Typer vinkler. Tilstøtende vinkler
- (lat. solutio triangulorum) et historisk begrep som betyr løsningen av det trigonometriske hovedproblemet: ved å bruke kjente data om en trekant (sider, vinkler, etc.) finn dens gjenværende egenskaper. Trekanten kan lokaliseres på... ... Wikipedia
- (mat.). Hvis vi tegner rette linjer OA og 0B fra punkt O på et gitt plan, får vi vinkel AOB (fig. 1). Dritt. 1. Punkt 0 kalt vinkelens toppunkt, og rette linjer OA og 0B som sidene av vinkelen. Anta at to vinkler ΒΟΑ og Β 1 Ο 1 Α 1 er gitt. La oss pålegge dem slik at... ...
- (mat.). Tegner vi rette linjer OA og 0B fra punkt O på et gitt plan, får vi vinkel AOB (fig. 1). Dritt. 1. Punkt 0 kalt vinkelens toppunkt, og rette linjer OA og 0B som sidene av vinkelen. Anta at to vinkler ΒΟΑ og Β1Ο1Α1 er gitt. La oss legge dem over hverandre slik at toppunktene O... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Ephron
- (trigonometrisk undersøkelse), i navigasjon og topografisk undersøkelse, en metode for å bestemme avstand. Skyteområdet er delt inn i trekanter. Deretter måles bunnen av trekanten og tilstøtende vinkler ved hjelp av en THEODOLITE. Avstander fra endene av basen til... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok
Hjørne- Hjørner: 1 generell visning; 2 tilstøtende; 3 tilstøtende; 4 vertikal; 5 utvidet; 6 rette, skarpe og stumpe; 7 mellom kurvene; 8 mellom en rett linje og et plan; 9 mellom kryssende linjer (som ikke ligger i samme plan) linjer. VINKEL, geometrisk... ... Illustrert encyklopedisk ordbok
En enhet som brukes til å bestemme avstand uten å måle den direkte. D. brukes både i geodesi under undersøkelser for å fremskynde arbeidet i tilfeller der avstanden ikke kreves kjent veldig nøyaktig, og i militære anliggender ved skyting,... ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus og I.A. Ephron
En gren av matematikk som omhandler studiet av egenskapene til forskjellige figurer (punkter, linjer, vinkler, todimensjonale og tredimensjonale objekter), deres størrelser og relative posisjoner. For å lette undervisningen er geometri delt inn i planimetri og stereometri. I … … Colliers leksikon
- (gammelgresk παραλληλόγραμμον fra παράλληλος parallell og γραμμή linje) er en firkantet ... Wikipedia
I Uterus Livmoren (livmor, metra) er et uparret, hult muskulært organ der implantasjon og utvikling av embryoet skjer; lokalisert i kvinnens bekkenhule. Organogenesis M. utvikling i prenatal perioden begynner når fosterlengden er omtrent 65 mm ... Medisinsk leksikon
BLODKAR- BLODKAR. Innhold: I. Embryologi................... 389 S. Generell anatomisk disposisjon......... 397 Arterielt system........ . 397 Venesystem...... ....... 406 Tabell over arterier.............
LUNGER- LUNGER. Lungene (latinsk pulmones, gresk pleumon, pneumon), organet for luft-terrestrisk respirasjon (se) hos virveldyr. I. Sammenlignende anatomi. Lungene til virveldyr er allerede tilstede som ekstra organer for luftrespirasjon hos noen fisk (bipusting,... ... Great Medical Encyclopedia
Hva er en tilstøtende vinkel
Hjørne er en geometrisk figur (fig. 1), dannet av to stråler OA og OB (sidene av vinkelen), som kommer fra ett punkt O (vinkelens toppunkt).
TILSTÆNDENDE HJØRNER- to vinkler hvis sum er 180°. Hver av disse vinklene utfyller den andre til hele vinkelen.
Tilstøtende vinkler- (Agles adjacets) de som har felles topp og felles side. For det meste refererer dette navnet til vinkler som de resterende to sidene ligger i motsatte retninger av en rett linje trukket gjennom.
To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles, og de andre sidene av disse vinklene er komplementære halvlinjer.
ris. 2
I figur 2 er vinklene a1b og a2b tilstøtende. De har en felles side b, og sidene a1, a2 er ytterligere halvlinjer.
ris. 3
Figur 3 viser rett linje AB, punkt C ligger mellom punkt A og B. Punkt D er et punkt som ikke ligger på rett AB. Det viser seg at vinklene BCD og ACD er tilstøtende. De har en felles side-CD, og sidene CA og CB er ytterligere halvlinjer av rett linje AB, siden punktene A, B er atskilt med startpunktet C.
Tilstøtende vinkelteorem
Teorem: summen av tilstøtende vinkler er 180°
Bevis:
Vinklene a1b og a2b er tilstøtende (se fig. 2) Stråle b passerer mellom sidene a1 og a2 av den utfoldede vinkelen. Derfor er summen av vinklene a1b og a2b lik den utviklede vinkelen, det vil si 180°. Teoremet er bevist.
En vinkel lik 90° kalles en rett vinkel. Av teoremet om summen av tilstøtende vinkler følger det at en vinkel ved siden av en rett vinkel også er en rett vinkel. En vinkel mindre enn 90° kalles spiss, og en vinkel større enn 90° kalles stump. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180°, er vinkelen ved siden av en spiss vinkel en stump vinkel. En vinkel ved siden av en stump vinkel er en spiss vinkel.
Tilstøtende vinkler- to vinkler med felles toppunkt, hvor den ene siden er felles, og de resterende sidene ligger på samme rette linje (ikke sammenfallende). Summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Definisjon 1. En vinkel er en del av et plan avgrenset av to stråler med felles opphav.
Definisjon 1.1. En vinkel er en figur som består av et punkt - vinkelens toppunkt - og to forskjellige halvlinjer som utgår fra dette punktet - sidene av vinkelen.
For eksempel, vinkel BOC i Fig. 1 La oss først vurdere to kryssende linjer. Når rette linjer krysser hverandre, danner de vinkler. Det er spesielle tilfeller:
Definisjon 2. Hvis sidene av en vinkel er ytterligere halvlinjer av en rett linje, kalles vinkelen utviklet.
Definisjon 3. En rett vinkel er en vinkel som måler 90 grader.
Definisjon 4. En vinkel mindre enn 90 grader kalles en spiss vinkel.
Definisjon 5. En vinkel større enn 90 grader og mindre enn 180 grader kalles en stump vinkel.
kryssende linjer.
Definisjon 6. To vinkler, hvor den ene siden er felles og de andre sidene ligger på samme rette linje, kalles tilstøtende.
Definisjon 7. Vinkler hvis sider fortsetter hverandre kalles vertikale vinkler.
I figur 1:
tilstøtende: 1 og 2; 2 og 3; 3 og 4; 4 og 1
vertikal: 1 og 3; 2 og 4
Teorem 1. Summen av tilstøtende vinkler er 180 grader.
For bevis, vurder i fig. 4 tilstøtende vinkler AOB og BOC. Summen deres er den utviklede vinkel AOC. Derfor er summen av disse tilstøtende vinklene 180 grader.
ris. 4
Sammenhengen mellom matematikk og musikk
"Når jeg tenkte på kunst og vitenskap, på deres gjensidige forbindelser og motsetninger, kom jeg til den konklusjon at matematikk og musikk er på ytterpunktene i den menneskelige ånd, at all kreativ åndelig aktivitet til mennesket er begrenset og bestemt av disse to antipodene og at alt ligger mellom dem hva menneskeheten har skapt innen vitenskap og kunst."
G. Neuhaus
Det ser ut til at kunst er et veldig abstrakt område fra matematikk. Sammenhengen mellom matematikk og musikk bestemmes imidlertid både historisk og internt, til tross for at matematikk er den mest abstrakte av vitenskaper, og musikk er den mest abstrakte kunstformen.
Konsonans bestemmer den behagelige lyden til en streng
Dette musikalske systemet var basert på to lover som bærer navnene til to store vitenskapsmenn - Pythagoras og Archytas. Dette er lovene:
1. To klingende strenger bestemmer konsonans hvis lengdene deres er relatert til heltall som danner trekanttallet 10=1+2+3+4, dvs. som 1:2, 2:3, 3:4. Dessuten, jo mindre tallet n er i forholdet n:(n+1) (n=1,2,3), jo mer konsonant er det resulterende intervallet.
2. Vibrasjonsfrekvensen w til lydstrengen er omvendt proporsjonal med lengden l.
w = a:l,
hvor a er en koeffisient som karakteriserer de fysiske egenskapene til strengen.
Jeg vil også tilby deg en morsom parodi om en krangel mellom to matematikere =)
Geometri rundt oss
Geometri i livet vårt er av ingen liten betydning. På grunn av det faktum at når du ser deg rundt, vil det ikke være vanskelig å legge merke til at vi er omgitt av ulike geometriske former. Vi møter dem overalt: på gaten, i klasserommet, hjemme, i parken, i treningsstudioet, i skolens kafeteria, i grunnen uansett hvor vi er. Men temaet for dagens leksjon er tilstøtende kull. Så la oss se oss rundt og prøve å finne vinkler i dette miljøet. Hvis du ser nøye på vinduet, kan du se at noen tregrener danner tilstøtende hjørner, og i skilleveggene på porten kan du se mange vertikale vinkler. Gi dine egne eksempler på tilstøtende vinkler som du observerer i ditt miljø.
Oppgave 1.
1. Det ligger en bok på bordet på et bokstativ. Hvilken vinkel danner den?
2. Men studenten jobber på en bærbar datamaskin. Hvilken vinkel ser du her?
3. Hvilken vinkel danner fotorammen på stativet?
4. Tror du det er mulig for to tilstøtende vinkler å være like?
Oppgave 2.
Foran deg er en geometrisk figur. Hva slags figur er dette, nevne det? Nevn nå alle de tilstøtende vinklene du kan se på denne geometriske figuren.
Oppgave 3.
Her er et bilde av en tegning og maleri. Se nøye på dem og fortell meg hvilke typer fisk du ser på bildet, og hvilke vinkler du ser på bildet.
Problemløsning
1) Gitt to vinkler relatert til hverandre som 1: 2, og ved siden av dem - som 7: 5. Du må finne disse vinklene.2) Det er kjent at en av de tilstøtende vinklene er 4 ganger større enn den andre. Hva er de tilstøtende vinklene lik?
3) Det er nødvendig å finne tilstøtende vinkler, forutsatt at en av dem er 10 grader større enn den andre.
Matematisk diktat for å gjennomgå tidligere lært materiale
1) Fullfør tegningen: rette linjer a I b skjærer i punkt A. Merk den minste av de dannede vinklene med tallet 1, og de resterende vinklene - sekvensielt med tallene 2,3,4; de komplementære strålene til linje a er gjennom a1 og a2, og linje b er gjennom b1 og b2.2) Bruk den ferdige tegningen, skriv inn de nødvendige betydningene og forklaringene i hullene i teksten:
a) vinkel 1 og vinkel .... ved siden av fordi...
b) vinkel 1 og vinkel…. vertikal fordi...
c) hvis vinkel 1 = 60°, så vinkel 2 = ..., fordi...
d) hvis vinkel 1 = 60°, så er vinkel 3 = ..., fordi...
Løs problemer:
1. Kan summen av 3 vinkler dannet ved skjæringspunktet mellom 2 rette linjer lik 100°? 370°?
2. I figuren finner du alle par av tilstøtende vinkler. Og nå de vertikale vinklene. Nevn disse vinklene.
3. Du må finne en vinkel når den er tre ganger større enn den tilstøtende.
4. To rette linjer krysset hverandre. Som et resultat av dette krysset ble det dannet fire hjørner. Bestem verdien av noen av dem, forutsatt at:
a) summen av 2 av fire vinkler er 84°;
b) forskjellen mellom 2 vinkler er 45°;
c) en vinkel er 4 ganger mindre enn den andre;
d) summen av tre av disse vinklene er 290°.
Leksjonssammendrag
1. Nevn vinklene som dannes når 2 rette linjer krysser hverandre?
2. Nevn alle mulige vinkelpar i figuren og bestem deres type.
Lekser:
1. Finn forholdet mellom gradmålene til tilstøtende vinkler når en av dem er 54° større enn den andre.
2. Finn vinklene som dannes når 2 rette linjer krysser hverandre, forutsatt at en av vinklene er lik summen av 2 andre vinkler ved siden av den.
3. Det er nødvendig å finne tilstøtende vinkler når halveringslinjen til en av dem danner en vinkel med siden av den andre som er 60° større enn den andre vinkelen.
4. Forskjellen mellom 2 tilstøtende vinkler er lik en tredjedel av summen av disse to vinklene. Bestem verdiene til 2 tilstøtende vinkler.
5. Differansen og summen av 2 tilstøtende vinkler er i forholdet henholdsvis 1:5. Finn tilstøtende vinkler.
6. Forskjellen mellom to tilstøtende er 25 % av summen deres. Hvordan henger verdiene til 2 tilstøtende vinkler sammen? Bestem verdiene til 2 tilstøtende vinkler.
Spørsmål:
- Hva er en vinkel?
- Hvilke typer vinkler finnes?
- Hva er egenskapen til tilstøtende vinkler?
To rette linjer BA og BC (fig. 13), som krysser i samme punkt B, danner en vinkel i punkt B.
Vinkeldefinisjon. En vinkel er en ubestemt del av et plan avgrenset av to kryssende rette linjer. En vinkel er en størrelse som bestemmer helningen til en rett linje til en annen.
Sidene av hjørnet. De kryssende linjene kalles sidene av vinkelen.
Øverste hjørne. Skjæringspunktet mellom to linjer kalles vinkelens toppunkt. Størrelsen på vinkelen avhenger ikke av lengden på sidene, så sidene av vinkelen kan forlenges i det uendelige.
Vinkelnavn. en) Vinkler kalles med bokstaven i toppunktet; så vinkelen er jævla. 13 kalles vinkel B. b) Hvis det er flere vinkler på toppunktet, kalles vinklene tre bokstaver som står på toppunktet og dets to sider. I dette tilfellet blir bokstaven øverst uttalt og skrevet i midten.
Faen. 13 vinkel B kalles vinkel ABC. Linjene BA og BC er to sider, og punkt B er toppunktet til vinkelen.
Dermed er vinkel ABC vinkel B eller
vinkel ABC = vinkel B.
Vinkelskilt. Ordet vinkel er noen ganger erstattet med tegnet∠ .
Dermed er den tidligere likestillingen representert skriftlig:
I tilfellet der flere linjer kommer ut av et punkt, er det flere vinkler ved punkt B.
Faen. 14 rette linjer BA, BC, BD kommer ut av punkt B og ved toppunktet B er det vinkler ABC, CBD, ABD.
Tilstøtende vinkler. To vinkler kalles tilstøtende når de har et felles toppunkt, en felles side, og de to andre ligger på begge sider av fellessiden.
Vinkler ABC og CBD (fig. 14) er tilstøtende vinkler. De har et felles toppunkt B, en felles side BC, og to andre sider BA og BD ligger den ene over og den andre under fellessiden BC.
Vinkler endrer størrelse hvis helningen på den ene siden til den andre endres. Av to vinkler som har et felles toppunkt, kalles vinkelen som den andre vinkelen passer innenfor hovedvinkelen. På tegningen 14
ug. ABD > ang. ABC og ug. CBD< уг. ABD.
For å ha en ide om den gjensidige størrelsen av to vinkler som har forskjellige toppunkter, legges den ene vinkelen over den andre. Når de er lagt over hverandre, blir hjørnene deres kombinert på den ene siden, så vil retningen til den andre siden gjøre det mulig å sammenligne verdiene deres. For å sammenligne to vinkler ABC og DEF (fig. 15), er vinkel DEF lagt over vinkel ABC slik at siden EF går langs siden BC, punkt E sammenfaller med punkt B; da kan siden ED ta tre posisjoner: den kan falle sammen med siden BA, den kan falle innenfor og utenfor vinkelen ABC.
a) Hvis linje ED faller sammen med linje BA, kalles vinklene like
ug. ABC = ang. DEF.
b) Hvis linjen ED faller innenfor vinkel ABC og inntar posisjon BG, vil vinkel ABC være større enn vinkel DEF
ug. ABC > ang. DEF.
c) Hvis linjen ED faller utenfor vinkel ABC i retning BH, er vinkel ABC mindre enn vinkel DEF
ug. ABC< уг. DEF.
Addere, subtrahere, multiplisere og dele vinkler. To tilstøtende vinkler ABC og CBD (fig. 14) danner én vinkel ABC. Vinkel ABD kalles summen av vinklene ABC og CBD. Dette uttrykkes skriftlig av likestillingen:
∠ABD = ∠ABC + ∠CBD (a)
Fra likhet (a) følger likheten:
∠ABC = ∠ABD - ∠CBD
∠CBD = ∠ABD - ∠ABC,
dvs. vinkel ABC er forskjellen mellom vinklene ABD og CBD, og vinkel CBD er forskjellen mellom vinklene ABD og ABC.
Hvis det ved punkt O (fig. 16) er flere like tilstøtende vinkler, dvs. hvis
∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE,
da er vinkel AOC lik summen av vinklene AOB og BOC lik to vinkler AOB,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC, neste. ∠AOC = 2AOB.
Vinkel AOD er lik tre vinkler AOB
Omvendt er vinkel AOB halv vinkel AOC, en tredjedel vinkel AOD, en kvart vinkel AOE.
AOB = ½ AOC = 1/3 AOD = ¼ AOE.
Av dette utleder vi det vinkler som mengder kan ikke bare adderes og trekkes fra, men også multipliseres og divideres med et abstrakt tall.
Hvis av to tilstøtende vinkler ACD og DCB (fig. 17), to sider CA og CB ligger på samme rette linje, kalles de tilstøtende.
. Tilstøtende vinkler er de der den ene siden er felles og de to andre ligger på samme rette linje.
Hvis linjen CD, snur rundt punkt C, tar posisjon CE, vil vinkel ACD, avtagende, bli til vinkel ACE, og vinkel BCD, økende, vil bli til vinkel BCE. Linje CD, som fortsetter å rotere, kan ta en slik posisjon at to tilstøtende vinkler blir like. Når to tilstøtende vinkler ACD og DCB er like (fig. 18), kalles de rette vinkler.
I dette tilfellet kalles linje CD vinkelrett på linje AB eller rett og slett vinkelrett på linje AB.
På tegning 19 er en rett vinkel tegnet uten en annen ved siden av.
En rett vinkel er en av like tilstøtende vinkler.
En perpendikulær er en rett linje som danner en rett vinkel med en annen linje.
På tegning 18 kalles vinklene ACD og DCB, mens de forblir tilstøtende og like, rette vinkler. Linje DC vil være vinkelrett på linje AB. Dette gjensidige forholdet mellom to linjer uttrykkes noen ganger skriftlig: CD ⊥ AB.
Siden linjen AB også vil være vinkelrett på linjen CD, vil linjen AB og CD være vinkelrett på hverandre, dvs. hvis CD ⊥ AB, så AB ⊥ CD.
Vinkelrett såle. Punktet for gjensidig møte mellom to vinkelrette linjer kalles foten av vinkelrett.
Punkt C (fig. 18) er bunnen av den perpendikulære CD-en.
Ved hvert punkt på linjen AB kan du tegne en vinkelrett på linjen AB.
Å tegne en vinkelrett på en linje (AB) fra et punkt som ligger på linjen betyr å konstruere en vinkelrett. Å tegne en perpendikulær (DC) til en linje (AB) fra et punkt (D) som ligger utenfor linjen betyr å senke perpendikulæren(Figur 18).
Skrå linje . Enhver linje som ikke er vinkelrett på en annen kalles en linje som skråner til den.
På tegning 20 vil linjen CE være skråstilt mot linjen AB, og linjen CD vil være vinkelrett på linjen AB.
Vinkel ECB er mindre enn rett, og vinkel ACE er mer enn rett. Vinkel ECB kalles spiss og vinkel ACE kalles stump.
Akutt vinkel det er hver vinkel mindre enn en rett vinkel, A stump vinkel det er en vinkel større enn en rett vinkel.
Samme og ulikt vinkler. To spisse eller to stumpe vinkler kalles identiske, og to vinkler, en spiss og den andre stumpe, kalles motsatte.
Den skrå linjen CE danner (fig. 20) med den rette linjen AB to tilstøtende vinkler, hvorav den ene er mindre og den andre er større enn den rette vinkelen, det vil si at den ene er spiss og den andre er stump.
Teorem 3. Fra et punkt tatt på en rett linje kan bare en vinkelrett konstrueres til det.
Dana rett linje AB og punkt C på den (fig. 20).
Kreves for å bevise, at det er mulig å konstruere bare en vinkelrett på den.
Bevis. La oss anta at det er mulig å konstruere to perpendikulære (fig. 20) CD og CE fra punkt C til linje AB. I henhold til egenskapen til vinkelrett
ug. DCB = ang. ACD(a)
ug. BCE = ang. ESS.
Hvis vi bruker vinkelen ECD på den første delen av den siste ulikheten, får vi ulikheten
ug. BCE + ang. ECD > ang. ACE, eller ug. BCD > ang. ESS.
Erstatter ug i denne ulikheten. BCD ved vinkel ACD (a) lik den, får vi
ug. DCA > ang. ESS,
ulikheten er åpenbart absurd, fordi en del ikke kan være større enn sin helhet, derfor fører antagelsen om at to perpendikulære kan konstrueres til absurditet, derfor er den falsk. Usannheten i antagelsen er basert på betraktningen om at en feil konklusjon ikke kan trekkes fra en riktig posisjon, derfor er teoremet vårt sant.
Metoden for å bevise gyldigheten av et gitt teorem ved å påpeke umuligheten og absurditeten til enhver annen antagelse kalles metoden for bevis ved motsigelse eller metoden for reduksjon til absurditet.
Teorem 4. Alle rette vinkler er like.
Anta at vi har to par rette vinkler: ett par er bygd opp av vinklene ACD og DCB, og det andre er bygd opp av vinklene EGH og HGF, derfor CD ⊥ AB og HG ⊥ EF (fig. 21).
Du må bevise at rette vinkler er like.
Bevis. La oss legge linjen EF på linje AB med punkt G på punkt C, så vil linjen GH gå langs linjen CD, fordi fra punkt C kan bare en perpendikulær gjenopprettes, derfor rett vinkel DCB = rett vinkel HGF.
Konklusjon. En rett vinkel er en konstant verdi.
Måling av vinkler. Ved måling av vinkler tas en rett vinkel, som en konstant verdi, som en sammenligningsenhet. Verdien er angitt med bokstaven d.
I så fall
hver spiss vinkel< d,
hver stump vinkel > d.
Alle vinkler uttrykkes ved hjelp av rette vinkler. Så for eksempel sier de: en gitt vinkel er ½ d, 2/3 d, etc.
Teorem 5. Summen av to tilstøtende vinkler er lik to rette vinkler.
Tilstøtende vinkler ACD og DCB er gitt (fig. 22).
Vi må bevise at ACD + DCB = 2d.
Bevis. Fra punkt C konstruerer vi en perpendikulær på CE, da
ACD = ACE + ECD = d + ECD
DCB = ECB - ECD = d - ECD
Ved å legge til disse likhetene har vi:
ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (som er det som måtte bevises).
To tilstøtende vinkler utfyller hverandre til to rette vinkler og kalles derfor supplerende vinkler.
Det følger av teorem 5 konsekvens. Ett par tilstøtende vinkler er lik et annet par tilstøtende vinkler.
Teorem 6(det motsatte av setning 5). Hvis summen av to tilstøtende vinkler er lik to rette vinkler, så ligger de to andre sidene på samme rette linje.
La summen av to tilstøtende vinkler ACD og DCB være lik to rette vinkler (fig. 23).
Vi må bevise at ACB er en rett linje.
Bevis. La oss anta at ACB er en brutt linje og at fortsettelsen av linjen AC er linje CE, da
To mengder lik den samme tredjedelen er derfor like (aksiom 3).
ACD + DCB = ACD + DCE
hvor kommer det fra under sammentrekningen?
konklusjonen er absurd (delen er lik helheten, se aks. 1), derfor er linjen ACB en rett linje (som var det som måtte bevises).
Teorem 7. Summen av vinkler som har et toppunkt i samme punkt og er plassert på samme side av en rett linje er lik to rette vinkler.
Vinkler ACD, DCE, ECF, FCG, GCB er gitt, som har et felles toppunkt i punktet C og plassert på den ene siden av linjen AB (fig. 24).
Det kreves for å bevise det
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.
Bevis. VI vet at summen av to tilstøtende vinkler ACF og FCB er lik to rette vinkler (punkt 5).
Siden ACF = ACD + DCE + ECF og FCB = FCG + GCB, og deretter erstatte vinklene ACF og FCB med verdiene deres, finner vi:
ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (som er det som måtte bevises).
Teorem 8. Summen av alle vinkler rundt ett punkt er lik fire rette vinkler.
Oppgitt er vinklene AOB, BOC, COD, DOE, EOA, som har felles toppunkt O og er plassert rundt punktet O (fig. 25).
Det kreves for å bevise det
AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.
Bevis. La oss fortsette EO-siden i OG-retningen (fig. 25), så
Akkurat det samme
GOB + BOC + COD + DOE = 2d.
Ved å legge til disse likhetene har vi:
EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.
Siden AOG + GOB = AOB, da
EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (IKKE).
Vinkel ACB med vinkel DCE og vinkel BCD med vinkel ACE kalles vertikal (fig. 26).
Vertikale vinkler. Vertikale vinkler er de vinklene der sidene til den ene består av fortsettelsen av sidene til den andre vinkelen.
Teorem 9. Vertikale vinkler er like med hverandre.
De vertikale vinklene (tegning 26) ACB og DCE er gitt, samt BCD og ACE.
Du må bevise at ACB = DCE og BCD = ACE.
Bevis. Basert på teorem 5 gjelder følgende likheter:
ACB + BCD = 2d (som summen av to tilstøtende vinkler)
BCD + DCE = 2d
derfor,
ACB + BCD = BCD + DCE
hvorfra, subtrahere BCD med en lik vinkel, finner vi
På lignende måte er det bevist det
∠BCD = ∠ACE.
Equisecant (halveringslinje ) det er en linje som deler vinkelen i to.
På tegning 27 har BD en halveringslinje hvis ∠ABD = ∠DBC.
Teorem 10.
Tilstøtende vinkler ACB og BCD er gitt (Figur 28). Deres halveringslinje CF og CE halverer tilstøtende vinkler BCD og BCA, derav BCF = FCD, ACE = ECB.
Vi må bevise at EC ⊥ CF.
Bevis. Etter tilstand
ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD
Ved å legge til disse likhetene har vi:
ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).
Siden ACB + BCD = 2d, da
ECB + BCF = ½ · 2d = d.
Siden ECB + BCF = ECF, da
Vinkel ECF er rett vinkel, dvs. linjene CE og CF er gjensidig perpendikulære (CPH).
oppsummering av andre presentasjoner"Bestemmelse av parallelle linjer" - Selvstendig arbeid. Oppgaver. Prikk. Geometri leksjon. Tegn på parallelle linjer. Summen av ensidige vinkler. Forbedring av teorembevisende ferdigheter. Parallelle linjer. Velg tegninger med kryssende linjer. Problemløsning. Tegninger som viser parallelle stråler. Teorem. Vinkler. Sekant. Figurnummer. Bestemmelse av parallelle linjer.
«Prosjekt «Triangel»» - Planlagte læringsutbytte. Materialer for differensiert undervisning. Trykt materiale. Programvare. Metodiske oppgaver. Hvorfor trenger du å studere egenskapene til trekanter? Identifisere interesser og erfaringer til elevene selv. Informasjon om prosjektet. Innsamling og systematisering av informasjon om temaet. Kort oppsummering av prosjektet. Vurderingsplan. Hvilken trekant kan betraktes som den viktigste? Treningsaktiviteter.
"Geometriproblemer" 7. klasse - Vinkler. OE – halveringslinje. Seksjon AC. AOB = 45. BOC = 23. Grunnleggende geometrisk informasjon. EDK = 36. Seksjon FD. ABD = 100. Vinkelmåling. Segment AB. OC – halveringslinje. Måle segmenter. ABC = 72. Segment MP. Seksjon KE. OD – halveringslinje. AOB = 55. Vertikale vinkler. Segment AD. Seksjon DF. Tilstøtende hjørner. Seksjon KN.
"Trekantulikhetsproblemer" - Trekantulikhet. Diagonal. Lengden på en hvilken som helst side av trekanten. Motsigelse. Segment. Firkant. Triangel. Følger fra trekanten ulikhet. Punkter inne i en firkant. I en firkant er enhver side mindre enn summen av de andre. Sidene av en trekant. Heltall.
"Oppgaver på ferdige tegninger" - Bisector. Forhold. Vinkel på DEG. Bevis: FB ll AC. Oppgaver på ferdige tegninger. Finn: FM. Tegn på parallelle linjer. Bevis: a ll b. Finne. Bevis: AB ll DF. Bevis: AK er en halveringslinje. Finn parallelle linjer. Bevis: AC ll ВD. Cf-bisektor. Angi parallelle linjer. Finn forholdene under hvilke AB ll DC. Direkte. Sekant. Bevis: AB ll CD. Bevis: AB ll CD. Oppgave. Parallelle linjer.
"Geometri "Konstruksjonsproblemer"" - Konstruere en vinkel. Å dele et segment i to. Konstruere en vinkel som er lik en gitt. Byggeoppgaver. Linjal og kompass. Konstruksjon. Konstruksjon av en vinkelrett linje. Ønsket rette linje. Konstruksjon av en trekant. Konstruere halveringslinjen til en vinkel.
Hver vinkel, avhengig av størrelsen, har sitt eget navn:
| Vinkeltype | Størrelse i grader | Eksempel |
|---|---|---|
| Krydret | Mindre enn 90° | |
| Direkte | Lik 90°. I en tegning er en rett vinkel vanligvis betegnet med et symbol tegnet fra den ene siden av vinkelen til den andre. |
 |
| Sløv | Mer enn 90° men mindre enn 180° |  |
| Utvidet | Tilsvarer 180° En rett vinkel er lik summen av to rette vinkler, og en rett vinkel er halvparten av en rett vinkel. |
 |
| Konveks | Mer enn 180° men mindre enn 360° |  |
| Full | Tilsvarer 360° |  |
De to vinklene kalles ved siden av, hvis de har én side til felles, og de to andre sidene danner en rett linje:
Vinkler MOPP Og PON tilstøtende, siden strålen OP- den vanlige siden, og de to andre sidene - OM Og PÅ utgjør en rett linje.
Fellessiden av tilstøtende vinkler kalles skrå til rett, som de to andre sidene ligger på, bare i tilfelle når tilstøtende vinkler ikke er like med hverandre. Hvis tilstøtende vinkler er like, vil deres felles side være vinkelrett.
Summen av tilstøtende vinkler er 180°.
De to vinklene kalles vertikal, hvis sidene til en vinkel komplementerer sidene til den andre vinkelen til rette linjer:
Vinkler 1 og 3, samt vinkler 2 og 4, er vertikale.
Vertikale vinkler er like.
La oss bevise at de vertikale vinklene er like:
Summen av ∠1 og ∠2 er en rett vinkel. Og summen av ∠3 og ∠2 er en rett vinkel. Så disse to beløpene er like:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
I denne likheten er det et identisk begrep på venstre og høyre side - ∠2. Likestilling vil ikke bli krenket dersom dette begrepet til venstre og høyre utelates. Da får vi det.