วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้สมการ วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้อสมการและสมการที่ไม่ลงตัว

หัวข้อ: "วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้สมการ"

เป้า:พิจารณาวิธีการแก้สมการบางอย่างที่เปิดโอกาสให้นักเรียนเตรียมการแก้ปัญหาการสอบปลายภาค

ระหว่างเรียน.

1. การศึกษาเนื้อหาเชิงทฤษฎี

วิธีการเลือกรูท .

สมการเช่น https://pandia.ru/text/78/386/images/image002_13.png" width="47" height="29 src=">.png" width="143" height="29 src=" >สมการตรรกยะของดีกรีที่ n

1) หากจำนวนเต็ม N เป็น root.png" width="22" height="29 src=">.png" width="22" height="29 src=">.png" width="10" height = "40 src=">.png" width="52" height="29 src=">.png" width="23" height="29 src=">.png" width="260" height=" 30 src="> .

สารละลาย. กรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา https://pandia.ru/text/78/386/images/image015_5.png" width="252" height="29 src=">

ดังนั้นเศษส่วนที่ลดไม่ได้ https://pandia.ru/text/78/386/images/image017_5.png" width="69" height="40 src="> ; https://pandia.ru/text/78/386/images/image019_4.png" height="40 src="> เป็นคำตอบที่เป็นเหตุเป็นผลของสมการเดิม

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหารากจำนวนเต็มของพหุนามฉ(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image021_1.png" width="143" height="29 src="> การแทนที่จำนวนที่ได้รับลงในพหุนามดั้งเดิม เราสามารถแน่ใจได้ว่าตัวเลข 1, 2, -2 เป็นรากของพหุนาม

5) พหุนามเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นหากมีอย่างน้อยหนึ่งรูทของสิ่งนี้ที่ส่วนท้าย https://pandia.ru/text/78/386/images/image023_1.png" พหุนาม

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาอย่างน้อยหนึ่งรากของพหุนามฉ(x)= https://pandia.ru/text/78/386/images/image025_2.png" width="336" height="29 src="> ดังนั้นอย่างน้อยหนึ่งรูทจะอยู่ในช่วงเวลา https://pandia.ru/text/78/386/images/image027_0.png" width="358" height="241 src=">

ดังนั้นพหุนามดั้งเดิมสามารถเขียนได้ดังนี้: 2https://pandia.ru/text/78/386/images/image029_1.png" width="214" height="29 src=">

สารละลาย. สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ 1 และเทอมอิสระมีตัวหาร 1,2,8,16 ดังนั้นสมการนี้มีรากที่มีเหตุผล ดังนั้นรูทนี้เป็นจำนวนเต็มอย่างแน่นอนและเป็นหนึ่งในตัวเลขหาก https://pandia.ru/text /78/386/ images/image031_0.png" width="16" height="29 src=">16..png" width="324" height="243 src=">

ดังนั้น https://pandia.ru/text/78/386/images/image035_1.png" width="569" height="64 src=">

งานสำหรับโซลูชันอิสระ

1..png" width="265" height="29 src=">

3..png" width="89" height="29 src=">+10x+24=0;

5..png" width="109" height="29 src=">.png" width="83" height="29 src=">.png" width="72" height="29 src="> .png" width="22" height="29 src=">.png" width="212" height="29 src=">.png" width="154" height="29 src=">.png" " width="288" height="29 src=">+-https://pandia.ru/text/78/386/images/image055_1.png" width="624" height="58">

พหุนามนี้ต้องเท่ากันทุกประการกับพหุนามเดิม ซึ่งเป็นไปได้ถ้าสัมประสิทธิ์ของกำลังที่สอดคล้องกันเท่ากัน

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image057_1.png" width="302" height="29 src=">.png" width="570" height="130 src="> =1.

ดังนั้นพหุนามดั้งเดิมสามารถเขียนได้ดังนี้:

2https://pandia.ru/text/78/386/images/image061_1.png" width="159" height="29 src=">

Example1..png" width="286" height="25 src=">.png" width="146" height="25 src=">.png" width="149" height="103 src="> .png" width="82" height="29 src=">.png" width="165" height="50 src=">.png" width="61" height="29 src=">

นักปรัชญาชาวรัสเซีย Dmitry Nikolaevich Ushakov ในพจนานุกรมอธิบายของเขาให้คำจำกัดความของแนวคิดของ "วิธีการ" ดังกล่าว - วิธี, วิธีการ, วิธีการวิจัยเชิงทฤษฎีหรือการใช้งานจริงของบางสิ่ง (D. N. Ushakov, 2000)

วิธีการสอนแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เรามองว่าไม่ได้มาตรฐานในปัจจุบันมีอะไรบ้าง? น่าเสียดายที่ไม่มีใครคิดสูตรสากลขึ้นมาได้เพราะว่างานเหล่านี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ครูบางคนฝึกในแบบฝึกหัดเทมเพลต สิ่งนี้เกิดขึ้นดังนี้: ครูแสดงวิธีแก้ปัญหาแล้วนักเรียนพูดซ้ำเมื่อแก้ปัญหาหลายครั้ง ในเวลาเดียวกัน ความสนใจของนักเรียนในวิชาคณิตศาสตร์กำลังถูกฆ่า ซึ่งอย่างน้อยก็น่าเศร้า

ในวิชาคณิตศาสตร์ ไม่มีกฎทั่วไปที่อนุญาตให้แก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน เนื่องจากปัญหาดังกล่าวมีความพิเศษในระดับหนึ่ง งานที่ไม่ได้มาตรฐานในกรณีส่วนใหญ่ถูกมองว่าเป็น "ความท้าทายต่อสติปัญญา และก่อให้เกิดความจำเป็นในการตระหนักถึงตนเองในการเอาชนะอุปสรรค ในการพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์" .

พิจารณาหลายวิธีในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน:

• · พีชคณิต;
• · เลขคณิต;
• วิธีการแจงนับ
• วิธีการให้เหตุผล
• ใช้ได้จริง;
• วิธีการเดา

วิธีพีชคณิตการแก้ปัญหาพัฒนาความสามารถในการสร้างสรรค์ ความสามารถในการสรุป สร้างความคิดเชิงนามธรรมและมีข้อดีเช่นความสั้นในการเขียนและการให้เหตุผลในการวาดสมการช่วยประหยัดเวลา

เพื่อแก้ปัญหาด้วยวิธีพีชคณิต มันเป็นสิ่งจำเป็น:

• · เพื่อวิเคราะห์ปัญหาเพื่อเลือกสิ่งที่ไม่รู้จักหลักและระบุความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ เช่นเดียวกับการแสดงออกของการพึ่งพาเหล่านี้ในภาษาคณิตศาสตร์ในรูปแบบของนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตสองนิพจน์
• ค้นหาพื้นฐานสำหรับการเชื่อมต่อนิพจน์เหล่านี้กับเครื่องหมาย "=" และสร้างสมการ
• หาคำตอบของสมการผลลัพธ์ จัดระเบียบการตรวจสอบคำตอบของสมการ

ขั้นตอนทั้งหมดของการแก้ปัญหาเหล่านี้เชื่อมโยงถึงกันอย่างมีเหตุผล ตัวอย่างเช่น เราพูดถึงการค้นหาพื้นฐานสำหรับการเชื่อมต่อนิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์ที่มีเครื่องหมายเท่ากับเป็นขั้นตอนพิเศษ แต่เป็นที่ชัดเจนว่าในขั้นตอนก่อนหน้า นิพจน์เหล่านี้ไม่ได้เกิดขึ้นโดยพลการ แต่คำนึงถึงความเป็นไปได้ของการเชื่อมต่อ ด้วยเครื่องหมาย “=”

ทั้งการระบุการพึ่งพาระหว่างปริมาณและการแปลการพึ่งพาเหล่านี้เป็นภาษาคณิตศาสตร์จำเป็นต้องมีกิจกรรมทางจิตวิเคราะห์และสังเคราะห์ที่เข้มข้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความสำเร็จในกิจกรรมนี้ขึ้นอยู่กับว่านักเรียนทราบความสัมพันธ์โดยทั่วไปของปริมาณเหล่านี้หรือไม่ และเข้าใจความหมายที่แท้จริงของความสัมพันธ์เหล่านี้หรือไม่ (เช่น ความสัมพันธ์ที่แสดงโดยคำว่า "ภายหลังโดย ... ", " แก่กว่า ... เท่า " เป็นต้น) นอกจากนี้ จำเป็นต้องมีความเข้าใจว่าการกระทำทางคณิตศาสตร์ประเภทใดหรือ คุณสมบัติของการกระทำนั้น หรือความเชื่อมโยง (การพึ่งพาอาศัยกัน) ใดระหว่างส่วนประกอบและผลของการกระทำนั้น สามารถอธิบายความสัมพันธ์นี้หรือความสัมพันธ์นั้นโดยเฉพาะได้

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยวิธีพีชคณิต

งาน. ชาวประมงจับปลาได้ เมื่อถูกถามว่า “มวลของมันคืออะไร?” เขาตอบว่า: “มวลของหางคือ 1 กิโลกรัม มวลของหัวเท่ากับมวลของหางและครึ่งหนึ่งของลำตัว และมวลของลำตัวก็เท่ากับมวลของหัวกับหางรวมกัน มวลของปลาคืออะไร?

ให้ x kg เป็นมวลของร่างกาย จากนั้น (1+1/2x) kg คือมวลของศีรษะ เนื่องจากตามเงื่อนไข มวลของร่างกายเท่ากับผลรวมของมวลของส่วนหัวและส่วนหาง เราจึงเขียนและแก้สมการดังนี้

x = 1 + 1/2x + 1,

4 กก. คือมวลของร่างกาย จากนั้น 1+1/2 4=3 (กก.) คือมวลของหัว และ 3+4+1=8 (กก.) คือมวลของปลาทั้งตัว

ตอบ 8 กก.

วิธีเลขคณิตการแก้ปัญหายังต้องการความเครียดทางจิตใจจำนวนมาก ซึ่งมีผลดีต่อการพัฒนาความสามารถทางจิต สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ ต่อการก่อตัวของความสามารถในการคาดการณ์สถานการณ์ในชีวิตจริง

ลองพิจารณาตัวอย่างการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานด้วยวิธีเลขคณิต:

งาน. ถามชาวประมงสองคนว่า "ในตะกร้าของคุณมีปลากี่ตัว"

“ในตะกร้าของฉันมีครึ่งหนึ่งของที่เขามีในตะกร้า และอีก 10 อัน” คนแรกตอบ “และฉันมีมากในตะกร้าของฉันเท่าที่เขามี และแม้กระทั่ง 20” คนที่สองคำนวณ เรานับแล้วและตอนนี้คุณนับ

มาสร้างไดอะแกรมสำหรับปัญหากัน ให้ส่วนแรกของแผนภาพแสดงจำนวนปลาที่ชาวประมงคนแรกมี ส่วนที่สองหมายถึงจำนวนปลาจากชาวประมงคนที่สอง

เนื่องจากคนสมัยใหม่จำเป็นต้องมีแนวคิดเกี่ยวกับวิธีการหลักในการวิเคราะห์ข้อมูลและรูปแบบความน่าจะเป็นที่มีบทบาทสำคัญในวิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี และเศรษฐศาสตร์ องค์ประกอบของ combinatorics ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์ เข้าสู่หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียน ที่สะดวก ให้เข้าใจโดยใช้ วิธีการแจงนับ.

การรวมปัญหาเชิงผสมในวิชาคณิตศาสตร์มีผลดีต่อการพัฒนาของเด็กนักเรียน “การเรียนรู้แบบกำหนดเป้าหมายเพื่อแก้ปัญหาแบบผสมผสานนั้นมีส่วนช่วยในการพัฒนาคุณภาพของการคิดทางคณิตศาสตร์เป็นความแปรปรวน ภายใต้ความแปรปรวนของการคิด เราหมายถึงทิศทางของกิจกรรมทางจิตของนักเรียนเพื่อค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ในกรณีที่ไม่มีคำแนะนำพิเศษสำหรับสิ่งนี้

ปัญหาเชิงซ้อนสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการต่างๆ ตามอัตภาพ วิธีการเหล่านี้สามารถแบ่งออกเป็น "ทางการ" และ "ไม่เป็นทางการ" ด้วยวิธีการแก้ปัญหาแบบ "เป็นทางการ" คุณต้องกำหนดลักษณะของตัวเลือก เลือกสูตรที่เหมาะสมหรือกฎเชิงผสม (มีกฎผลรวมและกฎผลิตภัณฑ์) แทนที่ตัวเลขและคำนวณผลลัพธ์ ผลลัพธ์คือจำนวนของตัวเลือกที่เป็นไปได้ แต่ตัวเลือกนั้นไม่ได้เกิดขึ้นในกรณีนี้

ด้วยวิธีการแก้ปัญหาแบบ "ไม่เป็นทางการ" กระบวนการรวบรวมตัวเลือกต่างๆ มาก่อน และสิ่งสำคัญคือไม่มาก แต่ตัวเลือกใดบ้างที่สามารถรับได้ วิธีการดังกล่าวได้แก่ วิธีการแจงนับวิธีนี้ใช้ได้กับนักเรียนที่อายุน้อยกว่า และช่วยให้คุณได้รับประสบการณ์ในการแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติของปัญหาเชิงผสมผสาน ซึ่งใช้เป็นพื้นฐานสำหรับการแนะนำหลักการและสูตรเชิงผสมผสานในอนาคต นอกจากนี้ในชีวิตคนต้องไม่เพียงแค่กำหนดจำนวนของตัวเลือกที่เป็นไปได้ แต่ยังสร้างตัวเลือกทั้งหมดเหล่านี้โดยตรงและเมื่อเข้าใจวิธีการแจงนับอย่างเป็นระบบก็สามารถทำได้อย่างมีเหตุผลมากขึ้น

งานแบ่งออกเป็นสามกลุ่มตามความซับซ้อนของการแจงนับ:

• หนึ่ง . งานที่คุณต้องทำการแจงนับตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมดอย่างสมบูรณ์
• 2. งานที่เป็นไปไม่ได้ที่จะใช้เทคนิคการแจงนับแบบเต็มและจำเป็นต้องแยกตัวเลือกบางตัวทันทีโดยไม่พิจารณา (นั่นคือเพื่อดำเนินการแจงนับแบบย่อ)
• 3. งานที่ดำเนินการแจงนับหลายครั้งและสัมพันธ์กับวัตถุประเภทต่างๆ

นี่คือตัวอย่างที่เกี่ยวข้องของงาน:

งาน. วางเครื่องหมาย "+" และ "-" ระหว่างตัวเลขที่กำหนด 9 ... 2 ... 4 สร้างนิพจน์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

มีรายการตัวเลือกทั้งหมด:

• ก) อักขระสองตัวในนิพจน์สามารถเหมือนกันได้ จากนั้นเราจะได้:
  • 9 + 2 + 4 หรือ 9 - 2 - 4;
• b) สองสัญญาณอาจแตกต่างกัน จากนั้นเราได้รับ:
  • 9 + 2 - 4 หรือ 9 - 2 + 4

งาน. ครูบอกว่าเขาวาดรูป 4 ตัวติดกัน: สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และขนาดเล็ก วงกลมขนาดใหญ่และขนาดเล็กเพื่อให้วงกลมอยู่ในตำแหน่งแรกและตัวเลขที่มีรูปร่างเหมือนกันไม่ยืนเคียงข้างกันและให้นักเรียนเดา ลำดับที่ตัวเลขเหล่านี้ถูกจัดเรียง

ตัวเลขเหล่านี้มีทั้งหมด 24 รูปแบบที่แตกต่างกัน และไม่แนะนำให้เขียนทั้งหมดแล้วเลือกสิ่งที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้ดังนั้นจึงทำการแจงนับแบบย่อ

วงกลมขนาดใหญ่สามารถอยู่ในตำแหน่งแรกได้ จากนั้นวงกลมขนาดเล็กจะอยู่ในตำแหน่งที่สามเท่านั้น ในขณะที่สี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และขนาดเล็กสามารถวางได้สองวิธี - ในอันดับที่สองและสี่

การให้เหตุผลที่คล้ายคลึงกันจะเกิดขึ้นหากสถานที่แรกเป็นวงกลมขนาดเล็กและมีการรวบรวมสองตัวเลือกด้วย

งาน. หุ้นส่วนสามคนของบริษัทเดียวกันจะเก็บหลักทรัพย์ไว้ในตู้นิรภัยพร้อมล็อค 3 ตัว เพื่อนร่วมทางต้องการแจกจ่ายกุญแจไปยังแม่กุญแจให้กันเอง เพื่อให้เปิดตู้เซฟได้เมื่อมีผู้ร่วมทางอย่างน้อยสองคนเท่านั้น แต่ไม่สามารถเปิดตู้เซฟได้คนเดียว ฉันจะทำอย่างนั้นได้อย่างไร?

อันดับแรก แจกแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการแจกแจงคีย์ สหายแต่ละคนสามารถได้รับกุญแจหนึ่งดอกหรือกุญแจสองดอกที่แตกต่างกันหรือสามดอก

สมมติว่าเพื่อนแต่ละคนมีคีย์ที่แตกต่างกันสามปุ่ม จากนั้นเพื่อนคนหนึ่งสามารถเปิดตู้เซฟได้ และไม่ตรงตามเงื่อนไข

สมมติว่าเพื่อนแต่ละคนมีหนึ่งคีย์ ถ้าสองคนนั้นมา พวกเขาจะไม่สามารถเปิดตู้เซฟได้

ให้กุญแจสองดอกที่ต่างกันแก่เพื่อนแต่ละคน ปุ่มแรก - 1 และ 2 ปุ่มที่สอง - 1 และ 3 ปุ่มที่สาม - 2 และ 3 มาดูกันว่าเพื่อนสองคนมาเมื่อไหร่เพื่อดูว่าพวกเขาสามารถเปิดตู้เซฟได้หรือไม่

สหายที่หนึ่งและสองสามารถมาได้ พวกเขาจะมีกุญแจทั้งหมด (1 และ 2, 1 และ 3) สหายคนแรกและคนที่สามสามารถมาได้ พวกเขาจะมีกุญแจทั้งหมด (1 และ 2, 2 และ 3) ด้วย ในที่สุด สหายที่สองและสามก็มาได้ พวกเขาจะมีกุญแจทั้งหมด (1 และ 3, 2 และ 3) ด้วย

ดังนั้น ในการหาคำตอบในปัญหานี้ คุณต้องดำเนินการวนซ้ำหลายๆ ครั้ง

เมื่อเลือกปัญหาแบบผสมผสาน เราควรให้ความสำคัญกับเรื่องและรูปแบบการนำเสนอปัญหาเหล่านี้ เป็นที่พึงปรารถนาที่งานจะไม่ดูปลอม แต่เด็ก ๆ เข้าใจและน่าสนใจ กระตุ้นอารมณ์เชิงบวกในตัวพวกเขา คุณสามารถใช้สื่อที่ใช้งานได้จริงจากชีวิตเพื่อวาดงาน

มีปัญหาอื่น ๆ ที่สามารถแก้ไขได้โดยการแจงนับ

ตัวอย่างเช่น มาแก้ปัญหากัน: “Marquis Karabas อายุ 31 ปี และ Puss in Boots อายุน้อยที่กระฉับกระเฉงของเขาอายุ 3 ขวบเมื่อเหตุการณ์ที่ทราบจากเทพนิยายเกิดขึ้น ผ่านไปกี่ปีแล้ว ถ้าตอนนี้แมวอายุน้อยกว่าเจ้าของสามเท่า? การแจงนับตัวเลือกจะแสดงด้วยตาราง

Age of the Marquis of Carabas and Puss in Boots

14 - 3 = 11 (ปี)

คำตอบ: 11 ปีผ่านไป

ในเวลาเดียวกัน นักเรียนทำการทดลอง สังเกต เปรียบเทียบข้อเท็จจริง และทำการสรุปทั่วไปบางอย่างบนพื้นฐานของข้อสรุปเฉพาะ ในกระบวนการสังเกตเหล่านี้ ประสบการณ์จริงของเขาได้รับการเติมเต็ม นี่คือค่าจริงของปัญหาการแจงนับ ในกรณีนี้ คำว่า "การแจงนับ" ใช้ในแง่ของการวิเคราะห์กรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เป็นไปตามเงื่อนไขของปัญหา ซึ่งแสดงให้เห็นว่าไม่มีทางแก้ไขอื่นได้

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีพีชคณิต

ให้แมวอายุ x ปี จากนั้น Marquis คือ 3x ตามเงื่อนไขของปัญหา เราจะเขียนสมการดังนี้

• 3x - x \u003d 28,
• 2x = 28,

ตอนนี้แมวอายุ 14 ปีแล้ว 14 - 3 = 11 (ปี) ผ่านไป

คำตอบ: 11 ปีผ่านไป

วิธีการให้เหตุผลสามารถใช้แก้ความวิปริตทางคณิตศาสตร์ได้

ข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นในความวิจิตรบรรจงมักมีดังต่อไปนี้: การกระทำที่ "ต้องห้าม" การใช้ภาพวาดที่ผิดพลาด การใช้คำที่ไม่ถูกต้อง สูตรที่ไม่ถูกต้อง การวางนัยทั่วไปที่ "ผิดกฎหมาย" การใช้ทฤษฎีบทที่ไม่ถูกต้อง

การเปิดเผยความซับซ้อนหมายถึงการชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลโดยพิจารณาจากลักษณะภายนอกของการพิสูจน์

การวิเคราะห์ความซับซ้อน ประการแรก พัฒนาความคิดเชิงตรรกะ ปลูกฝังทักษะการคิดที่ถูกต้อง การตรวจจับข้อผิดพลาดในความซับซ้อนหมายถึงการรับรู้ และการรับรู้ถึงข้อผิดพลาดจะป้องกันไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดซ้ำในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์อื่นๆ นอกเหนือจากความสำคัญของการคิดทางคณิตศาสตร์แล้ว งานที่ไม่ได้มาตรฐานประเภทนี้ยังเผยให้เห็นถึงความยืดหยุ่นในการคิด นักเรียนจะสามารถ "หลุดพ้นจากเงื้อมมือ" ของเส้นทางนี้ได้หรือไม่ ซึ่งในแวบแรกนั้นมีเหตุผลอย่างเข้มงวด เพื่อทำลายห่วงโซ่ของการอนุมานที่ลิงก์ที่ผิดพลาดและทำให้การให้เหตุผลเพิ่มเติมทั้งหมดผิดพลาดอีกหรือไม่

การวิเคราะห์ความซับซ้อนยังช่วยให้การดูดซึมของเนื้อหาที่กำลังศึกษาอย่างมีสติ พัฒนาการสังเกต และทัศนคติที่สำคัญต่อสิ่งที่กำลังศึกษา

ก) ตัวอย่างเช่น ในที่นี้ เป็นความซับซ้อนที่มีการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทไม่ถูกต้อง

ให้เราพิสูจน์ว่า 2 2 = 5

ลองใช้ความเท่าเทียมกันที่ชัดเจนต่อไปนี้เป็นอัตราส่วนเริ่มต้น: 4: 4 = 5: 5 (1)

เรานำปัจจัยทั่วไปในส่วนซ้ายและขวาออกจากวงเล็บ:

4 (1: 1) = 5 (1: 1) (2)

ตัวเลขในวงเล็บเท่ากัน ดังนั้น 4 = 5 หรือ 2 2 = 5

ในการให้เหตุผล เมื่อส่งต่อจากความเท่าเทียมกัน (1) ไปสู่ความเท่าเทียมกัน (2) ภาพลวงตาของความน่าจะเป็นจะถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของการเปรียบเทียบที่ผิด ๆ กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณด้วยการบวก

b) ความซับซ้อนโดยใช้ลักษณะทั่วไปที่ "ผิดกฎหมาย"

มีสองครอบครัว - Ivanovs และ Petrovs แต่ละคนประกอบด้วย 3 คน - พ่อ แม่ และลูกชาย พ่อของ Ivanov ไม่รู้จักพ่อของ Petrov แม่ของ Ivanov ไม่รู้จักแม่ของ Petrova ลูกชายคนเดียวของ Ivanovs ไม่รู้จักลูกชายคนเดียวของ Petrovs สรุป: ไม่ใช่สมาชิกคนเดียวของตระกูล Ivanov ที่รู้จักสมาชิกคนเดียวของตระกูล Petrov นี่เป็นเรื่องจริงหรือไม่?

หากสมาชิกในครอบครัว Ivanov ไม่รู้จักสมาชิกในครอบครัว Petrov ที่มีสถานภาพสมรสเท่ากัน ไม่ได้หมายความว่าเขาไม่รู้จักทั้งครอบครัว ตัวอย่างเช่น พ่อของ Ivanov อาจรู้จักแม่และลูกชายของ Petrov

วิธีการให้เหตุผลยังสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาเชิงตรรกะได้อีกด้วย งานเชิงตรรกะมักจะเข้าใจว่าเป็นงานเหล่านั้นที่แก้ไขโดยใช้การดำเนินการทางตรรกะเท่านั้น บางครั้งการแก้ปัญหาของพวกเขาต้องใช้เหตุผลเป็นเวลานานซึ่งทิศทางที่จำเป็นซึ่งไม่สามารถคาดการณ์ล่วงหน้าได้

งาน. พวกเขาบอกว่า Tortila มอบกุญแจสีทองให้กับ Pinocchio ไม่ใช่แค่อย่างที่ A. N. Tolstoy กล่าว แต่ในทางที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เธอหยิบกล่องออกมาสามกล่อง: แดง น้ำเงิน และเขียว บนกล่องสีแดงเขียนว่า: "นี่คือกุญแจสีทอง" และในกล่องสีน้ำเงิน - "กล่องสีเขียวว่างเปล่า" และในกล่องสีเขียว - "นี่คืองู" ตอร์ติลาอ่านคำจารึกและกล่าวว่า “แท้จริงแล้ว มีกุญแจทองคำอยู่ในกล่องหนึ่ง อีกกล่องหนึ่งมีงู และอันที่สามว่างเปล่า แต่จารึกทั้งหมดผิด ถ้าคุณเดาได้ว่ากล่องไหนบรรจุกุญแจทองคำ ก็เป็นของคุณ” กุญแจสีทองอยู่ที่ไหน?

เนื่องจากจารึกทั้งหมดบนกล่องไม่ถูกต้อง กล่องสีแดงจึงไม่มีกุญแจสีทอง กล่องสีเขียวไม่ว่างเปล่า และไม่มีงูอยู่ในนั้น ซึ่งหมายความว่ากุญแจอยู่ในกล่องสีเขียว งูอยู่ในนั้น อันสีแดงและอันสีน้ำเงินว่างเปล่า

เมื่อแก้ปัญหาเชิงตรรกะ การคิดเชิงตรรกะจะเปิดใช้งาน และนี่คือความสามารถในการอนุมานผลที่ตามมาจากสถานที่ ซึ่งจำเป็นสำหรับการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ประสบความสำเร็จ

Rebus เป็นปริศนา แต่ปริศนาไม่ธรรมดาเลย คำและตัวเลขในปริศนาคณิตศาสตร์แสดงโดยใช้ภาพวาด เครื่องหมายดอกจัน ตัวเลข และสัญลักษณ์ต่างๆ หากต้องการอ่านสิ่งที่เข้ารหัสใน rebus คุณต้องตั้งชื่อวัตถุทั้งหมดที่ปรากฎอย่างถูกต้องและเข้าใจว่าสัญลักษณ์ใดแสดงถึงอะไร ผู้คนใช้ปริศนาแม้ว่าพวกเขาจะเขียนไม่ได้ก็ตาม พวกเขาแต่งจดหมายจากวัตถุ ตัวอย่างเช่น ผู้นำเผ่าหนึ่งเคยส่งนก หนู กบ และลูกธนูห้าลูก แทนที่จะส่งจดหมายถึงเพื่อนบ้าน นี่หมายความว่า: “คุณสามารถบินได้เหมือนนก และซ่อนตัวอยู่ในพื้นดินเหมือนหนู กระโดดผ่านหนองน้ำเหมือนกบได้ไหม? ถ้าไม่รู้วิธีก็อย่ามายุ่งกับพวกเรา เราจะยิงธนูใส่คุณทันทีที่คุณเข้ามาในประเทศของเรา”

ตัดสินโดยอักษรตัวแรกของผลรวม 1), D = 1 หรือ 2

สมมติว่า D = 1 แล้ว Y? 5. Y \u003d 5 ไม่รวมเพราะ P ไม่สามารถเท่ากับ 0 Y? 6 เพราะ 6 + 6 = 12 นั่นคือ P = 2 แต่ค่า P ดังกล่าวไม่เหมาะสำหรับการตรวจสอบเพิ่มเติม เช่นเดียวกัน ยู? 7.

สมมติว่า Y = 8 จากนั้น P = 6, A = 2, K = 5, D = 1

สี่เหลี่ยมมายากล (magic) เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ผลรวมของตัวเลขในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยงเท่ากัน

งาน. จัดเรียงตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 เพื่อให้ได้ผลรวมของตัวเลขเท่ากันในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง เท่ากับ 15

แม้ว่าจะไม่มีกฎทั่วไปในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน (ซึ่งเป็นสาเหตุที่ปัญหาเหล่านี้เรียกว่าไม่ได้มาตรฐาน) เราได้พยายามให้แนวทางทั่วไปจำนวนหนึ่ง - คำแนะนำที่ควรปฏิบัติตามเมื่อแก้ไขปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐานประเภทต่างๆ .

งานที่ไม่ได้มาตรฐานแต่ละงานเป็นงานดั้งเดิมและมีเอกลักษณ์เฉพาะในโซลูชัน ในเรื่องนี้วิธีการที่พัฒนาขึ้นสำหรับการสอนกิจกรรมการค้นหาเมื่อแก้ไขงานที่ไม่ได้มาตรฐานไม่ได้สร้างทักษะในการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับการพัฒนาทักษะบางอย่างเท่านั้น:

• ความสามารถในการเข้าใจงานเน้นคำหลัก (สนับสนุน);
• ความสามารถในการระบุเงื่อนไขและคำถาม ที่ทราบและไม่ทราบในปัญหา
• ความสามารถในการค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างข้อมูลกับสิ่งที่ต้องการ นั่นคือ การวิเคราะห์ข้อความของปัญหา ผลลัพธ์ที่ได้คือการเลือกการดำเนินการเลขคณิตหรือการดำเนินการเชิงตรรกะเพื่อแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน
• ความสามารถในการบันทึกความคืบหน้าของการแก้ปัญหาและคำตอบของปัญหา
• · ความสามารถในการทำงานเพิ่มเติมในงาน;
• ความสามารถในการเลือกข้อมูลที่เป็นประโยชน์ที่มีอยู่ในปัญหาในกระบวนการแก้ไขเพื่อจัดระบบข้อมูลนี้ให้สัมพันธ์กับความรู้ที่มีอยู่

งานที่ไม่ได้มาตรฐานจะพัฒนาความคิดเชิงพื้นที่ซึ่งแสดงออกในความสามารถในการสร้างภาพเชิงพื้นที่ของวัตถุขึ้นใหม่ในใจและดำเนินการกับวัตถุเหล่านั้น การคิดเชิงพื้นที่ปรากฏขึ้นเมื่อแก้ปัญหาต่างๆ เช่น “บนขอบของเค้กกลม มีครีม 5 จุดวางห่างกันเท่ากัน การตัดผ่านจุดคู่ทั้งหมด คุณได้เค้กทั้งหมดกี่ชิ้น?

วิธีปฏิบัติสามารถพิจารณาปัญหาการหารที่ไม่ได้มาตรฐานได้

งาน. ไม้ต้องถูกตัดเป็น 6 ชิ้น จะต้องตัดกี่ครั้ง?

วิธีแก้ไข: การตัดจะต้องมี 5

เมื่อศึกษาปัญหาการหารที่ไม่ได้มาตรฐาน คุณต้องเข้าใจ: ในการตัดเซ็กเมนต์ออกเป็นส่วน P คุณควรตัด a (P-1) ความจริงข้อนี้ต้องสร้างกับเด็กโดยอุปนัย แล้วนำไปใช้ในการแก้ปัญหา

งาน. ในแท่งสามเมตร - 300 ซม. ต้องตัดเป็นแท่งยาว 50 ซม. คุณต้องทำการตัดกี่ครั้ง?

วิธีแก้ไข: เราได้ 6 แท่ง 300: 50 = 6 (แท่ง)

เราขอโต้แย้งดังนี้: ในการแบ่งแถบครึ่งหนึ่งนั่นคือในสองส่วนคุณต้องตัด 1 ส่วนเป็น 3 ส่วน - 2 ส่วนและอื่น ๆ เป็น 6 ส่วน - 5 ส่วน

ดังนั้น คุณต้องทำ 6 - 1 = 5 (ตัด)

คำตอบ: 5 ตัด

ดังนั้น แรงจูงใจหลักประการหนึ่งที่กระตุ้นให้นักเรียนศึกษาคือความสนใจในวิชานี้ ความสนใจคือการปฐมนิเทศทางปัญญาของบุคคลต่อวัตถุ ปรากฏการณ์ และกิจกรรมเฉพาะ ซึ่งสร้างขึ้นด้วยทัศนคติทางอารมณ์เชิงบวกที่มีต่อพวกเขา วิธีหนึ่งในการพัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์คืองานที่ไม่ได้มาตรฐาน งานที่ไม่ได้มาตรฐานเป็นที่เข้าใจกันว่าเป็นงานที่ไม่มีกฎเกณฑ์ทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ที่กำหนดโปรแกรมที่แน่นอนสำหรับการแก้ปัญหา การแก้ปัญหาดังกล่าวทำให้นักเรียนมีส่วนร่วมในกิจกรรมการเรียนรู้อย่างแข็งขัน มีการจำแนกประเภทของปัญหาและวิธีการแก้ไขต่างๆ ที่ใช้กันมากที่สุดคือพีชคณิต เลขคณิต วิธีปฏิบัติและการแจงนับ การให้เหตุผลและการคาดเดา

การแข่งขันระดับเทศบาลของงานวิจัยและผลงานสร้างสรรค์ของเด็กนักเรียน

“ก้าวสู่วิทยาศาสตร์”

สาขาวิชาคณิตศาสตร์

หัวข้อ: วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้ปัญหาที่ไม่ลงตัว

สมการ

Nuzhdina Maria โรงเรียนมัธยม MAOU №2

เกรด 10 หมู่บ้าน Karymskoye

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์: Vasilyeva Elena Valerievna,

ครูคณิตศาสตร์

โรงเรียนมัธยม MAOU หมายเลข 2 หมู่บ้าน Karymskoye

การตั้งถิ่นฐาน Karymskoe, 2013

บทคัดย่อ……………………………………………………………………………….3

แผนการศึกษา…………………………………………………………………………………………………………..4-5

รายละเอียดของงาน:

§หนึ่ง. เทคนิคพื้นฐานในการแก้สมการอตรรกยะ……6-9

§2. การแก้สมการอตรรกยะโดยวิธีการแทนที่ค่าที่ไม่รู้จัก ... 10-14

§3. สมการอตรรกยะลดลงเป็นโมดูลัส ………….15-17

§4. การแยกตัวประกอบ………………………………………..18-19

§ห้า. สมการของแบบฟอร์ม ………………………………………20-22

§6. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยเรขาคณิตในสมการอตรรกยะ

; ……………………………23-24

4) ข้อมูลอ้างอิง…………………………………………………………….25

คำอธิบายประกอบ

หัวข้องานวิจัยของเรา: "วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้สมการอตรรกยะ"

เมื่อปฏิบัติงาน จำเป็นต้อง: เปรียบเทียบวิธีการแก้ปัญหาต่างๆ เปลี่ยนจากวิธีสาธารณะเป็นส่วนตัวและในทางกลับกัน โต้แย้งและพิสูจน์ข้อความที่ทำ ศึกษาและสรุปข้อมูลที่รวบรวมจากแหล่งต่างๆ ในเรื่องนี้วิธีการวิจัยสามารถแยกแยะได้: เชิงประจักษ์; ตรรกะและทฤษฎี (การวิจัย); เป็นขั้นเป็นตอน; การสืบพันธุ์และฮิวริสติก

จากผลงานที่ได้ดำเนินการดังนี้ ผลลัพธ์และข้อสรุป:

มีเคล็ดลับมากมายในการแก้สมการไม่ลงตัว

ไม่ใช่สมการอตรรกยะทั้งหมดที่จะแก้ได้โดยใช้ลูกเล่นมาตรฐาน

เราได้ศึกษาการแทนที่บ่อยครั้งโดยการลดสมการไม่ลงตัวที่ซับซ้อนเหลือน้อยที่สุด

เราพิจารณาวิธีที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้สมการอตรรกยะ

หัวข้อ: "วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้สมการอตรรกยะ"

Nuzhdina M.P. , Trans-Baikal Territory, การตั้งถิ่นฐาน Karymskoye, โรงเรียนมัธยม MAOU หมายเลข 2, เกรด 10

แผนการวิจัย

พื้นที่วัตถุที่เราได้ทำการค้นคว้าคือพีชคณิต วัตถุ การวิจัย- การแก้สมการ ในบรรดาสมการหลายๆ สมการ เราพิจารณาสมการอตรรกยะ - เรื่องการวิจัยของเรา

ในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน จะพิจารณาเฉพาะวิธีการมาตรฐานและเทคนิคในการแก้ปัญหา (ยกระดับเป็นพลังและเทคนิคการแทนที่อย่างง่าย) เท่านั้น แต่ในกระบวนการวิจัย ปรากฏว่ามีสมการไม่ลงตัวซึ่งเทคนิคและวิธีการมาตรฐานไม่เพียงพอต่อการแก้ สมการดังกล่าวได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีอื่นที่มีเหตุมีผลมากกว่า

ดังนั้นเราจึงเชื่อว่าการศึกษาวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวเป็นงานที่จำเป็นและน่าสนใจ

ในกระบวนการวิจัย ปรากฏว่ามีสมการไม่ลงตัวจำนวนมาก และการจัดกลุ่มตามประเภทและวิธีการมีปัญหา

จุดมุ่งหมายการวิจัยเป็นการศึกษาและจัดระบบวิธีการแก้สมการไม่ลงตัว

สมมติฐาน: หากคุณรู้วิธีที่ไม่ได้มาตรฐานในการแก้สมการอตรรกยะ วิธีนี้จะช่วยปรับปรุงคุณภาพของประสิทธิภาพของการแข่งขันกีฬาโอลิมปิกบางรายการและงานทดสอบของการสอบ Unified State

เพื่อให้บรรลุเป้าหมายที่ตั้งไว้และทดสอบสมมติฐาน จำเป็นต้องแก้ไขดังต่อไปนี้ งาน:

จำแนกประเภทของสมการอตรรกยะ

สร้างการเชื่อมโยงระหว่างประเภทและวิธีการแก้ปัญหา

ประเมินคุณค่าของการตรวจสอบและค้นหา ODZ

พิจารณากรณีที่ไม่เป็นมาตรฐานในการแก้สมการอตรรกยะ (ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต, คุณสมบัติความซ้ำซากจำเจของฟังก์ชัน)

ในระหว่างการศึกษาหนังสือหลายเล่มโดยผู้เขียนเช่น M.I.Skanavi, I.F.Sharygin, O.Yu.Cherkasov, A.N.Rurukin, I.T. วารสารเชิงระเบียบเรื่อง "Mathematics at School"

หัวข้อ: "วิธีการที่ไม่ได้มาตรฐานสำหรับการแก้สมการอตรรกยะ"

Nuzhdina M.P. , Trans-Baikal Territory, การตั้งถิ่นฐาน Karymskoye, โรงเรียนมัธยม MAOU หมายเลข 2, เกรด 10

รายละเอียดของงาน.

§1 เทคนิคพื้นฐานสำหรับการแก้สมการอตรรกยะ

สมการ y(x)=0 นั้นไม่มีเหตุผลถ้าฟังก์ชัน y(x) มีรากจากค่าที่ไม่รู้จัก x หรือนิพจน์ที่ขึ้นอยู่กับ x

สมการไม่ลงตัวจำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยอิงตามแนวคิดของรูทและช่วงของค่าที่อนุญาตของสมการ (ODV) เท่านั้น แต่มีวิธีการอื่นซึ่งบางส่วนจะกล่าวถึงในงาน

เทคนิคหลักในการแก้สมการอตรรกยะถือเป็นความสันโดษในส่วนหนึ่งของสมการรากศัพท์ ตามด้วยการเพิ่มสมการทั้งสองส่วนให้มีระดับที่เหมาะสม หากมีอนุมูลดังกล่าวหลายตัว สมการจะต้องยกกำลังต้นซ้ำๆ กัน โดยไม่จำเป็นต้องดูแลว่านิพจน์ภายใต้เครื่องหมายของรากศัพท์เดี่ยวจะไม่เป็นลบ

อย่างไรก็ตาม เมื่อยกกำลังให้เป็นกำลังเท่ากัน รากภายนอกอาจปรากฏขึ้น กล่าวคือ รากที่ไม่ใช่คำตอบของสมการดั้งเดิม

ดังนั้นเมื่อใช้สารละลายดังกล่าว จะต้องตรวจสอบรากและทิ้งรากที่ไม่เกี่ยวข้อง ในกรณีนี้ การตรวจสอบเป็นองค์ประกอบของสารละลายและจำเป็นแม้ในกรณีที่รากพิเศษไม่ปรากฏขึ้น แต่แนวทางของการแก้ปัญหาคือ เพื่อให้สามารถปรากฏได้ ในทางกลับกัน บางครั้งการตรวจสอบก็ง่ายกว่าการพิสูจน์ว่าจำเป็น

ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

คำตอบ: ไม่มีราก

- รากภายนอก

ในตัวอย่างเหล่านี้ เราดูวิธีมาตรฐานในการแก้สมการอตรรกยะ (ยกกำลังทั้งสองข้างและตรวจสอบราก)

อย่างไรก็ตาม สมการอตรรกยะจำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดย

ขึ้นอยู่กับแนวคิดของรูทและ ODZ ของสมการเท่านั้น

เนื่องจากสมการประกอบด้วยอนุมูลระดับคู่เท่านั้น จึงเพียงพอที่จะแก้ระบบอสมการได้

3x -2x 2 +5 ≥0 (เงื่อนไขสมการ ODZ)

4x 2 -26x +40 ≥0

การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันนี้ เราได้รับ:

x € โดยที่ x = 2.5

x € (-∞ ; 2.5] ᴗ )