Tre tilstøtende hjørner. Hvilke vinkler kalles tilstøtende? Hva er summen av to tilstøtende vinkler?

Hvordan finne en tilstøtende vinkel?

Matematikk er den eldste eksakte vitenskapen, som er påbudt studert på skoler, høyskoler, institutter og universiteter. Grunnleggende kunnskap legges imidlertid alltid på skolen. Noen ganger får barnet ganske komplekse oppgaver, men foreldrene er ikke i stand til å hjelpe, fordi de rett og slett glemte noen ting fra matematikken. For eksempel hvordan finne en tilstøtende vinkel basert på størrelsen på hovedvinkelen osv. Problemet er enkelt, men kan forårsake problemer med å løse på grunn av uvitenhet om hvilke vinkler som kalles tilstøtende og hvordan man finner dem.

La oss se nærmere på definisjonen og egenskapene til tilstøtende vinkler, samt hvordan vi beregner dem fra dataene i problemet.

Definisjon og egenskaper for tilstøtende vinkler

To stråler som kommer fra ett punkt danner en figur som kalles en "planvinkel". I dette tilfellet kalles dette punktet toppen av vinkelen, og strålene er sidene. Hvis vi fortsetter en av strålene videre utgangspunkt i en rett linje, så dannes en annen vinkel, som kalles tilstøtende. Hver vinkel i dette tilfellet har to tilstøtende vinkler, siden sidene av vinkelen er ekvivalente. Det vil si at det alltid er en tilstøtende vinkel på 180 grader.

Hovedegenskapene til tilstøtende vinkler inkluderer

• Tilstøtende vinkler har et felles toppunkt og en side;
• Summen av tilstøtende vinkler er alltid lik 180 grader eller tallet Pi hvis beregningen utføres i radianer;
• Sinusene til tilstøtende vinkler er alltid like;
• Cosinusene og tangentene til tilstøtende vinkler er like, men har motsatte fortegn.

Hvordan finne tilstøtende vinkler

Vanligvis gis tre varianter av problemer for å finne størrelsen på tilstøtende vinkler

• Verdien av hovedvinkelen er gitt;
• Forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel er gitt;
• Verdien av den vertikale vinkelen er gitt.

Hver versjon av problemet har sin egen løsning. La oss se på dem.

Verdien av hovedvinkelen er gitt

Hvis problemet spesifiserer verdien av hovedvinkelen, er det veldig enkelt å finne den tilstøtende vinkelen. For å gjøre dette, bare trekk verdien av hovedvinkelen fra 180 grader, og du vil få verdien av den tilstøtende vinkelen. Denne løsningen er basert på egenskapen til en tilstøtende vinkel - summen av tilstøtende vinkler er alltid lik 180 grader.

Hvis verdien av hovedvinkelen er gitt i radianer og problemet krever å finne den tilstøtende vinkelen i radianer, er det nødvendig å trekke verdien av hovedvinkelen fra tallet Pi, siden verdien av den fulle utfoldede vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkel er gitt

Problemet kan gi forholdet mellom hoved- og tilstøtende vinkler i stedet for grader og radianer til hovedvinkelen. I dette tilfellet vil løsningen se ut som en proporsjonsligning:

1. Vi betegner andelen av hovedvinkelen som variabelen "Y".
2. Brøken relatert til den tilstøtende vinkelen er betegnet som variabelen "X".
3. Antall grader som faller på hver andel vil for eksempel bli angitt med "a".
4. Generell formel vil se slik ut - a*X+a*Y=180 eller a*(X+Y)=180.
5. Vi finner fellesfaktoren til ligningen "a" ved å bruke formelen a=180/(X+Y).
6. Deretter multipliserer vi den resulterende verdien av fellesfaktoren "a" med brøkdelen av vinkelen som må bestemmes.

På denne måten kan vi finne verdien av den tilstøtende vinkelen i grader. Men hvis du trenger å finne en verdi i radianer, trenger du bare å konvertere gradene til radianer. For å gjøre dette, multipliser vinkelen i grader med Pi og del alt med 180 grader. Den resulterende verdien vil være i radianer.

Verdien av den vertikale vinkelen er gitt

Hvis oppgaven ikke gir verdien av hovedvinkelen, men verdien av den vertikale vinkelen er gitt, kan den tilstøtende vinkelen beregnes ved å bruke samme formel som i første ledd, hvor verdien av hovedvinkelen er gitt.

En vertikal vinkel er en vinkel som stammer fra samme punkt som hovedvinkelen, men som samtidig er rettet i et strengt motsatt retning. Dette resulterer i et speilbilde. Dette betyr at den vertikale vinkelen er like stor som hovedvinkelen. I sin tur er den tilstøtende vinkelen til den vertikale vinkelen lik den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen. Takket være dette kan den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen beregnes. For å gjøre dette, trekk ganske enkelt den vertikale verdien fra 180 grader og få verdien av den tilstøtende vinkelen til hovedvinkelen i grader.

Hvis verdien er gitt i radianer, er det nødvendig å trekke verdien av den vertikale vinkelen fra tallet Pi, siden verdien av den fulle utfoldede vinkelen på 180 grader er lik tallet Pi.

Du kan også lese våre nyttige artikler og.

Komme i gang med vinkler

La oss få to vilkårlige stråler. La oss legge dem oppå hverandre. Da

Definisjon 1

Vi vil kalle en vinkel to stråler som har samme opphav.

Definisjon 2

Punktet som er begynnelsen på strålene innenfor rammen av definisjon 3 kalles toppunktet for denne vinkelen.

Vi vil betegne vinkelen med dens følgende tre punkter: toppunktet, et punkt på en av strålene og et punkt på den andre strålen, og toppunktet til vinkelen er skrevet i midten av dens betegnelse (fig. 1).

La oss nå bestemme størrelsen på vinkelen.

For å gjøre dette, må vi velge en slags "referanse" vinkel, som vi tar som en enhet. Oftest er denne vinkelen vinkelen som er lik $\frac(1)(180)$-delen av den utfoldede vinkelen. Denne mengden kalles en grad. Etter å ha valgt en slik vinkel, sammenligner vi vinklene med den, hvis verdi må finnes.

Det er 4 typer vinkler:

Definisjon 3

En vinkel kalles spiss hvis den er mindre enn $90^0$.

Definisjon 4

En vinkel kalles stump hvis den er større enn $90^0$.

Definisjon 5

En vinkel kalles utviklet hvis den er lik $180^0$.

Definisjon 6

En vinkel kalles rett hvis den er lik $90^0$.

I tillegg til vinkletypene beskrevet ovenfor, kan vi skille vinkler i forhold til hverandre, nemlig vertikale og tilstøtende vinkler.

Tilstøtende vinkler

Tenk på den reverserte vinkelen $COB$. Fra toppunktet tegner vi en stråle $OA$. Denne strålen vil dele den opprinnelige i to vinkler. Da

Definisjon 7

Vi vil kalle to vinkler tilstøtende hvis ett par av sidene deres er en utfoldet vinkel, og det andre paret faller sammen (fig. 2).

I dette tilfellet er vinklene $COA$ og $BOA$ tilstøtende.

Teorem 1

Summen av tilstøtende vinkler er $180^0$.

Bevis.

La oss se på figur 2.

Per definisjon 7 vil vinkelen $COB$ i den være lik $180^0$. Siden det andre sideparet av tilstøtende vinkler faller sammen, vil strålen $OA$ dele den utfoldede vinkelen med 2, derfor

$∠COA+∠BOA=180^0$

Teoremet er bevist.

La oss vurdere å løse problemet ved å bruke dette konseptet.

Eksempel 1

Finn vinkel $C$ fra figuren nedenfor

Ved definisjon 7 finner vi at vinklene $BDA$ og $ADC$ er tilstøtende. Derfor, ved teorem 1, får vi

$∠BDA+∠ADC=180^0$

$∠ADC=180^0-∠BDA=180〗0-59^0=121^0$

Ved teoremet om summen av vinkler i en trekant har vi

$∠A+∠ADC+∠C=180^0$

$∠C=180^0-∠A-∠ADC=180^0-19^0-121^0=40^0$

Svar: $40^0$.

Vertikale vinkler

Tenk på de utfoldede vinklene $AOB$ og $MOC$. La oss justere hjørnene deres med hverandre (det vil si, sette punktet $O"$ på punktet $O$) slik at ingen sider av disse vinklene faller sammen. Deretter

Definisjon 8

Vi vil kalle to vinkler vertikale hvis sideparene deres er utfoldede vinkler og deres verdier sammenfaller (fig. 3).

I dette tilfellet er vinklene $MOA$ og $BOC$ vertikale og vinklene $MOB$ og $AOC$ er også vertikale.

Teorem 2

Vertikale vinkler er like med hverandre.

Bevis.

La oss se på figur 3. La oss for eksempel bevise at vinkelen $MOA$ er lik vinkelen $BOC$.

To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles, og de andre sidene av disse vinklene er komplementære stråler. I figur 20 er vinklene AOB og BOC tilstøtende.

Summen av tilstøtende vinkler er 180°

Teorem 1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.

Bevis. Bjelke OB (se fig. 1) passerer mellom sidene av den utfoldede vinkelen. Det er derfor ∠ AOB + ∠ BIM = 180°.

Fra setning 1 følger det at hvis to vinkler er like, så er deres tilstøtende vinkler like.

Vertikale vinkler er like

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er komplementære stråler på sidene til den andre. Vinklene AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skjæringspunktet mellom to rette linjer, er vertikale (fig. 2).

Teorem 2. Vertikale vinkler er like.

Bevis. La oss vurdere de vertikale vinklene AOB og COD (se fig. 2). Vinkel BOD er ​​ved siden av hver av vinklene AOB og COD. Ved setning 1 ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Fra dette konkluderer vi med at ∠ AOB = ∠ COD.

Konsekvens 1. En vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.

La oss vurdere to kryssende rette linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en av dem er rett (vinkel 1 i fig. 3), så er de resterende vinklene også rette (vinklene 1 og 2, 1 og 4 er tilstøtende, vinklene 1 og 3 er vertikale). I dette tilfellet sier de at disse linjene skjærer hverandre i rette vinkler og kalles vinkelrett (eller gjensidig vinkelrett). Perpendikulariteten til linjene AC og BD er angitt som følger: AC ⊥ BD.

En vinkelrett halveringslinje til et segment er en linje vinkelrett på dette segmentet og som går gjennom midtpunktet.

AN - vinkelrett på en linje

La oss vurdere en rett linje a og et punkt A som ikke ligger på den (fig. 4). Koble punkt A med et segment til punkt H med rett linje a. Segmentet AN kalles en perpendikulær trukket fra punkt A til linje a hvis linjene AN og a er perpendikulære. Punkt H kalles basen til perpendikulæren.

Tegning firkant

Følgende teorem er sant.

Teorem 3. Fra ethvert punkt som ikke ligger på en linje, er det mulig å tegne en vinkelrett på denne linjen, og dessuten bare en.

For å tegne en vinkelrett fra et punkt til en rett linje i en tegning, bruk en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Formuleringen av teoremet består vanligvis av to deler. En del snakker om det som er gitt. Denne delen kalles tilstanden til teoremet. Den andre delen snakker om hva som må bevises. Denne delen kalles konklusjonen av teoremet. For eksempel er betingelsen for teorem 2 at vinklene er vertikale; konklusjon - disse vinklene er like.

Ethvert teorem kan uttrykkes i detalj i ord slik at tilstanden begynner med ordet "hvis" og konklusjonen med ordet "da". For eksempel kan teorem 2 angis i detalj som følger: "Hvis to vinkler er vertikale, så er de like."

Eksempel 1. En av de tilstøtende vinklene er 44°. Hva er den andre lik?

Løsning. La oss angi gradmålet til en annen vinkel med x, da i henhold til setning 1.
44° + x = 180°.
Ved å løse den resulterende ligningen finner vi at x = 136°. Derfor er den andre vinkelen 136°.

Eksempel 2. La vinkelen COD i figur 21 være 45°. Hva er vinklene AOB og AOC?

Løsning. Vinklene COD og AOB er vertikale, derfor er de like ved teorem 1.2, dvs. ∠ AOB = 45°. Vinkel AOC er ved siden av vinkel COD, som betyr i henhold til teorem 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Eksempel 3. Finn tilstøtende vinkler hvis en av dem er 3 ganger større enn den andre.

Løsning. La oss angi gradmålet for den mindre vinkelen med x. Da vil gradmålet på den større vinkelen være 3x. Siden summen av tilstøtende vinkler er lik 180° (setning 1), er x + 3x = 180°, hvorav x = 45°.
Dette betyr at tilstøtende vinkler er 45° og 135°.

Eksempel 4. Summen av to vertikale vinkler er 100°. Finn størrelsen på hver av de fire vinklene.

Løsning. La figur 2 oppfylle betingelsene for oppgaven. De vertikale vinklene COD til AOB er like (setning 2), noe som betyr at deres gradmål også er like. Derfor er ∠ COD = ∠ AOB = 50° (deres sum i henhold til betingelsen er 100°). Vinkel BOD (også vinkel AOC) er ved siden av vinkel COD, og ​​derfor, ved setning 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Fra dette er det. Hvis to vinkler er både tilstøtende og like, så er de rette vinkler. Hvis en av de tilstøtende vinklene er rett, det vil si 90 grader, så er den andre vinkelen også rett. Hvis en av de tilstøtende vinklene er spiss, vil den andre være stump. Tilsvarende, hvis en av vinklene er stumpe, vil den andre følgelig være spiss.

En spiss vinkel er en hvis gradmål er mindre enn 90 grader, men større enn 0. En stump vinkel har et gradmål som er større enn 90 grader, men mindre enn 180.

En annen egenskap til tilstøtende vinkler er formulert som følger: hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like. Dette betyr at hvis det er to vinkler der gradmålet er det samme (for eksempel er det 50 grader) og samtidig en av dem har en tilstøtende vinkel, så faller verdiene til disse tilstøtende vinklene også sammen ( i eksemplet vil deres gradmål være lik 130 grader).

Kilder:

• Stor Encyklopedisk ordbok- Tilstøtende hjørner
• vinkel 180 grader

Ordet "" har ulike tolkninger. I geometri er en vinkel en del av et plan avgrenset av to stråler som kommer fra ett punkt - toppunktet. Når vi snakker om rette, spisse, utfoldede vinkler, mener vi nøyaktig geometriske vinkler.

Som alle figurer i geometri, kan vinkler sammenlignes. Likhet av vinkler bestemmes ved hjelp av bevegelse. Det er enkelt å dele vinkelen i to like deler. Å dele inn i tre deler er litt vanskeligere, men det kan likevel gjøres ved hjelp av linjal og kompass. Denne oppgaven virket forresten ganske vanskelig. Å beskrive at en vinkel er større eller mindre enn en annen er geometrisk enkelt.

Måleenheten for vinkler er 1/180