∠COA+∠BOA=180^0$

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

พิจารณาวิธีแก้ปัญหาโดยใช้แนวคิดนี้

ตัวอย่างที่ 1

หามุม $C$ จากรูปด้านล่าง

ตามคำจำกัดความที่ 7 เราพบว่ามุม $BDA$ และ $ADC$ อยู่ติดกัน ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 1 เราจะได้

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

โดยทฤษฎีบทเกี่ยวกับผลรวมของมุมในรูปสามเหลี่ยม จะได้

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

คำตอบ: $40^0$

มุมแนวตั้ง

พิจารณามุมที่พัฒนาแล้ว $AOB$ และ $MOC$ ให้จุดยอดตรงกัน (นั่นคือ ใส่จุด $O"$ ที่จุด $O$) เพื่อไม่ให้ด้านใดด้านหนึ่งของมุมตรงกัน จากนั้น

คำจำกัดความ 8

มุมสองมุมจะเรียกว่าแนวตั้งหากคู่ของด้านข้างเป็นมุมตรงและมีค่าเท่ากัน (รูปที่ 3)

ในกรณีนี้ มุม $MOA$ และ $BOC$ จะเป็นแนวตั้ง และมุม $MOB$ และ $AOC$ จะเป็นแนวตั้งด้วย

ทฤษฎีบท 2

มุมแนวตั้งมีค่าเท่ากัน

การพิสูจน์.

ลองพิจารณารูปที่ 3 มาพิสูจน์กัน ตัวอย่างเช่น มุม $MOA$ เท่ากับมุม $BOC$

มุมสองมุมเรียกว่าด้านประชิดหากมีด้านหนึ่งร่วมกันและด้านอื่น ๆ ของมุมเหล่านี้เป็นรังสีประกอบ ในรูปที่ 20 มุม AOB และ BOC อยู่ติดกัน

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

ทฤษฎีบทที่ 1 ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

การพิสูจน์. ลำแสง OB (ดูรูปที่ 1) ผ่านระหว่างด้านข้างของมุมที่พัฒนาแล้ว นั่นเป็นเหตุผลที่ ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

จากทฤษฎีบท 1 ตามทฤษฎีบทที่ 1 ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ประชิดมุมทั้งสองจะเท่ากัน

มุมแนวตั้งเท่ากัน

มุมสองมุมเรียกว่าแนวตั้งถ้าด้านหนึ่งของมุมหนึ่งเป็นรังสีประกอบของอีกด้านหนึ่ง มุม AOB และ COD, BOD และ AOC ซึ่งเกิดขึ้นที่จุดตัดของเส้นตรงสองเส้นนั้นเป็นแนวตั้ง (รูปที่ 2)

ทฤษฎีบทที่ 2 มุมแนวตั้งเท่ากัน

การพิสูจน์. พิจารณามุมแนวตั้ง AOB และ COD (ดูรูปที่ 2) มุม BOD อยู่ติดกับแต่ละมุม AOB และ COD ตามทฤษฎีบท 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า ∠ AOB = ∠ COD

ข้อพิสูจน์ 1. มุมประชิดมุมฉากคือมุมฉาก

พิจารณาเส้นตรงสองเส้นตัดกัน AC และ BD (รูปที่ 3) พวกมันก่อตัวเป็นสี่มุม หากหนึ่งในนั้นถูกต้อง (มุม 1 ในรูปที่ 3) อีกมุมหนึ่งก็จะถูกเช่นกัน (มุม 1 และ 2, 1 และ 4 อยู่ติดกัน มุม 1 และ 3 เป็นแนวตั้ง) ในกรณีนี้ เส้นเหล่านี้เรียกว่าตัดกันที่มุมฉากและเรียกว่าตั้งฉาก (หรือตั้งฉากร่วมกัน) ความตั้งฉากของเส้น AC และ BD แสดงดังนี้: AC ⊥ BD

เส้นแบ่งครึ่งแนวตั้งฉากของส่วนเป็นเส้นตั้งฉากกับส่วนนี้และผ่านจุดกึ่งกลาง

AN - ตั้งฉากกับเส้น

พิจารณาเส้น a และจุด A ที่ไม่อยู่บนเส้นนั้น (รูปที่ 4) เชื่อมต่อจุด A กับส่วนไปยังจุด H ด้วยเส้นตรง a ส่วน AH เรียกว่าเส้นตั้งฉากที่ลากจากจุด A ไปยังเส้น a ถ้าเส้น AN และ a ตั้งฉาก จุด H เรียกว่าฐานตั้งฉาก

วาดสี่เหลี่ยม

ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง

ทฤษฎีบทที่ 3 จากจุดใดก็ตามที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรง เราสามารถวาดเส้นตั้งฉากกับเส้นนี้ได้ และยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ในการวาดเส้นตั้งฉากจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงในภาพวาด จะใช้สี่เหลี่ยมรูปวาด (รูปที่ 5)

ความคิดเห็น คำสั่งของทฤษฎีบทมักจะประกอบด้วยสองส่วน ส่วนหนึ่งพูดถึงสิ่งที่ได้รับ ส่วนนี้เรียกว่าเงื่อนไขของทฤษฎีบท ส่วนอื่น ๆ พูดถึงสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ส่วนนี้เรียกว่าบทสรุปของทฤษฎีบท ตัวอย่างเช่น เงื่อนไขของทฤษฎีบท 2 คือมุมแนวตั้ง ข้อสรุป - มุมเหล่านี้เท่ากัน

ทฤษฎีบทใดๆ สามารถแสดงรายละเอียดเป็นคำพูดได้ โดยเงื่อนไขจะขึ้นต้นด้วยคำว่า "ถ้า" และลงท้ายด้วยคำว่า "แล้ว" ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบท 2 สามารถระบุรายละเอียดได้ดังนี้: "ถ้ามุมสองมุมเป็นแนวตั้ง มุมทั้งสองจะเท่ากัน"

ตัวอย่างที่ 1หนึ่งในมุมที่อยู่ติดกันคือ 44° อื่น ๆ เท่ากับอะไร?

สารละลาย. แสดงถึงการวัดองศาของอีกมุมหนึ่งด้วย x จากนั้นตามทฤษฎีบท 1
44° + x = 180°
การแก้สมการผลลัพธ์ เราพบว่า x \u003d 136 ° ดังนั้นอีกมุมหนึ่งคือ 136°

ตัวอย่าง 2ให้มุม COD ในรูปที่ 21 เป็น 45 ° มุม AOB และ AOC คืออะไร?

สารละลาย. มุม COD และ AOB เป็นแนวตั้ง ดังนั้นตามทฤษฎีบท 1.2 จะเท่ากัน นั่นคือ ∠ AOB = 45° มุม AOC อยู่ประชิดมุม COD ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 1
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°

ตัวอย่างที่ 3หามุมประชิดกันถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็น 3 คูณด้วยอีกมุมหนึ่ง

สารละลาย. แสดงถึงการวัดองศาของมุมที่เล็กกว่าด้วย x จากนั้นการวัดองศาของมุมที่ใหญ่กว่าจะเป็น Zx เนื่องจากผลรวมของมุมประชิดคือ 180° (ทฤษฎีบท 1) ดังนั้น x + 3x = 180° ดังนั้น x = 45°
ดังนั้นมุมที่อยู่ติดกันคือ 45° และ 135°

ตัวอย่างที่ 4ผลรวมของมุมแนวตั้งสองมุมคือ 100° หาค่าของมุมทั้งสี่แต่ละมุม

สารละลาย. ให้รูปที่ 2 สอดคล้องกับเงื่อนไขของปัญหา มุมแนวตั้ง COD ถึง AOB เท่ากัน (ทฤษฎีบท 2) ซึ่งหมายความว่าการวัดระดับของพวกมันเท่ากัน ดังนั้น ∠ COD = ∠ AOB = 50° (ผลรวมของมันคือ 100° ตามเงื่อนไข) มุม BOD (เช่น มุม AOC) อยู่ติดกับมุม COD ดังนั้น โดยทฤษฎีบท 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°

จากนี้มี. ถ้ามุมสองมุมเป็นมุมประชิดและเท่ากันในเวลาเดียวกัน พวกมันก็คือมุมฉาก หากมุมประชิดมุมใดมุมหนึ่งถูกต้อง นั่นคือ 90 องศา อีกมุมหนึ่งก็จะเป็นมุมขวาด้วย หากมุมที่อยู่ติดกันมุมหนึ่งแหลม อีกมุมหนึ่งจะเป็นมุมป้าน ในทำนองเดียวกัน ถ้ามุมใดมุมหนึ่งเป็นมุมป้าน มุมที่สองก็จะแหลมตามลำดับ

มุมแหลมคือมุมที่มีการวัดน้อยกว่า 90 องศา แต่มากกว่า 0 มุมป้านมีการวัดที่มากกว่า 90 องศา แต่น้อยกว่า 180

คุณสมบัติอื่นของมุมที่อยู่ติดกันมีสูตรดังนี้: ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน มุมที่อยู่ติดกันก็จะเท่ากัน นั่นคือถ้ามีมุมสองมุมที่วัดองศาเหมือนกัน (เช่น 50 องศา) และในเวลาเดียวกันมุมหนึ่งมีมุมที่อยู่ติดกันค่าของมุมที่อยู่ติดกันเหล่านี้ เหมือนกัน (ในตัวอย่าง การวัดระดับของพวกเขาจะเท่ากับ 130 องศา)

ที่มา:

• พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่ - มุมที่อยู่ติดกัน
• มุม 180 องศา

คำว่า "" มีการตีความต่างๆ ในเรขาคณิต มุมเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรังสีสองเส้นที่ออกมาจากจุดหนึ่ง - จุดยอด เมื่อพูดถึงมุมที่ตรง คมชัด ได้รับการพัฒนา มุมเรขาคณิตที่มีความหมาย

เช่นเดียวกับรูปร่างอื่นๆ ในเรขาคณิต สามารถเปรียบเทียบมุมได้ ความเท่าเทียมกันของมุมถูกกำหนดโดยการเคลื่อนไหว มุมนั้นง่ายต่อการแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน การแบ่งสามส่วนนั้นยากขึ้นเล็กน้อย แต่ก็ยังสามารถทำได้ด้วยไม้บรรทัดและเข็มทิศ อย่างไรก็ตาม งานนี้ดูเหมือนค่อนข้างยาก เป็นการง่ายทางเรขาคณิตที่จะอธิบายว่ามุมหนึ่งมีค่าหรือน้อยกว่าอีกมุมหนึ่ง

หน่วยวัดมุมคือ 1/180