ค่าคงที่ Boltzmann และความหมายทางกายภาพ ค่าคงที่ Boltzmann

ค่าคงที่ของ Boltzmann (k (\displaystyle k)หรือ k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) เป็นค่าคงที่ทางกายภาพที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ลุดวิก โบลซ์มันน์ ผู้มีส่วนสำคัญในวิชาฟิสิกส์สถิติ ซึ่งค่าคงที่นี้มีบทบาทสำคัญ ค่าของมันในระบบสากลของหน่วย SI ตามการเปลี่ยนแปลงในคำจำกัดความของหน่วย SI พื้นฐาน (2018) เท่ากับ

k = 1.380 649 × 10 − 23 (\displaystyle k=1(,)380\,649\times 10^(-23))เจ / .

ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน

ในก๊าซอุดมคติที่เป็นเนื้อเดียวกันที่อุณหภูมิสัมบูรณ์ T (\รูปแบบการแสดงผล T)พลังงานต่อระดับความเป็นอิสระของการแปลเป็นดังนี้จากการแจกแจงของแมกซ์เวลล์ kT / 2 (\displaystyle kT/2). ที่อุณหภูมิห้อง (300 ) พลังงานนี้คือ 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J หรือ 0.013 eV ในก๊าซอุดมคติเชิงเดี่ยว อะตอมแต่ละอะตอมมีระดับอิสระสามระดับซึ่งสอดคล้องกับแกนอวกาศสามแกน ซึ่งหมายความว่าแต่ละอะตอมมีพลังงานอยู่ใน 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

เมื่อทราบพลังงานความร้อนแล้ว เราสามารถคำนวณความเร็วอะตอมเฉลี่ยฐานสอง ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับรากที่สองของมวลอะตอม ความเร็วเฉลี่ยรากของรากที่อุณหภูมิห้องแตกต่างกันไปจาก 1370 m/s สำหรับฮีเลียมถึง 240 m/s สำหรับซีนอน ในกรณีของก๊าซโมเลกุล สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ก๊าซไดอะตอมมีอิสระ 5 องศา - 3 การแปลและการหมุน 2 รอบ (ที่อุณหภูมิต่ำ เมื่อการสั่นสะเทือนของอะตอมในโมเลกุลไม่ตื่นเต้นและองศาเพิ่มเติมของ ไม่เพิ่มเสรีภาพ)

ความหมายของเอนโทรปี

เอนโทรปีของระบบอุณหพลศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนของไมโครสเตตที่แตกต่างกัน Z (\displaystyle Z)สอดคล้องกับสถานะมหภาคที่กำหนด (เช่น สถานะที่มีพลังงานทั้งหมดที่กำหนด)

S = k บันทึก ⁡ Z . (\displaystyle S=k\ln Z.)

ปัจจัยสัดส่วน k (\displaystyle k)และเป็นค่าคงที่โบลต์ซมันน์ เป็นนิพจน์ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกล้องจุลทรรศน์ ( Z (\displaystyle Z)) และสถานะมหภาค ( S (\displaystyle S)) เป็นการแสดงออกถึงแนวคิดหลักของกลศาสตร์สถิติ

วางแผน:

บทนำ

• 1 ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน
• 2 ความหมายของเอนโทรปี
หมายเหตุ

บทนำ

ค่าคงที่ Boltzmann (kหรือ k B ) เป็นค่าคงที่ทางกายภาพที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน ได้รับการตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย Ludwig Boltzmann ผู้ซึ่งมีส่วนสนับสนุนอย่างมากในด้านฟิสิกส์สถิติ ซึ่งค่าคงที่นี้มีบทบาทสำคัญ ค่าการทดลองในระบบ SI คือ

เจ/เค .

ตัวเลขในวงเล็บแสดงถึงข้อผิดพลาดมาตรฐานในหลักสุดท้ายของค่า ค่าคงที่ของ Boltzmann ได้มาจากคำจำกัดความของอุณหภูมิสัมบูรณ์และค่าคงที่ทางกายภาพอื่นๆ อย่างไรก็ตาม การคำนวณค่าคงที่ Boltzmann โดยใช้หลักการพื้นฐานนั้นซับซ้อนเกินไปและเป็นไปไม่ได้ด้วยระดับความรู้ในปัจจุบัน ในระบบหน่วยธรรมชาติของพลังค์ หน่วยอุณหภูมิตามธรรมชาติถูกกำหนดในลักษณะที่ค่าคงที่โบลซ์มันน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

ค่าคงที่ก๊าซสากลถูกกำหนดเป็นผลคูณของค่าคงที่ Boltzmann และหมายเลข Avogadro R = kนู๋อา. ค่าคงที่ของแก๊สจะสะดวกกว่าเมื่อให้จำนวนอนุภาคเป็นโมล

1. ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน

ในก๊าซอุดมคติที่เป็นเนื้อเดียวกันที่อุณหภูมิสัมบูรณ์ ตู่พลังงานต่อระดับความเป็นอิสระของการแปลเป็นดังนี้จากการแจกแจงของแมกซ์เวลล์ kตู่/ 2 . ที่อุณหภูมิห้อง (300 K) พลังงานนี้คือ J หรือ 0.013 eV ในก๊าซอุดมคติเชิงเดี่ยว แต่ละอะตอมมีระดับอิสระสามระดับซึ่งสอดคล้องกับแกนอวกาศสามแกน ซึ่งหมายความว่าแต่ละอะตอมมีพลังงานใน

เมื่อทราบพลังงานความร้อนแล้ว เราสามารถคำนวณความเร็วอะตอมเฉลี่ยฐานสอง ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับรากที่สองของมวลอะตอม ความเร็ว rms ที่อุณหภูมิห้องแตกต่างกันไปตั้งแต่ 1370 m/s สำหรับฮีเลียม ถึง 240 m/s สำหรับซีนอน ในกรณีของก๊าซโมเลกุล สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ก๊าซไดอะตอมมิกมีระดับความเป็นอิสระประมาณห้าองศาแล้ว

2. ความหมายของเอนโทรปี

เอนโทรปีของระบบอุณหพลศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนของไมโครสเตตที่แตกต่างกัน Zสอดคล้องกับสถานะมหภาคที่กำหนด (เช่น สถานะที่มีพลังงานทั้งหมดที่กำหนด)

ส = k ln Z.

ปัจจัยสัดส่วน kและเป็นค่าคงที่โบลต์ซมันน์ เป็นนิพจน์ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกล้องจุลทรรศน์ ( Z) และสถานะมหภาค ( ส) เป็นการแสดงออกถึงแนวคิดหลักของกลศาสตร์สถิติ

หมายเหตุ

1. 1 2 3 http://physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt - Physics.nist.gov/cuu/Constants/Table/allascii.txt ค่าคงที่ทางกายภาพพื้นฐาน - รายการที่สมบูรณ์

ดาวน์โหลด
บทคัดย่อนี้อ้างอิงจากบทความจาก Wikipedia ของรัสเซีย การซิงโครไนซ์เสร็จสมบูรณ์ 07/10/11 01:04:29
บทคัดย่อที่คล้ายกัน:

ค่าคงที่ของ Boltzmann ($k$หรือ $k\_(\backslash rm\; B)$) เป็นค่าคงที่ทางกายภาพที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ลุดวิก โบลซ์มันน์ ผู้มีส่วนสำคัญในวิชาฟิสิกส์สถิติ ซึ่งค่าคงที่นี้มีบทบาทสำคัญ ค่าการทดลองในระบบสากลของหน่วย (SI) คือ:

$k=1(,)380\backslash ,648\backslash ,52(79)\backslash times\; 10^(-23)$เจ / .

ตัวเลขในวงเล็บแสดงถึงข้อผิดพลาดมาตรฐานในหลักสุดท้ายของค่า ในระบบหน่วยธรรมชาติของพลังค์ หน่วยอุณหภูมิตามธรรมชาติถูกกำหนดในลักษณะที่ค่าคงที่โบลซ์มันน์มีค่าเท่ากับหนึ่ง

ความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงาน

ในก๊าซอุดมคติที่เป็นเนื้อเดียวกันที่อุณหภูมิสัมบูรณ์ $ตู่$พลังงานต่อระดับความเป็นอิสระของการแปลเป็นดังนี้จากการแจกแจงของแมกซ์เวลล์ $kT/2$. ที่อุณหภูมิห้อง (300 ) พลังงานนี้คือ $2(,)07\backslash ครั้ง\; 10^(-21)$ J หรือ 0.013 eV ในก๊าซอุดมคติเชิงเดี่ยว อะตอมแต่ละอะตอมมีระดับอิสระสามระดับซึ่งสอดคล้องกับแกนอวกาศสามแกน ซึ่งหมายความว่าแต่ละอะตอมมีพลังงานอยู่ใน $\backslash frac\; 3\; 2\; kT$.

เมื่อทราบพลังงานความร้อนแล้ว เราสามารถคำนวณความเร็วอะตอมเฉลี่ยฐานสอง ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับรากที่สองของมวลอะตอม ความเร็วเฉลี่ยรากของรากที่อุณหภูมิห้องแตกต่างกันไปจาก 1370 m/s สำหรับฮีเลียมถึง 240 m/s สำหรับซีนอน ในกรณีของก๊าซโมเลกุล สถานการณ์จะซับซ้อนมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ก๊าซไดอะตอมมีอิสระห้าองศา (ที่อุณหภูมิต่ำ เมื่อการสั่นสะเทือนของอะตอมในโมเลกุลไม่ตื่นเต้น)

ความหมายของเอนโทรปี

เอนโทรปีของระบบอุณหพลศาสตร์ถูกกำหนดให้เป็นลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนของไมโครสเตตที่แตกต่างกัน $Z$สอดคล้องกับสถานะมหภาคที่กำหนด (เช่น สถานะที่มีพลังงานทั้งหมดที่กำหนด)

$S=k\backslash lnZ.$

ปัจจัยสัดส่วน $k$และเป็นค่าคงที่โบลต์ซมันน์ เป็นนิพจน์ที่กำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกล้องจุลทรรศน์ ( $Z$) และสถานะมหภาค ( $ส$) เป็นการแสดงออกถึงแนวคิดหลักของกลศาสตร์สถิติ

สมมติค่าแก้ไข

การประชุมใหญ่สามัญเรื่องน้ำหนักและการวัดครั้งที่ XXIV ซึ่งจัดขึ้นเมื่อวันที่ 17-21 ตุลาคม พ.ศ. 2554 ได้มีมติเห็นชอบโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีการเสนอให้แก้ไขระบบหน่วยสากลในอนาคตในลักษณะที่จะกำหนดมูลค่าของ ค่าคงที่ Boltzmann หลังจากนั้นจะถือว่าแน่นอน อย่างแน่นอน. เป็นผลให้มันจะทำงาน ที่แน่นอนความเท่าเทียมกัน k\u003d 1.380 6X 10 −23 J / K. การตรึงที่ถูกกล่าวหาดังกล่าวเกี่ยวข้องกับความปรารถนาที่จะกำหนดหน่วยของอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ใหม่ นั่นคือ เคลวิน โดยเชื่อมโยงค่าของมันกับค่าของค่าคงที่โบลต์ซมันน์

ดูสิ่งนี้ด้วย

เขียนรีวิวเกี่ยวกับบทความ "ค่าคงที่ของ Boltzmann"

หมายเหตุ

บทความนี้ในเทอร์โมไดนามิกส์และฟิสิกส์สถิติยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยโครงการโดยเพิ่มเข้าไป

ข้อความที่ตัดตอนมาซึ่งแสดงลักษณะเฉพาะของค่าคงที่ Boltzmann

“แต่นั่นหมายความว่าอย่างไร? นาตาชาพูดอย่างครุ่นคิด
“อ่า ฉันไม่รู้ว่าทั้งหมดนี้มันวิเศษแค่ไหน! ซอนย่าพูดพร้อมเอามือกุมหัวไว้
ไม่กี่นาทีต่อมา เจ้าชายอังเดรโทรมา และนาตาชาก็เข้าไปหาเขา และ Sonya ที่ประสบกับความรู้สึกตื่นเต้นและความอ่อนโยนที่เธอไม่เคยสัมผัสมาก่อน ยังคงอยู่ที่หน้าต่าง ไตร่ตรองถึงความแปลกประหลาดของสิ่งที่เกิดขึ้น
ในวันนี้มีโอกาสที่จะส่งจดหมายถึงกองทัพและเคาน์เตสเขียนจดหมายถึงลูกชายของเธอ
“ Sonya” เคาน์เตสพูด เงยหน้าขึ้นจากจดหมายของเธอขณะที่หลานสาวของเธอเดินผ่านเธอ - Sonya คุณจะเขียนถึง Nikolenka หรือไม่? เคาน์เตสพูดด้วยเสียงที่เงียบและสั่น และในแววตาที่เหนื่อยล้าของเธอ มองผ่านแว่น Sonya อ่านทุกอย่างที่เคาน์เตสหมายถึงคำพูดเหล่านี้ รูปลักษณ์นี้แสดงทั้งคำอธิษฐานและความกลัวการปฏิเสธ และความละอายกับสิ่งที่ต้องถาม และความพร้อมสำหรับความเกลียดชังที่ไม่สามารถประนีประนอมในกรณีที่ถูกปฏิเสธ
Sonya ขึ้นไปหาคุณหญิงแล้วคุกเข่าจูบมือของเธอ
“ฉันจะเขียนแม่” เธอกล่าว
Sonya รู้สึกผ่อนคลาย ตื่นเต้น และประทับใจกับทุกสิ่งที่เกิดขึ้นในวันนั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทำนายลึกลับที่เธอเพิ่งเห็น ตอนนี้เธอรู้ว่าเนื่องในโอกาสที่ความสัมพันธ์ระหว่างนาตาชาและเจ้าชายอังเดรกลับมาเริ่มต้นใหม่ นิโคไลไม่สามารถแต่งงานกับเจ้าหญิงมารีอาได้ เธอรู้สึกยินดีที่การกลับมาของอารมณ์การเสียสละซึ่งเธอรักและเคยมีชีวิตอยู่กลับคืนมา และด้วยน้ำตาในดวงตาของเธอและด้วยความปิติยินดีในสำนึกในการกระทำที่ใจกว้างเธอถูกขัดจังหวะหลายครั้งด้วยน้ำตาที่ทำให้ดวงตาสีดำนุ่มของเธอขุ่นมัวเขียนจดหมายที่สัมผัสได้ซึ่งใบเสร็จรับเงินที่นิโคไลประทับใจ

ในป้อมยามที่ปิแอร์ถูกจับ เจ้าหน้าที่และทหารที่รับตัวไปปฏิบัติต่อเขาด้วยความเกลียดชัง แต่ในขณะเดียวกันก็แสดงความเคารพ คนๆ หนึ่งยังคงรู้สึกได้ถึงทัศนคติที่พวกเขามีต่อเขา ทั้งสงสัยว่าเขาเป็นใคร (ไม่ใช่บุคคลที่สำคัญมาก) และความเกลียดชังเนื่องจากการต่อสู้ส่วนตัวที่สดใหม่กับเขา
แต่เมื่อเช้าของอีกวัน กะมาถึง ปิแอร์รู้สึกว่าสำหรับผู้พิทักษ์ใหม่ - สำหรับเจ้าหน้าที่และทหาร - เขาไม่มีความหมายที่เขามีต่อผู้ที่จับตัวเขาอีกต่อไป และที่จริงแล้ว ในชายร่างใหญ่อ้วนคนนี้ในคาฟตันของชาวนา ยามเมื่อก่อนไม่เห็นคนมีชีวิตที่ต่อสู้อย่างสิ้นหวังกับโจรปล้นสะดมและทหารคุ้มกัน และกล่าวถ้อยคำเคร่งขรึมเกี่ยวกับการช่วยชีวิตเด็ก แต่พวกเขาก็เห็น มีเพียงสิบเจ็ดคนที่ถูกจับกุมด้วยเหตุผลบางอย่างตามคำสั่งของเจ้าหน้าที่ระดับสูงที่รัสเซียยึดครอง หากมีอะไรพิเศษเกี่ยวกับปิแอร์ ก็แค่หน้าตาที่ขี้อาย จดจ่อ ครุ่นคิด และภาษาฝรั่งเศส ซึ่งเขาพูดได้ดีสำหรับชาวฝรั่งเศสอย่างน่าประหลาดใจ แม้จะมีข้อเท็จจริงว่าในวันเดียวกันปิแอร์มีส่วนเกี่ยวข้องกับผู้ต้องสงสัยคนอื่น ๆ เนื่องจากเจ้าหน้าที่ต้องการห้องแยกต่างหากที่เขาครอบครอง
รัสเซียทั้งหมดที่อยู่กับปิแอร์เป็นคนที่มีตำแหน่งต่ำที่สุด และพวกเขาทั้งหมดจำสุภาพบุรุษในปิแอร์ได้รังเกียจเขาโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเขาพูดภาษาฝรั่งเศส ปิแอร์ได้ยินการเยาะเย้ยตัวเองอย่างเศร้าใจ
วันรุ่งขึ้น ในตอนเย็น ปิแอร์ได้เรียนรู้ว่าผู้ต้องขังเหล่านี้ทั้งหมด (และอาจรวมถึงตัวเขาเองด้วย) จะต้องถูกดำเนินคดีในการลอบวางเพลิง ในวันที่สาม ปิแอร์ถูกพาตัวกับคนอื่นๆ ไปที่บ้านซึ่งมีนายพลชาวฝรั่งเศสที่มีหนวดขาว พันเอกสองคน และชายชาวฝรั่งเศสคนอื่นๆ ที่มีผ้าพันคอนั่งอยู่ ปิแอร์และคนอื่นๆ ถูกถามคำถามว่าเขาอยู่กับใคร ซึ่งถูกกล่าวหาว่าเกินจุดอ่อนของมนุษย์ ความถูกต้อง และความแน่นอน ซึ่งจำเลยมักจะได้รับการปฏิบัติ เขาอยู่ที่ไหน เพื่อจุดประสงค์อะไร? ฯลฯ
คำถามเหล่านี้ทิ้งแก่นแท้ของงานชีวิตและไม่รวมความเป็นไปได้ในการเปิดเผยสาระสำคัญนี้ เช่นเดียวกับคำถามทั้งหมดที่ถามในศาล มุ่งเป้าไปที่การแทนที่ร่องที่ผู้พิพากษาต้องการให้คำตอบของจำเลยไหลและนำเขาไปสู่เป้าหมายที่ต้องการเท่านั้น นั่นก็คือการกล่าวหา ทันทีที่เขาเริ่มพูดบางอย่างที่ไม่เป็นไปตามจุดประสงค์ของข้อกล่าวหา พวกเขาก็ยอมรับเสียงนั้น และน้ำก็สามารถไหลได้ทุกที่ที่ต้องการ นอกจากนี้ ปิแอร์ประสบในสิ่งเดียวกันกับที่จำเลยประสบในทุกศาล: ความสับสน ทำไมพวกเขาถึงถามคำถามเหล่านี้ทั้งหมดกับเขา เขารู้สึกว่ามันเป็นเพียงการดูถูกเหยียดหยามหรือตามมารยาทที่ใช้กลเม็ดของร่องทดแทนนี้ เขารู้ว่าเขาอยู่ในอำนาจของคนเหล่านี้ มีเพียงอำนาจเท่านั้นที่นำเขามาที่นี่ มีเพียงอำนาจเท่านั้นที่ให้สิทธิ์พวกเขาในการเรียกร้องคำตอบสำหรับคำถาม ว่าจุดประสงค์เดียวของการประชุมครั้งนี้คือการกล่าวหาเขา ดังนั้น เนื่องจากมีอำนาจและมีความปรารถนาที่จะกล่าวโทษ จึงไม่จำเป็นต้องมีคำถามและการพิจารณาคดี เห็นได้ชัดว่าคำตอบทั้งหมดต้องนำไปสู่ความรู้สึกผิด เมื่อถูกถามว่าเขากำลังทำอะไรตอนที่พาเขาไป ปิแอร์ตอบด้วยโศกนาฏกรรมว่าเขากำลังอุ้มลูกไปหาพ่อแม่ของเขา qu "il avait sauve des flammes [ผู้ที่เขาช่วยจากเปลวไฟ] - ทำไมเขาถึงต่อสู้กับโจร ปิแอร์ตอบว่าเขาปกป้องผู้หญิงคนหนึ่งว่าการคุ้มครองผู้หญิงที่ถูกทำร้ายเป็นหน้าที่ของผู้ชายทุกคนว่า... เขาถูกหยุด: มันไม่ได้ไปที่ประเด็น ทำไมเขาถึงอยู่ในลานบ้านบน ไฟไหม้ พยานเห็นเขาที่ไหน เขาตอบว่าเขากำลังไปดูสิ่งที่กำลังทำในมอสโก พวกเขาหยุดเขาอีกครั้ง พวกเขาไม่ได้ถามเขาว่าเขากำลังจะไปไหน แต่ทำไมเขาถึงอยู่ใกล้ไฟ เขาเป็นใคร พวกเขา ย้อนคำถามแรกที่เขาบอกว่าไม่อยากตอบ กลับตอบไปว่า พูดแบบนี้ไม่ได้

โบลซ์มันน์ ลุดวิก (ค.ศ. 1844-1906)- นักฟิสิกส์ชาวออสเตรียผู้ยิ่งใหญ่ หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีจลนพลศาสตร์ระดับโมเลกุล ในงานของ Boltzmann ทฤษฎีโมเลกุล-จลนพลศาสตร์ปรากฏตัวครั้งแรกในฐานะทฤษฎีทางกายภาพที่สอดคล้องกันอย่างมีเหตุผลและสอดคล้องกัน Boltzmann ให้การตีความทางสถิติของกฎข้อที่สองของอุณหพลศาสตร์ เขาได้ทำอะไรมากมายเพื่อพัฒนาและเผยแพร่ทฤษฎีสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของแมกซ์เวลล์ นักสู้โดยธรรมชาติ Boltzmann ปกป้องความจำเป็นในการตีความระดับโมเลกุลของปรากฏการณ์ความร้อนและใช้ความรุนแรงในการต่อสู้กับนักวิทยาศาสตร์ที่ปฏิเสธการมีอยู่ของโมเลกุล

สมการ (4.5.3) รวมถึงอัตราส่วนของค่าคงที่แก๊สสากล R สู่ค่าคงที่อโวกาโดร นู๋ อา . อัตราส่วนนี้จะเท่ากันสำหรับสารทั้งหมด มันถูกเรียกว่าค่าคงที่ Boltzmann เพื่อเป็นเกียรติแก่ L. Boltzmann หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีจลนพลศาสตร์ระดับโมเลกุล

ค่าคงที่ของ Boltzmann คือ:

สมการ (4.5.3) โดยคำนึงถึงค่าคงที่ Boltzmann เขียนดังนี้:

ความหมายทางกายภาพของค่าคงที่ Boltzmann

ในอดีต อุณหภูมิถูกนำมาใช้เป็นปริมาณเชิงอุณหพลศาสตร์ และได้มีการกำหนดหน่วยการวัดสำหรับอุณหภูมินั้น - องศา (ดู § 3.2) หลังจากสร้างความสัมพันธ์ระหว่างอุณหภูมิและพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุล จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าอุณหภูมิสามารถกำหนดเป็นพลังงานจลน์เฉลี่ยของโมเลกุลและแสดงเป็นจูลหรือเอิร์ก กล่าวคือ แทนที่จะเป็นปริมาณ ตู่ใส่ค่า ท*ดังนั้น

อุณหภูมิที่กำหนดจึงสัมพันธ์กับอุณหภูมิที่แสดงเป็นองศาดังนี้

ดังนั้นค่าคงที่ Boltzmann จึงถือได้ว่าเป็นปริมาณที่เกี่ยวข้องกับอุณหภูมิซึ่งแสดงเป็นหน่วยพลังงานโดยมีอุณหภูมิแสดงเป็นองศา

การพึ่งพาแรงดันแก๊สต่อความเข้มข้นของโมเลกุลและอุณหภูมิ

การแสดงออก อีจากความสัมพันธ์ (4.5.5) และแทนที่เป็นสูตร (4.4.10) เราได้รับนิพจน์ที่แสดงการพึ่งพาแรงดันแก๊สต่อความเข้มข้นของโมเลกุลและอุณหภูมิ:

จากสูตร (4.5.6) ที่ความดันและอุณหภูมิเท่ากัน ความเข้มข้นของโมเลกุลในก๊าซทั้งหมดจะเท่ากัน

นี่แสดงถึงกฎของอาโวกาโดร: ก๊าซที่มีปริมาตรเท่ากันที่อุณหภูมิและความดันเท่ากันมีจำนวนโมเลกุลเท่ากัน

พลังงานจลน์เฉลี่ยของการเคลื่อนที่เชิงแปลของโมเลกุลเป็นสัดส่วนโดยตรงกับอุณหภูมิสัมบูรณ์ ปัจจัยสัดส่วน- ค่าคงที่ของ Boltzmannk \u003d 10 -23 เจ / เค - ต้องจำ

§ 4.6. การกระจายแมกซ์เวลล์

ในหลายกรณี การรู้ค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอ ตัวอย่างเช่น การรู้ส่วนสูงเฉลี่ยของคนไม่สามารถวางแผนการผลิตเสื้อผ้าขนาดต่างๆ ได้ คุณจำเป็นต้องทราบจำนวนโดยประมาณของคนที่มีความสูงในช่วงเวลาหนึ่ง ในทำนองเดียวกัน สิ่งสำคัญคือต้องทราบจำนวนโมเลกุลที่มีความเร็วอื่นที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ย แมกซ์เวลล์เป็นคนแรกที่ค้นพบวิธีการกำหนดตัวเลขเหล่านี้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม

ใน §4.1 เราได้กล่าวไปแล้วว่า J. Maxwell ได้นำเสนอแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นเพื่ออธิบายพฤติกรรมของโมเลกุลชุดใหญ่

ตามหลักการแล้ว มันเป็นไปไม่ได้ที่จะติดตามการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว (หรือโมเมนตัม) ของโมเลกุลหนึ่งในช่วงเวลาที่ยาวนาน นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดความเร็วของโมเลกุลก๊าซทั้งหมดอย่างแม่นยำในเวลาที่กำหนด จากสภาพมหภาคที่ก๊าซตั้งอยู่ (ปริมาตรและอุณหภูมิที่แน่นอน) ค่าบางอย่างของความเร็วของโมเลกุลไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตาม ความเร็วของโมเลกุลถือได้ว่าเป็นตัวแปรสุ่ม ซึ่งภายใต้สภาวะมหภาคสามารถรับค่าต่างๆ ได้ เช่นเดียวกับการโยนลูกเต๋า จำนวนจุดใดก็ได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 (จำนวนใบหน้าของลูกเต๋าคือ 6) สามารถหลุดออกมาได้ เป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายจำนวนแต้มที่จะหลุดออกจากการโยนลูกเต๋า แต่ความน่าจะเป็นที่จะกลิ้ง กล่าวคือ ห้าแต้มสามารถป้องกันได้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มเกิดขึ้นคืออะไร? ให้มีการผลิตจำนวนมาก นู๋การทดสอบ (นู๋ คือจำนวนม้วนของแม่พิมพ์) ในขณะเดียวกัน ใน นู๋" กรณีที่ผลการทดสอบออกมาเป็นที่น่าพอใจ (เช่น แพ้ 5 ครั้ง) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้จะเท่ากับอัตราส่วนของจำนวนคดีที่มีผลดีต่อจำนวนการทดลองทั้งหมด โดยมีเงื่อนไขว่าจำนวนนี้จะมากตามอำเภอใจ:

สำหรับการดายสมมาตร ความน่าจะเป็นของจำนวนแต้มที่เลือกตั้งแต่ 1 ถึง 6 คือ

เราเห็นว่าเมื่อเทียบกับพื้นหลังของเหตุการณ์สุ่มจำนวนมาก รูปแบบเชิงปริมาณบางอย่างถูกเปิดเผย ตัวเลขปรากฏขึ้น ตัวเลขนี้ - ความน่าจะเป็น - ให้คุณคำนวณค่าเฉลี่ย ดังนั้น หากคุณโยนลูกเต๋า 300 ครั้ง จำนวนเฉลี่ยของการโยนห้าครั้ง ตามสูตร (4.6.1) จะเท่ากับ: 300 = 50 และไม่แยแสกับการโยนลูกเต๋าเดียวกัน 300 ครั้งหรือพร้อมกัน 300 ลูกเต๋าเหมือนกัน

ไม่ต้องสงสัยเลยว่าพฤติกรรมของโมเลกุลของแก๊สในภาชนะนั้นซับซ้อนกว่าการเคลื่อนที่ของลูกเต๋า แต่ถึงแม้ที่นี่ เราอาจหวังว่าจะค้นพบความสม่ำเสมอเชิงปริมาณบางอย่างที่ทำให้สามารถคำนวณค่าเฉลี่ยทางสถิติได้ ถ้าเพียงแต่ปัญหาถูกวางในลักษณะเดียวกับในทฤษฎีเกม ไม่ใช่ในกลไกแบบคลาสสิก จำเป็นต้องละทิ้งปัญหาที่แก้ไม่ได้ในการกำหนดค่าที่แน่นอนของความเร็วของโมเลกุลในช่วงเวลาที่กำหนดและพยายามค้นหาความน่าจะเป็นที่ความเร็วมีค่าที่แน่นอน

ค่าคงที่ Boltzmann ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์เท่ากับ k = 1.38 10 - 23 JK เป็นส่วนหนึ่งของสูตรจำนวนมากในวิชาฟิสิกส์ ได้ชื่อมาจากนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย หนึ่งในผู้ก่อตั้งทฤษฎีจลนพลศาสตร์ระดับโมเลกุล เรากำหนดคำจำกัดความของค่าคงที่ Boltzmann:

คำจำกัดความ 1

ค่าคงที่ Boltzmannเรียกว่า ค่าคงที่ทางกายภาพ ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานกับอุณหภูมิ

ไม่ควรสับสนกับค่าคงที่ Stefan-Boltzmann ที่เกี่ยวข้องกับการแผ่รังสีของพลังงานของร่างกายที่แข็งกระด้าง

มีหลายวิธีในการคำนวณค่าสัมประสิทธิ์นี้ ในบทความนี้เราจะดูสองคนนี้

หาค่าคงที่ Boltzmann ผ่านสมการก๊าซในอุดมคติ

ค่าคงที่นี้สามารถหาได้โดยใช้สมการที่อธิบายสถานะของก๊าซในอุดมคติ จากการทดลองสามารถระบุได้ว่าให้ความร้อนกับก๊าซใด ๆ จาก T 0 \u003d 273 K ถึง T 1 \u003d 373 K นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงความดันจาก p 0 \u003d 1.013 10 5 Pa ถึง p 0 \u003d 1.38 10 5 Pa . นี่เป็นการทดลองที่ค่อนข้างง่ายที่สามารถทำได้แม้ในอากาศ ในการวัดอุณหภูมิคุณต้องใช้เทอร์โมมิเตอร์และความดัน - มาโนมิเตอร์ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าจำนวนโมเลกุลในโมลของก๊าซใด ๆ มีค่าประมาณ 6 10 23 และปริมาตรที่ความดัน 1 อะตอมคือ V = 22.4 ลิตร โดยคำนึงถึงพารามิเตอร์ที่มีชื่อทั้งหมด เราสามารถดำเนินการคำนวณค่าคงที่ Boltzmann k:

ในการทำเช่นนี้ เราเขียนสมการสองครั้ง โดยแทนที่พารามิเตอร์สถานะลงในสมการ

เมื่อทราบผลลัพธ์แล้ว เราสามารถหาค่าของพารามิเตอร์ k ได้:

การหาค่าคงที่โบลต์ซมันน์ผ่านสูตรการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน

สำหรับวิธีการคำนวณที่สอง เราจำเป็นต้องทำการทดสอบด้วย สำหรับเขา คุณต้องใช้กระจกบานเล็กแล้วแขวนไว้กลางอากาศด้วยด้ายยางยืด สมมุติว่าระบบกระจก-อากาศอยู่ในสถานะเสถียร (สมดุลสถิต) โมเลกุลของอากาศกระทบกระจก ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วมีลักษณะเหมือนอนุภาคบราวเนียน อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาถึงสถานะที่ถูกระงับ เราสามารถสังเกตการสั่นของการหมุนรอบแกนหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับการระงับ (เธรดที่กำกับในแนวตั้ง) ทีนี้ ให้ลำแสงส่องไปยังพื้นผิวกระจกกัน แม้จะเคลื่อนตัวเล็กน้อยและหมุนกระจก ลำแสงที่สะท้อนในกระจกก็จะขยับอย่างเห็นได้ชัด สิ่งนี้ทำให้เราสามารถวัดการสั่นของการหมุนของวัตถุได้

แทนค่าโมดูลัสของแรงบิดเป็น L โมเมนต์ความเฉื่อยของกระจกเทียบกับแกนหมุนเป็น J และมุมการหมุนของกระจกเป็น φ เราสามารถเขียนสมการการสั่นของรูปแบบต่อไปนี้ได้

ค่าลบในสมการสัมพันธ์กับทิศทางของโมเมนต์แรงยืดหยุ่น ซึ่งมีแนวโน้มว่าจะทำให้กระจกกลับสู่ตำแหน่งสมดุล ทีนี้ลองคูณทั้งสองส่วนด้วย φ รวมผลลัพธ์และรับ:

สมการต่อไปนี้คือกฎการอนุรักษ์พลังงานที่จะเป็นจริงสำหรับการสั่นสะเทือนเหล่านี้ (กล่าวคือ พลังงานศักย์จะถูกแปลงเป็นพลังงานจลน์และในทางกลับกัน) เราสามารถพิจารณาการแกว่งเหล่านี้เป็นฮาร์มอนิก ดังนั้น:

เมื่อได้มาจากสูตรใดสูตรหนึ่งก่อนหน้านี้ เราใช้กฎการกระจายพลังงานที่สม่ำเสมอเหนือองศาอิสระ เราก็เขียนได้ดังนี้

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วว่าสามารถวัดมุมของการหมุนได้ ดังนั้นหากอุณหภูมิประมาณ 290 K และโมดูลัสทอร์ชัน L ≈ 10 - 15 N·m; φ ≈ 4 10 - 6 จากนั้นเราสามารถคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการได้ดังนี้

ดังนั้น เมื่อรู้พื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบบราวเนียน เราจึงสามารถหาค่าคงที่ Boltzmann ได้โดยการวัดค่าพารามิเตอร์มาโคร

ค่าของค่าคงที่ Boltzmann

ค่าสัมประสิทธิ์ภายใต้การศึกษานั้นอยู่ที่ว่ามันสามารถใช้เชื่อมต่อพารามิเตอร์ของพิภพเล็กกับพารามิเตอร์ที่อธิบายมหภาค ตัวอย่างเช่น อุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์กับพลังงานของการเคลื่อนที่เชิงแปลของโมเลกุล:

ค่าสัมประสิทธิ์นี้รวมอยู่ในสมการพลังงานเฉลี่ยของโมเลกุล สถานะของก๊าซในอุดมคติ ทฤษฎีจลนศาสตร์ของแก๊ส การกระจายตัวของโบลต์ซมันน์-แมกซ์เวลล์ และอื่นๆ อีกมากมาย นอกจากนี้ จำเป็นต้องใช้ค่าคงที่ Boltzmann เพื่อกำหนดเอนโทรปี มีบทบาทสำคัญในการศึกษาเซมิคอนดักเตอร์ เช่น ในสมการที่อธิบายการพึ่งพาค่าการนำไฟฟ้ากับอุณหภูมิ

ตัวอย่างที่ 1

สภาพ:คำนวณพลังงานเฉลี่ยของโมเลกุลก๊าซที่ประกอบด้วยโมเลกุล N-atomic ที่อุณหภูมิ T โดยรู้ว่าทุกองศาของอิสระนั้นตื่นเต้นในโมเลกุล - การหมุน, การแปล, การสั่น โมเลกุลทั้งหมดถือเป็นกลุ่ม

สารละลาย

พลังงานมีการกระจายอย่างเท่าเทียมกันตามองศาอิสระสำหรับแต่ละองศา ซึ่งหมายความว่าองศาเหล่านี้จะมีพลังงานจลน์เท่ากัน มันจะเท่ากับ ε i = 1 2 k T . จากนั้นในการคำนวณพลังงานเฉลี่ย เราสามารถใช้สูตร:

ε = ฉัน 2 k T โดยที่ i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l คือผลรวมขององศาการหมุนอิสระของการแปล ตัวอักษร k หมายถึงค่าคงที่ของ Boltzmann

มาดูการกำหนดจำนวนองศาอิสระของโมเลกุลกัน:

m p o s t = 3 , m υ r = 3 ดังนั้น m k o l = 3 N - 6 .

ผม \u003d 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

ตอบ:ภายใต้เงื่อนไขเหล่านี้ พลังงานเฉลี่ยของโมเลกุลจะเท่ากับ ε = 3 N - 3 k T .

ตัวอย่าง 2

สภาพ:เป็นส่วนผสมของก๊าซในอุดมคติสองชนิดที่มีความหนาแน่นภายใต้สภาวะปกติคือ p กำหนดความเข้มข้นของก๊าซหนึ่งตัวในส่วนผสม โดยจะต้องทราบมวลโมลาร์ของก๊าซทั้งสองชนิด μ 1, μ 2

สารละลาย

ขั้นแรกให้คำนวณมวลรวมของส่วนผสม

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

พารามิเตอร์ m 01 หมายถึงมวลของโมเลกุลของก๊าซหนึ่ง m 02 คือมวลของโมเลกุลของอีกโมเลกุลหนึ่ง n 2 คือความเข้มข้นของโมเลกุลของก๊าซหนึ่ง n 2 คือความเข้มข้นของก๊าซที่สอง ความหนาแน่นของส่วนผสมเท่ากับ ρ

จากสมการนี้ เราแสดงความเข้มข้นของก๊าซตัวแรก:

n 1 \u003d ρ - n 2 ม. 02 ม. 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - nm 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - นาโนเมตร 02 → n 1 (ม. 01 - ม. 02) = ρ - นาโนเมตร 02 .

p = n k T → n = p k T .

แทนค่าผลลัพธ์ที่เท่ากัน:

n 1 (ม. 01 - ม. 02) = ρ - p k T ม 02 → n 1 = ρ - p k T ม. 02 (ม. 01 - ม. 02) .

เนื่องจากเราทราบมวลโมลาร์ของก๊าซ เราจึงสามารถหามวลของโมเลกุลของก๊าซที่หนึ่งและที่สองได้:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

เรายังทราบด้วยว่าส่วนผสมของก๊าซอยู่ภายใต้สภาวะปกติ กล่าวคือ ความดัน 1 atm และอุณหภูมิ 290 K. ถือว่าแก้ปัญหาได้.

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter