Den fantastiske verden av fraktaler. Mystisk rot: Historien om fraktaler og deres anvendelser Levende fraktaler

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke hele omfanget av presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Forfattere:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sofia

Ledere:
Mogutova Tatyana Mikhailovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Introduksjon.

Teoretisk del av prosjektet:

• Historien om utviklingen av fraktal geometri.
• Konseptet med en fraktal.
• Typer fraktaler:

a) geometriske fraktaler, eksempler på geometriske fraktaler;
b) algebraiske fraktaler, eksempler på algebraiske fraktaler;
c) stokastiske fraktaler, eksempler.

• naturlige fraktaler.
• Praktisk bruk av fraktaler:
• i litteratur;
• innen telekommunikasjon;
• i medisin;
• innen arkitektur;
• i design;
• i økonomi;
• spill, filmer, musikk
• i naturvitenskap
• i fysikk;
• i biologi
• fraktaler for husmødre
• moderne malerier - fraktal grafikk.
• Fraktal grafikk.
• Rollen til fraktal geometri i livet er en hymne til fraktaler!

Praktisk del av prosjektet

• Opprettelse av det vitenskapelige verket "Reise inn i fraktalverdenen"
• Plassering på Internett.
• Deltakelse i olympiader, konkurranser.
• Lag dine egne fraktaler.
• Opprettelse av brosjyren "The Wonderful World of Fractals"
• Holder festivalen «The Amazing World of Fractals.

Introduksjon

Geometri omtales ofte som kald og tørr. En av grunnene er dens manglende evne til å beskrive alt som omgir oss: formen av en sky, et fjell, et tre eller en strand. Skyer er ikke kuler, fjell er ikke kjegler, kystlinjer er ikke sirkler, og skorpen er ikke jevn, og lynet beveger seg ikke i en rett linje. Med stor glede for oss lærte vi at i den moderne verden er det en ny geometri - geometrien til fraktaler.

Oppdagelsen av fraktaler har revolusjonert ikke bare geometri, men også fysikk, kjemi, biologi, på alle områder av livet vårt.

Prosjektrelevans:

• Rollen til fraktaler i den moderne verden er ganske stor
• Overbevisende argumenter for relevansen av studiet av fraktaler er bredden av deres anvendelse.

Forskningshypotese:

Fraktal geometri er et moderne, veldig interessant område av menneskelig kunnskap. Utseendet til fraktal geometri er bevis på menneskets pågående utvikling og utvidelsen av hans måter å kjenne verden på.

Målet med prosjektet:

Å studere teorien om fraktaler for å lage det vitenskapelige arbeidet "The Amazing World of Fractals" og utvikling og implementering på en datamaskin av algoritmer for å tegne fraktaler på et fly.

Prosjektmål:

• Å bli kjent med historien om fremveksten og utviklingen av fraktal geometri;
• For å studere typer fraktaler, deres anvendelse i den moderne verden.
• Kjør programmer for å lage fraktaler i programmeringsspråkene Pascal og Logo
• Lag et vitenskapelig arbeid om fraktaler, publiser det på Internett.
• Lag en brosjyre "The Wonderful World of Fractals"
• Å holde festivalen "The Amazing World of Fractals" for å gjøre skoleelever kjent med resultatene av arbeidet vårt.

Vi jobbet med prosjektet i 4 måneder.

De viktigste stadiene i arbeidet vårt:

• Innsamling av nødvendig informasjon: bruk av Internett, bøker, publikasjoner om dette emnet. (2 uker)
• Sortering av informasjon etter emne: systematisering og bestemmelse av rekkefølgen på skrivingen av arbeidet. Arbeidet tok 2 uker.
• Sammenstilling av et tekstverk: skriving av tekst, deldesign av systematisert informasjon. Det tok en måned.
• Lage en presentasjon: komprimere systematisert informasjon, bestemme strukturen til presentasjonen, dens opprettelse og design, og fant sted innen en måned.
• Lære et fraktalopprettingsprogram og lage dine egne fraktaler i programmeringsspråkene Pascal og Logo (til i dag)

Teoretisk del av prosjektet

Vi har studert historien til opprettelsen av fraktal geometri.

Interessen for fraktale gjenstander gjenopplivet på midten av 70-tallet av det 20. århundre.

Fraktalgeometriens fødsel er vanligvis forbundet med utgivelsen av Mandelbrots bok `The Fractal Geometry of Nature' i 1977. Hans arbeider brukte de vitenskapelige resultatene til andre forskere som arbeidet i perioden 1875-1925 innen samme felt (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Men bare i vår tid var det mulig å kombinere verkene deres til et enkelt system.

Så hva er en fraktal?

Fraktal - en geometrisk figur sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren som helhet.

En liten del av en fraktal inneholder informasjon om hele fraktalen. I dag brukes ordet "fraktal" oftest for å bety en grafisk representasjon av en struktur som ligner seg selv i større skala.

Fraktaler er delt inn i geometriske, geometriske og stokastiske.

Geometriske fraktaler kalles ellers klassiske. De er de mest visuelle, siden de har den såkalte rigide selvlikheten, som ikke endres når skalaen endres. Dette betyr at uansett hvor nært du zoomer inn på fraktalen, ser du fortsatt det samme mønsteret.

Her er de mest kjente eksemplene på geometriske fraktaler.

Snøfnugg Koch.

Oppfunnet i 1904 av den tyske matematikeren Helge von Koch.

For å bygge det, tas et enkelt segment, delt inn i tre like deler, og midtlenken erstattes av en likesidet trekant uten denne lenken. På neste trinn gjentar vi operasjonen for hvert av de fire resulterende segmentene. Som et resultat av den uendelige gjentakelsen av denne prosedyren, oppnås en fraktalkurve.

Durers femkant.

En fraktal ser ut som en haug med femkanter som er presset sammen. Faktisk er det dannet ved å bruke en femkant som initiator og likebenede trekanter, hvor forholdet mellom den største siden og den minste er nøyaktig lik det såkalte gylne snittet. Disse trekantene er kuttet fra midten av hver femkant, resulterer i en figur som ligner på 5 små femkanter limt til en stor.

Sierpinski serviett.

I 1915 kom den polske matematikeren Vaclav Sierpinski med et interessant objekt.

For å konstruere den tas en solid likesidet trekant. I det første trinnet fjernes en omvendt likesidet trekant fra midten. Det andre trinnet fjerner tre inverterte trekanter fra de tre gjenværende trekantene, og så videre.

Dragon Curve.

Oppfunnet av den italienske matematikeren Giuseppe Peano.

Sierpinski teppe.

En firkant tas, delt inn i ni like firkanter, hvor den midterste kastes ut, og samme operasjon gjentas med resten i det uendelige.

Den andre typen fraktaler er algebraiske fraktaler.

De har fått navnet sitt fordi de er bygget på grunnlag av algebraiske formler. Som et resultat av matematisk behandling av denne formelen, vises et punkt med en bestemt farge på skjermen. Resultatet er en merkelig figur der rette linjer blir til kurver, selvlikhetseffekter vises på forskjellige skalanivåer. Nesten hver prikk på dataskjermen er som en egen fraktal.

Eksempler på de mest kjente algebraiske fraktalene.

Mandelbrot sett.

Mandelbrot-sett er de vanligste blant algebraiske fraktaler. Den finnes i mange vitenskapelige tidsskrifter, bokomslag, postkort og dataskjermsparere. Denne fraktalen minner om en kardemaskin med glødende tre- og sirkelområder festet til den.

Julia sett.

Julia-settet ble oppfunnet av den franske matematikeren Gaston Julia. Ikke mindre kjent algebraisk fraktal.

Newtons bassenger.

Stokastiske fraktaler.

Fraktaler, under konstruksjonen av hvilke noen parametere endres tilfeldig i et iterativt system, kalles stokastiske. Begrepet "stokastisk" kommer fra det greske ordet for "gjetting".

Dette resulterer i gjenstander som ligner veldig på naturlige - asymmetriske trær, innrykkede kystlinjer, etc. Todimensjonale stokastiske fraktaler brukes i modellering av terrenget og havoverflaten.

Disse fraktalene brukes i modellering av terrenget og overflaten av havet, elektrolyseprosessen. Denne gruppen av fraktaler har blitt utbredt takket være arbeidet til Michael Barnsley fra Georgia Institute of Technology.
En typisk representant for denne klassen av fraktaler er "Plasma".

Det mest forståelige for oss er de såkalte naturlige fraktalene.

"Naturens store bok er skrevet på geometriens språk" (Galileo Galilei).

naturlige fraktaler.

• I naturen:
• Sjøstjerner og kråkeboller
• Blomster og planter (brokkoli, kål)
• Trekroner og planteblader
• Frukt (ananas)
• Sirkulasjonssystemet og bronkiene til mennesker og dyr
• I livløs natur:
• Grenser for geografiske objekter (land, regioner, byer)
• Frostige mønstre på vindusruter
• Drypstein, stalagmitter, helikitter.

Nesten alle naturlige formasjoner: trekroner, skyer, fjell, kystlinjer har en fraktal struktur.
Hva betyr det?

Hvis du ser på en fraktal gjenstand som en helhet, så på en del av den i forstørret skala, så på en del av denne delen, er det lett å se at de ser like ut.

Sjøfraktaler.

Blekksprut er et havbunnsdyr fra rekkefølgen av blekksprut.

Kroppene og sugekoppene på alle åtte tentaklene til dette dyret har en fraktal struktur.

En annen typisk representant for den fraktale undervannsverdenen er koraller.

Over 3500 varianter av koraller er kjent i naturen.

Grønn fraktal - bregneblader.

Bregneblader har formen av en fraktal figur - de er selv-lignende.

Bow er en fraktal som får deg til å gråte. Selvfølgelig er det en enkel fraktal: vanlige sirkler med forskjellige diametre, man kan til og med si en primitiv fraktal.

Et slående eksempel på en fraktal i naturen er "Romanescu", hun er også "romansk brokkoli" eller "blomkålkorall".

Blomkål- typisk fraktal.

Vurder strukturen til blomkål.

Hvis du klipper en av blomstene, er det åpenbart at den samme blomkålen forblir i hendene, bare av en mindre størrelse. Vi kan fortsette å kutte om og om igjen, selv under et mikroskop - men alt vi får er bittesmå kopier av blomkålen.

Matryoshka - suvenirleketøy er en typisk fraktal. Prinsippet om fraktalitet er åpenbart når alle figurene til en treleke er stilt opp på rad, og ikke nestet i hverandre.

Mennesket er en fraktal.

Et barn blir født, vokser, og denne prosessen er ledsaget av prinsippet om "selvlikhet", fraktalitet.

Omfanget av fraktaler er bredt.

Fraktaler i litteratur

Blant litterære verk er det de som har en tekstuell, strukturell eller fraktal karakter. I litterære fraktaler gjentas elementer av teksten i det uendelige:

Presten hadde hund
han elsket henne.
Hun spiste et stykke kjøtt
han drepte henne.
Begravd i bakken
Inskripsjonen skrev:
Presten hadde en hund...

«Her er huset.
som Jack bygde.
Og her er hveten.

I huset,
som Jack bygde
Og her er en munter meisefugl,
Som behendig stjeler hvete,
Som oppbevares i et mørkt skap
I huset,
som Jack bygde... .

Fraktaler i telekommunikasjon.

For å overføre data over avstander brukes fraktalformede antenner, noe som i stor grad reduserer størrelsen og vekten.

Fraktaler i medisin.

For tiden er fraktaler mye brukt i medisin. I seg selv består menneskekroppen av mange fraktale strukturer: sirkulasjonssystemet, muskler, bronkier, bronkiale veier i lungene, arterier.

Teorien om fraktaler brukes til analyse av elektrokardiogrammer.

Estimering av størrelsen og rytmene til den fraktale dimensjonen gjør det mulig på et tidligere stadium og med større nøyaktighet og informativitet å bedømme homeostaseforstyrrelser og utviklingen av spesifikke hjertesykdommer.

Røntgenbilder behandlet ved hjelp av fraktale algoritmer gir et bedre bilde, og følgelig bedre diagnostikk !!

Et annet område med aktiv bruk av fraktaler er gastroenterologi.

En ny forskningsmetode innen medisin, elektrogastroenterografi er en forskningsmetode som lar deg evaluere den bioelektriske aktiviteten i magen, tolvfingertarmen og andre deler av mage-tarmkanalen.

Fraktaler i arkitektur.

Det fraktale prinsippet for utvikling av naturlige og geometriske objekter trenger dypt inn i arkitekturen både som et bilde av den ytre løsningen til et objekt og som et internt prinsipp for arkitektonisk forming.

Designere fra hele verden startetå bruke i sitt arbeid fantastiske fraktale strukturer, først nylig beskrevet av fremtredende matematikere.

Bruken av fraktaler har tatt nesten alle områder av moderne design til et nytt nivå.

Innføringen av fraktale strukturer har i mange tilfeller økt både de visuelle og funksjonelle aspektene ved designet.

Designer Takeshi Miyakawa drømte om å bli matematiker som barn.

Hvordan ellers å forklare dette møblet: Fractal 23 nattbordet inneholder 23 skuffer i forskjellige størrelser og proporsjoner, som på en eller annen måte klarer å komme overens med hverandre inne i den kubiske kroppen, og fyller nesten all plass tilgjengelig for dem.

Fraktaler i økonomi.

Nylig har fraktaler blitt populært blant økonomer for å analysere forløpet til børser, valuta og handelsmarkeder.
Fraktaler dukker opp på markedet ganske ofte.

Fraktaler i spill.

I dag, i mange spill (kanskje det mest slående eksemplet på Minecraft), hvor det er ulike typer naturlige landskap, brukes fraktale algoritmer på en eller annen måte. Det er laget et stort antall programmer for å generere landskap og landskap basert på fraktale algoritmer.

Fraktaler på kino.

På kino brukes en fraktalalgoritme for å skape ulike fantastiske landskap. Fraktal geometri lar VFX-artister enkelt lage objekter som skyer, røyk, flammer, stjernehimmel og mer. Hva kan vi si om fraktal animasjon da, det er et virkelig fantastisk syn.

Elektronisk musikk.

Opptoget av fraktal animasjon er vellykket brukt av VJs. Spesielt ofte brukes slike videoinstallasjoner på konserter med utøvere av elektronisk musikk.

Naturvitenskap.

Svært ofte brukes fraktaler i geologi og geofysikk. Det er ingen hemmelighet at kysten av øyer og kontinenter har en viss fraktal dimensjon, vel vitende om at du kan beregne lengden på kysten veldig nøyaktig.

Studiet av forkastningstektonikk og seismisitet blir noen ganger også studert ved bruk av fraktale algoritmer.

Geofysikk bruker fraktaler og fraktalanalyse for å studere magnetfeltanomalier, for å studere forplantningen av bølger og oscillasjoner i elastiske medier, for å studere klima og mange andre ting.

Fraktaler i fysikk.

Fraktaler er mye brukt i fysikk. I faststofffysikk gjør fraktale algoritmer det mulig å nøyaktig beskrive og forutsi egenskapene til solide, porøse, svampete legemer og aerogeler. Dette hjelper til med å lage nye materialer med uvanlige og nyttige egenskaper.
Et eksempel på et solid legeme er krystaller.

Studiet av turbulens i strømmer tilpasser seg veldig bra til fraktaler.

Overgangen til en fraktal representasjon letter arbeidet til ingeniører og fysikere, slik at de bedre kan forstå dynamikken til komplekse systemer.
Flammer kan også modelleres ved bruk av fraktaler.

Fraktaler i biologi.

I biologi brukes de til å modellere populasjoner og for å beskrive systemer av indre organer (system av blodkar). Etter opprettelsen av Koch-kurven ble det foreslått å bruke den ved beregning av lengden på kystlinjen.

Fraktaler for husmødre.

Det er lett å overføre teorien om fraktaler til hjemmet, inkludert kjøkkenet.

Alt kan være resultatet av applikasjonen: fraktale øredobber, fraktal velsmakende lever og mye mer. Du trenger bare å koble kunnskap og oppfinnsomhet!

Fraktal grafikk er mye brukt i den moderne verden. Bilder er populære - resultatet av fraktal grafikk.

Og dette er ingen tilfeldighet. Beundre skjønnheten til fraktal grafikk!

Praktisk del av prosjektet

• Laget det vitenskapelige verket "Journey into the world of fraktals"
• Studerte programmer for å lage fraktaler i programmeringsspråkene Pascal og Logo
• Lag dine egne fraktaler.
• Vi laget "Sierpinskis serviett" og "Sierpinskis teppe" med egne hender
• Laget "fraktale øredobber"
• Laget en serie malerier "Wonders of fraktal graphics"
• Publiserte verket "Journey into the world of fraktals" på Internett.
• De deltok med arbeidet "Reise inn i fraktalverdenen" i VII All-Russian Olympiad for skolebarn og studenter "Science 2.0" i faget "Matematikk". De tok førsteplassen.
• De deltok med verket «Reise til fraktalens verden» i den all-russiske konkurransen «Store funn og oppfinnelser». De tok førsteplassen.
• De deltok med verket "Reise til fraktalverdenen" i den VIII all-russiske olympiaden for skolebarn og studenter "Jeg er en forsker" i emnet matematikk. De tok førsteplassen.
• Laget en presentasjon "The amazing world of fraktals"
• Laget brosjyrer "Anvendelse av fraktaler" og "Fraktaler rundt oss"
• Vi holdt festivalen «The Amazing World of Fractals» for elever i klasse 8-11»

Så vi kan si med full tillit om den enorme praktiske anvendelsen av fraktaler og fraktale algoritmer i dag.

Utvalget av områder hvor fraktaler brukes er svært omfattende og variert.

Og helt sikkert, i nær fremtid vil fraktaler, fraktal geometri, bli nær og forståelig for hver enkelt av oss. Vi kan ikke klare oss uten dem i livene våre!

La oss håpe at fremveksten av fraktal geometri er bevis på den pågående utviklingen av mennesket og utvidelsen av dets måter å kjenne og forstå verden på. Kanskje våre barn også enkelt og meningsfullt vil operere med begrepene fraktaler og ikke-lineær dynamikk, slik vi opererer med begrepene klassisk fysikk, euklidisk geometri.

Resultater av prosjektet

• Vi ble kjent med historien om fremveksten og utviklingen av fraktal geometri;
• Vi studerte typene fraktaler, deres anvendelse i den moderne verden.
• Vi laget våre egne fraktaler i programmeringsspråkene Pascal og Logo
• Laget et vitenskapelig arbeid om fraktaler.
• Laget brosjyrer "Fraktaler rundt oss" og "Anvendelse av fraktaler"
• Vi holdt festivalen «The Amazing World of Fractals» for elever i 8.-11.

fraktaler i naturen

fraktal(lat. fraktus- knust) - et begrep som betyr en geometrisk figur med egenskapen til selvlikhet, det vil si sammensatt av flere deler, som hver er lik hele figuren som helhet.

Naturen skaper ofte fantastiske og vakre fraktaler, med perfekt geometri og en slik harmoni at du rett og slett fryser av beundring.
Fra gigantiske fjell til det vi spiser til middag, kan du se perfekt harmoni overalt.
sjøskjell
Nautilus er et av de mest kjente eksemplene på fraktaler i naturen.

Snøfnugg

Lyn
Lyn skremmer og skremmer og gleder seg samtidig over sin skjønnhet. Fraktalene skapt av lynet er ikke tilfeldige eller regelmessige.

Romanessa
Denne spesielle typen brokkoli, den korsblomstrede og deilige fetteren til kål, er en spesielt symmetrisk fraktal. Du kan forberede den for din favoritt matematikklærer.

Fern
Bregnen er et godt eksempel på en fraktal blant floraen.

Dronning Anne Lace
Wild Carrot Queen Anne's Lace er et flott eksempel på en floral fraktal. Hver konstellasjon kopieres nøyaktig likt, bare mindre. Bildet er tatt nedenfra for å se det i all sin prakt.

Brokkoli
Selv om brokkoli ikke er så imponerende geometrisk som romanessu, er den også fraktal.

påfugl
Påfugler er kjent for alle for sin fargerike fjærdrakt, der solide fraktaler er skjult. Har du noen gang sett en albinopåfugl? Se

En ananas
Ananas - en uvanlig frukt, det er faktisk en fraktal. Selv om den ofte er assosiert med Hawaii, er frukten hjemmehørende i det sørlige Brasil.

Skyer
Se ut av vinduet nå. Nesten når som helst kan du se fraktaler på himmelen.

Krystaller
Is, frostige mønstre på vinduene er også fraktaler

Fjell
Fjellkløfter, kystlinjer, selv om de er vilkårlige langs linjene, er også fraktale

Trær og blader
Fra det forstørrede bildet av et blad, til grenene på et tre, kan fraktaler finnes i alt.

Kystlinje

Separate fragmenter av kysten skaper fraktalitet. Og dette er Florida

Elver og fjorder
Fra vest i USA til isfjordene i Norge kan flyreisende se alt. Og takk til noen av dere for at dere tok dere tid til å fotografere denne skjønnheten.

Kråkeboller og sjøstjerner

Kråkeboller - så små og kompakte, som om de kom ut under hånden til en dyktig gullsmed. Men hvem vil overgå naturen? Og sjøstjernene er som en refleksjon av himmelen

Stalagmitter og stalaktitter

Mens stalagmittene stiger opp fra bakken, trekkes dryppsteinene mot den.

For å forstå hva en fraktal er, bør man starte debriefingen fra matematikkens posisjon, men før vi fordyper oss i de eksakte vitenskapene, filosoferer vi litt. Hver person har en naturlig nysgjerrighet, takket være hvilken han lærer verden rundt seg. Ofte prøver han i sitt ønske om kunnskap å operere med logikk i sine vurderinger. Så ved å analysere prosessene som finner sted rundt, prøver han å beregne sammenhengene og utlede visse mønstre. De største hjernene på planeten er opptatt med å løse disse problemene. Grovt sett leter forskerne våre etter mønstre der de ikke er, og ikke burde være det. Likevel, selv i kaos er det en sammenheng mellom visse hendelser. Denne forbindelsen er fraktalen. Som et eksempel, tenk på en brukket gren som ligger på veien. Hvis vi ser nøye på det, vil vi se at det, med alle sine greiner og knuter, selv ser ut som et tre. Denne likheten av en separat del med en enkelt helhet vitner om det såkalte prinsippet om rekursiv selvlikhet. Fraktaler i naturen kan finnes hele tiden, fordi mange uorganiske og organiske former dannes på lignende måte. Dette er skyer, og havskjell, og snegleskjell, og trekroner, og til og med sirkulasjonssystemet. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse tilfeldige formene kan enkelt beskrives av fraktalalgoritmen. Her kommer vi til å vurdere hva en fraktal er fra de eksakte vitenskapenes ståsted.

Noen tørre fakta

Selve ordet "fraktal" er oversatt fra latin som "delvis", "delt", "fragmentert", og når det gjelder innholdet i dette begrepet, eksisterer ikke ordlyden som sådan. Vanligvis blir det behandlet som et selvlikt sett, en del av helheten, som gjentas av strukturen på mikronivå. Dette begrepet ble laget på syttitallet av det tjuende århundre av Benoit Mandelbrot, som er anerkjent som faren til fraktal geometri. I dag betyr konseptet fraktal en grafisk representasjon av en viss struktur, som, når den forstørres, vil ligne seg selv. Det matematiske grunnlaget for opprettelsen av denne teorien ble imidlertid lagt allerede før fødselen til Mandelbrot selv, men den kunne ikke utvikle seg før elektroniske datamaskiner dukket opp.

Historisk referanse, eller hvordan det hele begynte

På begynnelsen av 1800- og 1900-tallet var studiet av fraktalers natur episodisk. Dette skyldes at matematikere foretrakk å studere objekter som kan undersøkes ut fra generelle teorier og metoder. I 1872 konstruerte den tyske matematikeren K. Weierstrass et eksempel på en kontinuerlig funksjon som ikke kan differensieres noe sted. Denne konstruksjonen viste seg imidlertid å være helt abstrakt og vanskelig å forstå. Deretter kom svensken Helge von Koch, som i 1904 bygde en sammenhengende kurve som ikke har tangent noen steder. Det er ganske enkelt å tegne, og som det viste seg, er det preget av fraktale egenskaper. En av variantene av denne kurven ble oppkalt etter forfatteren - "Kochs snøfnugg". Videre ble ideen om selvlikhet mellom figurer utviklet av den fremtidige mentoren til B. Mandelbrot, franskmannen Paul Levy. I 1938 publiserte han papiret "Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Like a Whole". I den beskrev han en ny art - Levy C-kurven. Alle de ovennevnte figurene refererer betinget til en slik form som geometriske fraktaler.

Dynamiske eller algebraiske fraktaler

Mandelbrot-settet tilhører denne klassen. De franske matematikerne Pierre Fatou og Gaston Julia ble de første forskerne i denne retningen. I 1918 publiserte Julia et papir basert på studiet av iterasjoner av rasjonelle komplekse funksjoner. Her beskrev han en familie av fraktaler som er nært beslektet med Mandelbrot-settet. Til tross for at dette verket glorifiserte forfatteren blant matematikere, ble det raskt glemt. Og bare et halvt århundre senere, takket være datamaskiner, fikk Julias arbeid et nytt liv. Datamaskiner gjorde det mulig å synliggjøre for enhver person skjønnheten og rikdommen i fraktalverdenen som matematikere kunne "se" ved å vise dem gjennom funksjoner. Mandelbrot var den første som brukte en datamaskin til å utføre beregninger (manuelt er et slikt volum umulig å utføre) som gjorde det mulig å bygge et bilde av disse figurene.

Mann med romlig fantasi

Mandelbrot begynte sin vitenskapelige karriere ved IBM Research Center. Ved å studere mulighetene for dataoverføring over lange avstander, ble forskere møtt med store tap som oppsto på grunn av støyinterferens. Benoit lette etter måter å løse dette problemet på. Ved å se gjennom måleresultatene trakk han oppmerksomheten til et merkelig mønster, nemlig: støygrafene så like ut på forskjellige tidsskalaer. Et lignende bilde ble observert både i en periode på en dag og i syv dager, eller i en time. Benoit Mandelbrot selv gjentok ofte at han ikke jobber med formler, men leker med bilder. Denne forskeren ble preget av fantasifull tenkning, han oversatte ethvert algebraisk problem til et geometrisk område, der det riktige svaret er åpenbart. Så det er ikke overraskende at en slik person, preget av rik romlig tenkning, ble faren til fraktal geometri. Tross alt kan bevisstheten om denne figuren bare komme når du studerer tegningene og tenker på betydningen av disse merkelige virvlene som danner mønsteret. Fraktale tegninger har ikke identiske elementer, men de er like i enhver skala.

Julia - Mandelbrot

En av de første tegningene av denne figuren var en grafisk tolkning av settet, som ble født takket være arbeidet til Gaston Julia og ble ferdigstilt av Mandelbrot. Gaston prøvde å forestille seg hvordan et sett ser ut når det er bygget fra en enkel formel som gjentas av en tilbakemeldingssløyfe. La oss prøve å forklare hva som er sagt på menneskelig språk, så å si på fingrene. For en spesifikk numerisk verdi, ved å bruke formelen, finner vi en ny verdi. Vi erstatter det i formelen og finner følgende. Resultatet er en stor tallsekvens. For å representere et slikt sett, er det nødvendig å utføre denne operasjonen et stort antall ganger: hundrevis, tusenvis, millioner. Dette er hva Benoit gjorde. Han behandlet sekvensen og overførte resultatene til grafisk form. Deretter farget han den resulterende figuren (hver farge tilsvarer et visst antall iterasjoner). Dette grafiske bildet kalles Mandelbrot fraktalen.

L. Carpenter: kunst skapt av naturen

Teorien om fraktaler fant raskt praktisk anvendelse. Siden det er veldig nært knyttet til visualisering av selvliknende bilder, var de første som tok i bruk prinsippene og algoritmene for å konstruere disse uvanlige formene kunstnere. Den første av disse var den fremtidige grunnleggeren av Pixar-studioet Lauren Carpenter. Mens han jobbet med presentasjonen av flyprototyper, kom han på ideen om å bruke bildet av fjell som bakgrunn. I dag kan nesten alle databrukere takle en slik oppgave, og på syttitallet av forrige århundre var ikke datamaskiner i stand til å utføre slike prosesser, fordi det ikke fantes grafiske redaktører og applikasjoner for tredimensjonal grafikk på den tiden. Loren kom over Mandelbrots fraktaler: form, tilfeldighet og dimensjon. I den ga Benois mange eksempler, og viste at det er fraktaler i naturen (fiva), han beskrev deres forskjellige former og beviste at de lett kan beskrives med matematiske uttrykk. Matematikeren siterte denne analogien som et argument for nytten av teorien han utviklet som svar på en byge av kritikk fra kollegene. De hevdet at en fraktal bare er et vakkert bilde uten verdi, et biprodukt av elektroniske maskiner. Carpenter bestemte seg for å prøve denne metoden i praksis. Etter å ha studert boken nøye, begynte den fremtidige animatøren å lete etter en måte å implementere fraktalgeometri i datagrafikk. Det tok ham bare tre dager å gjengi et fullstendig realistisk bilde av fjellandskapet på datamaskinen. Og i dag er dette prinsippet mye brukt. Som det viste seg, tar det ikke mye tid og krefter å lage fraktaler.

Snekkerløsning

Prinsippet som ble brukt av Lauren viste seg å være enkelt. Den består i å dele større geometriske former i mindre elementer, og de i lignende mindre, og så videre. Carpenter, ved hjelp av store trekanter, knuste dem til 4 små, og så videre, til han fikk et realistisk fjellandskap. Dermed ble han den første kunstneren som brukte fraktalalgoritmen i datagrafikk for å konstruere det nødvendige bildet. I dag brukes dette prinsippet til å simulere ulike realistiske naturformer.

Den første 3D-visualiseringen basert på fraktalalgoritmen

Noen år senere brukte Lauren arbeidet sitt i et storstilt prosjekt - en animert video Vol Libre, vist på Siggraph i 1980. Denne videoen sjokkerte mange, og skaperen ble invitert til å jobbe på Lucasfilm. Her var animatøren i stand til å realisere seg selv fullt ut, han skapte tredimensjonale landskap (hele planeten) for spillefilmen "Star Trek". Ethvert moderne program ("Fractals") eller applikasjon for å lage tredimensjonal grafikk (Terragen, Vue, Bryce) bruker den samme algoritmen for modellering av teksturer og overflater.

Tom Beddard

En tidligere laserfysiker og nå digital kunstner og kunstner, skapte Beddard en serie svært spennende geometriske former som han kalte Faberges fraktaler. Utad ligner de de dekorative eggene til en russisk gullsmed, de har det samme strålende intrikate mønsteret. Beddard brukte en malmetode for å lage sine digitale gjengivelser av modellene. De resulterende produktene er slående i sin skjønnhet. Selv om mange nekter å sammenligne et håndlaget produkt med et dataprogram, må det innrømmes at de resulterende formene er uvanlig vakre. Høydepunktet er at hvem som helst kan bygge en slik fraktal ved hjelp av WebGL-programvarebiblioteket. Den lar deg utforske ulike fraktale strukturer i sanntid.

fraktaler i naturen

Få mennesker legger merke til, men disse fantastiske figurene er overalt. Naturen er bygd opp av selvliknende figurer, vi legger bare ikke merke til det. Det er nok å se gjennom et forstørrelsesglass på huden vår eller et blad av et tre, og vi vil se fraktaler. Eller ta for eksempel en ananas eller til og med en påfuglhale - de består av lignende figurer. Og brokkolivarianten Romanescu er generelt slående i sitt utseende, fordi den virkelig kan kalles et naturmirakel.

Musikalsk pause

Det viser seg at fraktaler ikke bare er geometriske former, de kan også være lyder. Så musikeren Jonathan Colton skriver musikk ved hjelp av fraktale algoritmer. Han hevder at en slik melodi tilsvarer naturlig harmoni. Komponisten publiserer alle verkene sine under CreativeCommons Attribution-Noncommercial-lisensen, som sørger for gratis distribusjon, kopiering, overføring av verk av andre personer.

Fraktal indikator

Denne teknikken har funnet en svært uventet anvendelse. På grunnlag av det ble et verktøy for å analysere børsmarkedet opprettet, og som et resultat begynte det å bli brukt i Forex-markedet. Nå finnes fraktalindikatoren på alle handelsplattformer og brukes i en handelsteknikk som kalles et prisutbrudd. Bill Williams utviklet denne teknikken. Ettersom forfatteren kommenterer oppfinnelsen sin, er denne algoritmen en kombinasjon av flere "stearinlys", der den sentrale reflekterer maksimum eller omvendt minimum ekstrempunkt.

Endelig

Så vi har vurdert hva en fraktal er. Det viser seg at i kaoset som omgir oss, faktisk finnes det ideelle former. Naturen er den beste arkitekten, den ideelle byggherren og ingeniøren. Det er ordnet veldig logisk, og hvis vi ikke finner et mønster, betyr ikke dette at det ikke eksisterer. Kanskje du må se på en annen skala. Vi kan med sikkerhet si at fraktaler fortsatt holder på mange hemmeligheter som vi ennå ikke har oppdaget.

Laget av 7. klasse elev Polina Karpyuk

Prioda er laget av selvlignende former, vi legger bare ikke merke til det. I dette galleriet har vi samlet bilder der fraktalitet er godt synlig.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

For å bruke forhåndsvisningen av presentasjoner, opprett en Google-konto (konto) og logg på: https://accounts.google.com

Bildetekster:

Fraktaler i naturen Fullført av: elev av klasse 7 "B" Polina Karpyuk Leder: Molchanova Irina Pavlovna Rubtsovsk-2015

Matematikk, riktig sett på, gjenspeiler ikke bare sannhet, men uforlignelig skjønnhet. Bertrand Russell

Hva har et tre, en strand, en sky eller blodårer i hånden vår til felles? Det er én egenskap ved strukturen som er iboende i alle de oppførte objektene: de er seg selv. Fra grenen, så vel som fra stammen til et tre, avgår mindre prosesser, fra dem - enda mindre, etc., det vil si at en gren ligner hele treet. Sirkulasjonssystemet er ordnet på en lignende måte: arterioler avgår fra arteriene, og fra dem - de minste kapillærene gjennom hvilke oksygen kommer inn i organer og vev. Den amerikanske matematikeren Benoit Mandelbrot kalte denne egenskapen til objekter fraktalitet, og slike objekter selv - fraktaler. Selve ordet "fraktal" er oversatt fra latin som "delvis", "delt", "fragmentert", og når det gjelder innholdet i dette begrepet, er det ingen ordlyd som sådan. Vanligvis blir det behandlet som et selvlikt sett, en del av helheten, som gjentas av strukturen på mikronivå. .

Romfotografier av terrestriske landskap gir ofte utmerkede eksempler på fraktaler.

Kystlinjer er vanligvis fraktale i form, men varierer i grad av innrykk. Dette eksemplet viser to karakteristiske egenskaper til naturlige fraktaler: Separate kanaler er ikke en kopi av hverandre, men har lignende krumlinjede konturer, som om de var tegnet med samme mønster. Store kanaler er like i omriss som små og veldig små kanaler. Øker vi for eksempel nedre venstre hjørne av bildet, får vi noe som ligner på hele bildet

Samspillet mellom vann og jord gir opphav til fraktale strukturer av landskap - enten det er fjell, elver eller kyster.

Sannsynligvis kjenner alle bildet av den japanske kunstneren Hokusai "Big Wave", der en tsunamibølge er avbildet mot Fujiyamas bakteppe. Hvis du ser på dette bildet, vil du legge merke til at kunstneren brukte en fraktal når han tegnet toppen av en bølge, som om den bestod av mange rovvannpoter. Derfor blir dette bildet ofte brukt som illustrasjon for bøker om kaosteori, fraktaler.

Når en sanddyne eroderes av vann, gjentar den i liten skala det som gir fraktal form til store terrestriske landskap.

En lynutladning er ett eksempel på naturlige fraktaler.

Dette bildet illustrerer ikke bare fraktaliteten til trekroner, det fører til en annen interessant betraktning: skogen som et biologisk samfunn er også en fraktal. Individuelle trær - store og små - fungerer da som grener av fraktalen. De er like, men gjentar ikke hverandre.

Bladårer er en flat naturlig fraktal. For hver plante er det karakteristiske mønsteret unikt, akkurat som papillærmønsteret på en menneskehånd er unikt. Goethe (poet og vitenskapsmann) mente at bladet er den mest uttrykksfulle delen av planten, noe som gjenspeiler hele dens morfologi.

Bregner er et eksempel på naturlige fraktaler som ligner veldig på datafraktaler. Samtidig er de også interessante ved at bregner er en av de mest evolusjonært eldgamle plantene, sammen med ulike moser og andre lavere planter.

Dette er nok et kjent og veldig imponerende eksempel på en naturlig fraktal som har matematisk distinkte former. Det er minst tre nivåer av selv-lignende geniale pyramider Romanesco kål

En magisk vakker fraktal som godt kunne inspirere en kunstner. I mellomtiden, se nærmere: det er bare en stram haug med kålblader.

Dette er nysgjerrige eksempler på fraktal struktur i mineralverdenen. Apatittkarbonat Gullklump er en utsøkt skatt laget av naturen selv.

Har du noen gang tenkt at vi bokstavelig talt tenker i fraktaler? Det er noe å tenke på her - hvem vil hevde at hjernen er en av naturens mest fantastiske og unike kreasjoner. Og det viser seg at den utad har de samme fraktale egenskapene som atmosfæriske skyer eller brennesle rotsystem.

Alt er enda mer komplisert her: to separate fraktaltrær er sammenflettet - venøst ​​blod tilføres en om gangen, og oksygenanriket arterielt blod tappes av det andre. Og til sammen er lungen et utrolig komplekst system av tre fraktaler - en respiratorisk og to sirkulatorisk.

Netthinnen inneholder lysfølsomme celler som lar oss se. På dette bildet er de gulgrønne. De danner et nettverk (retina), men dette nettverket er kaotisk og fraktalt.

Dette er magen til en gris. Flekkene i fargen hans ser ut til å også følge fraktale regler. Dette er et interessant emne og, viktigst av alt, har mange applikasjoner, inkludert militære. Etter hvilke regler skal et kamuflasjemønster tegnes slik at dets bærer smelter sammen med naturlige former - landskap og vegetasjon?

Takk for din oppmerksomhet!!!

Hvordan fraktalen ble oppdaget

De matematiske formene kjent som fraktaler tilhører geniet til den eminente vitenskapsmannen Benoit Mandelbrot. I det meste av livet underviste han i matematikk ved Yale University i USA. I 1977 - 1982 publiserte Mandelbrot vitenskapelige artikler viet til studiet av "fraktal geometri" eller "naturgeometri", der han brøt ned tilsynelatende tilfeldige matematiske former til bestanddeler som ved nærmere undersøkelse viste seg å være repeterende - som beviste eksistensen av et bestemt mønster for kopiering. Mandelbrots oppdagelse fikk betydelige konsekvenser i utviklingen av fysikk, astronomi og biologi.

fraktaler i naturen

I naturen har mange gjenstander fraktale egenskaper, for eksempel: trekroner, blomkål, skyer, sirkulasjons- og alveolære systemer hos mennesker og dyr, krystaller, snøflak, hvis elementer står på linje i en kompleks struktur, kyster (fraktalkonseptet tillot forskere å måle kystlinjen til de britiske øyer og andre tidligere umålbare objekter).

Vurder strukturen til blomkål. Hvis du klipper en av blomstene, er det åpenbart at den samme blomkålen forblir i hendene, bare av en mindre størrelse. Vi kan fortsette å kutte om og om igjen, selv under et mikroskop - men alt vi får er bittesmå kopier av blomkålen. I dette enkleste tilfellet inneholder selv en liten del av fraktalen informasjon om hele den endelige strukturen.

Fraktaler i digital teknologi

Fraktal geometri har gitt et uvurderlig bidrag til utviklingen av nye teknologier innen digital musikk, og også gjort det mulig å komprimere digitale bilder. Eksisterende fraktale bildekomprimeringsalgoritmer er basert på prinsippet om å lagre et komprimerende bilde i stedet for selve det digitale bildet. For et komprimeringsbilde forblir hovedbildet et fast punkt. Microsoft brukte en av variantene av denne algoritmen når de publiserte leksikonet, men av en eller annen grunn ble denne ideen ikke mye brukt.

Det matematiske grunnlaget for fraktal grafikk er fraktal geometri, hvor metodene for å konstruere "bilde-etterfølgere" er basert på prinsippet om arv fra de opprinnelige "objekter-foreldre". Konseptene fraktal geometri og fraktal grafikk i seg selv dukket opp for bare rundt 30 år siden, men har allerede blitt godt etablert i hverdagen til datadesignere og matematikere.

De grunnleggende konseptene for fraktal datagrafikk er:

• Fraktal trekant - fraktal figur - fraktal objekt (hierarki i synkende rekkefølge)
• fraktal linje
• fraktal sammensetning
• "Overordnet objekt" og "etterfølger objekt"

Akkurat som i vektor- og 3D-grafikk, er opprettelsen av fraktale bilder matematisk beregnbar. Hovedforskjellen fra de to første typene grafikk er at et fraktalbilde er bygget i henhold til en ligning eller et system av ligninger - ingenting mer enn en formel må lagres i datamaskinens minne for å utføre alle beregninger - og en så kompakt matematisk apparater tillot bruken av denne ideen i datagrafikk. Ved ganske enkelt å endre koeffisientene til ligningen, kan du enkelt få et helt annet fraktalbilde - ved hjelp av flere matematiske koeffisienter spesifiseres overflater og linjer med en veldig kompleks form, noe som lar deg implementere komposisjonsteknikker som horisontale og vertikaler , symmetri og asymmetri, diagonale retninger og mye mer.

Hvordan bygge en fraktal?

Skaperen av fraktaler utfører rollen som en kunstner, fotograf, skulptør og vitenskapsmann-oppfinner på samme tid. Hva er stadiene for å lage en tegning fra bunnen av?

• angi formen på bildet med en matematisk formel
• utforske konvergensen av prosessen og variere dens parametere
• velg bildetype
• velg en fargepalett

Blant fraktalgrafiske redaktører og andre grafiske programmer er:

• "Art Dabbler"
• "Maler" (uten en datamaskin vil ingen kunstner noen gang oppnå mulighetene programmerere har gitt kun ved hjelp av en blyant og en penselpenn)
• "Adobe Photoshop" (men her er ikke bildet laget fra bunnen av, men som regel bare behandlet)

Vurder arrangementet av en vilkårlig fraktal geometrisk figur. I midten er det enkleste elementet - en likesidet trekant, som fikk samme navn: "fractal". På det midtre segmentet av sidene konstruerer vi likesidede trekanter med en side lik en tredjedel av siden til den opprinnelige fraktale trekanten. Etter samme prinsipp bygges enda mindre trekanter-arvinger av andre generasjon - og så videre i det uendelige. Det resulterende objektet kalles en "fraktal figur", fra sekvensene som vi får en "fraktal komposisjon".

Kilde: http://www.iknowit.ru/

Fraktaler og gamle mandalaer

Dette er en mandala for å tiltrekke seg penger. Rødt sies å fungere som en pengemagnet. Minner de utsmykkede mønstrene deg om noe? De virket veldig kjente for meg, og jeg begynte å studere mandalaer som en fraktal.

I prinsippet er en mandala et geometrisk symbol på en kompleks struktur, som tolkes som en modell av universet, et "kart over kosmos". Her er det første tegn på fraktalitet!

De er brodert på stoff, malt på sand, laget med farget pulver og laget av metall, stein og tre. Dens lyse og fascinerende utseende gjør den til en vakker dekorasjon for gulv, vegger og tak i templer i India. På det gamle indiske språket betyr "mandala" den mystiske sirkelen av forholdet mellom de åndelige og materielle energiene i universet, eller på en annen måte livets blomst.

Jeg ønsket å skrive en veldig kort anmeldelse av fraktale mandalaer, med et minimum av avsnitt, som viser at forholdet tydelig eksisterer. Men da jeg prøvde å finne og koble informasjon om fraktaler og mandalaer til en enkelt helhet, fikk jeg følelsen av et kvantesprang inn i et ukjent rom.

Jeg demonstrerer omfanget av dette emnet med et sitat: "Slike fraktale komposisjoner eller mandalaer kan brukes både i form av malerier, designelementer i bo- og arbeidslokaler, bærbare amuletter, i form av videokassetter, dataprogrammer ... " Generelt er emnet for studiet av fraktaler ganske enkelt enormt.

En ting jeg kan si med sikkerhet, verden er mye mer mangfoldig og rikere enn de elendige tankene våre om den.

Fraktale sjødyr

Mine gjetninger om fraktale marine dyr var ikke grunnløse. Her er de første representantene. Blekkspruten er et havbunnsdyr fra rekkefølgen av blekksprut.

Når jeg så på dette bildet, ble det tydelig for meg den fraktale strukturen til kroppen og sugene på alle åtte tentaklene til dette dyret. Sugene på tentaklene til en voksen blekksprut når opp til 2000.

Et interessant faktum er at blekkspruten har tre hjerter: en (hoved) driver blått blod gjennom hele kroppen, og de to andre - gjeller - skyver blod gjennom gjellene. Noen typer av disse dyphavsfraktalene er giftige.

Ved å tilpasse seg og forkle seg til sine omgivelser, har blekkspruten en svært nyttig evne til å endre farge.

Blekkspruter regnes som de mest "smarte" blant alle virvelløse dyr. De kjenner igjen folk, blir vant til de som mater dem. Det ville vært interessant å se på blekkspruter, som er enkle å trene, har god hukommelse og til og med skille mellom geometriske former. Men alderen til disse fraktaldyrene er ikke lang - maksimalt 4 år.

Mennesket bruker blekket til denne levende fraktalen og andre blekksprut. De er ettertraktet av kunstnere for deres holdbarhet og vakre bruntone. I middelhavskjøkkenet er blekksprut en kilde til vitamin B3, B12, kalium, fosfor og selen. Men jeg tror at du må kunne tilberede disse sjøfraktalene for å kunne nyte å spise dem som mat.

Forresten, det bør bemerkes at blekksprut er rovdyr. Med sine fraktale tentakler holder de byttedyr i form av bløtdyr, krepsdyr og fisk. Det er synd hvis et så vakkert bløtdyr blir maten til disse havfraktalene. Etter min mening er den også en typisk representant for sjørikets fraktaler.

Dette er en slektning av snegler, gastropod nakensnegl bløtdyr Glaucus, aka Glaucus, aka Glaucus atlanticus, aka Glaucilla marginata. Denne fraktalen er også uvanlig ved at den lever og beveger seg under overflaten av vannet, og holdes av overflatespenning. Fordi bløtdyret er en hermafroditt, så etter parring legger begge "partnerne" egg. Denne fraktalen finnes i alle hav i den tropiske sonen.

Sjørikes fraktaler

Hver av oss holdt minst en gang i livet i hendene og undersøkte et skjell med genuin barnslig interesse.

Vanligvis er skjell en vakker suvenir, som minner om en tur til havet. Når du ser på denne spiralformasjonen av virvelløse bløtdyr, er det ingen tvil om dens fraktale natur.

Vi mennesker er litt som disse bløtdyrene med myk kropp, som bor i komfortable fraktale betonghus, og plasserer og beveger kroppen vår i raske biler.

En annen typisk representant for den fraktale undervannsverdenen er koraller.
I naturen er mer enn 3500 varianter av koraller kjent, i paletten hvorav opptil 350 fargenyanser skilles.

Koraller er materialet i skjelettet til en koloni av korallpolypper, også fra virvelløse dyrfamilien. Deres enorme ansamlinger danner hele korallrev, den fraktale måten å danne seg på er åpenbar.

Koraller med full selvtillit kan kalles en fraktal fra sjøriket.

Den brukes også av mennesket som suvenir eller råmateriale for smykker og ornamenter. Men det er veldig vanskelig å gjenta skjønnheten og perfeksjonen til fraktal natur.

Av en eller annen grunn er jeg ikke i tvil om at mange fraktale dyr også vil bli funnet i undervannsverdenen.

Nok en gang, da jeg utførte et ritual på kjøkkenet med en kniv og et skjærebrett, og deretter dyppet kniven i kaldt vann, var jeg igjen i tårer og fant ut hvordan jeg skulle takle tårefraktalen som dukker opp nesten daglig foran øynene mine.

Prinsippet om fraktalitet er det samme som for den berømte hekkende dukken - hekking. Det er grunnen til at fraktalitet ikke blir lagt merke til umiddelbart. I tillegg bidrar ikke en lys ensartet farge og dens naturlige evne til å forårsake ubehagelige opplevelser til nær observasjon av universet og identifisering av fraktale matematiske mønstre.

Men den syrinfargede salatløken, på grunn av fargen og fraværet av tårefytoncider, brakte tankene om den naturlige fraktaliteten til denne grønnsaken. Selvfølgelig er det en enkel fraktal, vanlige sirkler med forskjellige diametre, man kan til og med si den mest primitive fraktalen. Men det ville ikke skade å huske at ballen regnes som en ideell geometrisk figur i universet vårt.

Mange artikler har blitt publisert på Internett om de fordelaktige egenskapene til løk, men på en eller annen måte har ingen prøvd å studere dette naturlige eksemplaret fra fraktalitetssynspunktet. Jeg kan bare si nytten av å bruke en fraktal i form av en løk på kjøkkenet mitt.

P.S. Og jeg har allerede kjøpt en grønnsakskutter for å hakke en fraktal. Nå må du tenke på hvor fraktal en slik sunn grønnsak som vanlig hvitkål er. Det samme prinsippet om hekking.

Fraktaler i folkekunst

Min oppmerksomhet ble trukket til historien om det verdensberømte leketøyet "Matryoshka". Ser vi nærmere, kan vi med sikkerhet si at dette suvenirleketøyet er en typisk fraktal.

Prinsippet om fraktalitet er åpenbart når alle figurene til en treleke er stilt opp på rad, og ikke nestet i hverandre.

Min lille forskning på historien om utseendet til denne leketøysfraktalen på verdensmarkedet viste at denne skjønnheten har japanske røtter. Matryoshka har alltid vært ansett som en original russisk suvenir. Men det viste seg at hun var prototypen på den japanske figuren til den gamle vismannen Fukurum, som en gang ble brakt til Moskva fra Japan.

Men det var det russiske leketøyet som brakte verdensberømmelse til denne japanske figuren. Hvor ideen om en fraktal hekking av et leketøy kom fra, for meg personlig, har forblitt et mysterium. Mest sannsynlig brukte forfatteren av dette leketøyet prinsippet om å hekke figurer inn i hverandre. Og den enkleste måten å investere på er lignende figurer av forskjellige størrelser, og dette er allerede en fraktal.

Et like interessant studieobjekt er maleriet av et fraktalt leketøy. Dette er et dekorativt maleri - Khokhloma. De tradisjonelle elementene i Khokhloma er urtemønstre av blomster, bær og grener.

Igjen, alle tegn på fraktalitet. Tross alt kan det samme elementet gjentas flere ganger i forskjellige versjoner og proporsjoner. Resultatet er et folkefraktalmaleri.

Og hvis du ikke vil overraske noen med det nymotens maleri av datamus, laptopdeksler og telefoner, så er fraktal tuning av en bil i folkestil noe nytt innen bildesign. Det gjenstår bare å bli overrasket over manifestasjonen av fraktalverdenen i livet vårt på en så uvanlig måte i så vanlige ting for oss.

fraktaler på kjøkkenet

Hver gang jeg kuttet en blomkål i små buketter for blanchering i kokende vann, la jeg aldri merke til de åpenbare tegnene på fraktalitet før jeg hadde denne prøven i hendene.

En typisk representant for en fraktal fra planteverdenen stod på kjøkkenbordet mitt.

Med all min kjærlighet til blomkål, kom jeg alltid over prøver med en jevn overflate uten synlige tegn på fraktalitet, og til og med et stort antall blomsterstander som var nestet i hverandre ga meg ingen grunn til å se en fraktal i denne nyttige grønnsaken.

Men overflaten til dette spesielle eksemplaret med en uttalt fraktalgeometri etterlot ingen tvil om fraktalopprinnelsen til denne typen kål.

En annen tur til hypermarkedet bekreftet bare fraktalstatusen til kål. Blant det enorme antallet eksotiske grønnsaker var det en hel boks med fraktaler. Det var Romanescu, eller romansk brokkoli, en korallblomkål.

Det viser seg at designere og 3D-artister beundrer dens eksotiske fraktallignende former.

Kålknopper vokser i en logaritmisk spiral. Den første omtalen av Romanescu-kål kom fra Italia på 1500-tallet.

Og brokkoli er slett ikke en hyppig gjest i kostholdet mitt, selv om det mange ganger er blomkål overlegent når det gjelder innhold av næringsstoffer og sporstoffer. Men overflaten og formen er så jevn at det aldri falt meg inn å se en vegetabilsk fraktal i den.

Fraktaler i quilling

Da jeg så åpent håndverk med quilling-teknikken, forlot jeg aldri følelsen av at de minner meg om noe. Gjentakelsen av de samme elementene i forskjellige størrelser - selvfølgelig er dette fraktalitetsprinsippet.

Etter å ha sett den neste quilling-mesterklassen, var det ikke engang tvil om fraktaliteten til quilling. Faktisk, for fremstilling av forskjellige elementer for håndverk fra quilling, brukes en spesiell linjal med sirkler med forskjellige diametre. Med all skjønnheten og originaliteten til produktene er dette en utrolig enkel teknikk.

Nesten alle de grunnleggende elementene for håndverk i quilling er laget av papir. For å fylle på med gratis quilling-papir, sjekk ut bokhyllene hjemme. Sikkert, der finner du et par lyse glansede magasiner.

Quillingverktøy er enkle og rimelige. Alt du trenger for å utføre amatørquilling-arbeid, kan du finne blant hjemmepapirene dine.

Og historien om quilling begynner på 1700-tallet i Europa. Under renessansen brukte munker fra franske og italienske klostre quilling for å dekorere bokomslag og var ikke en gang klar over fraktaliteten til papirrulleteknikken de hadde oppfunnet. Jenter fra det høye samfunnet tok til og med et quilling-kurs på spesialskoler. Slik begynte denne teknikken å spre seg over land og kontinenter.

Denne videoquilling-mesterklassen om å lage luksuriøs fjærdrakt kan til og med kalles "gjør-det-selv-fraktaler". Ved hjelp av papirfraktaler oppnås fantastiske eksklusive valentinskort og mange andre interessante ting. Tross alt er fantasi, som naturen, uuttømmelig.

Det er ingen hemmelighet at japanerne i livet er svært begrenset i plass, og derfor må de utmerke seg på alle mulige måter i effektiv bruk. Takeshi Miyakawa viser hvordan dette kan gjøres effektivt og estetisk på samme tid. Fraktalskapet hans bekrefter at bruken av fraktaler i design ikke bare er en hyllest til moten, men også en harmonisk designløsning på begrenset plass.

Dette eksemplet på bruk av fraktaler i det virkelige liv, i forhold til møbeldesign, viste meg at fraktaler er ekte ikke bare på papir i matematiske formler og dataprogrammer.

Og det ser ut til at naturen bruker fraktalitetsprinsippet overalt. Du trenger bare å se nærmere på det, og det vil manifestere seg i all sin storslåtte overflod og uendelighet av væren.