Proporsjonal tilkobling. Direkte og omvendt proporsjonalitet

Proporsjonalitet er et forhold mellom to størrelser, der en endring i den ene medfører en endring i den andre med samme mengde.

Proporsjonalitet kan være direkte eller omvendt. I denne leksjonen skal vi se på hver av dem.

Direkte proporsjonalitet

La oss anta at bilen beveger seg med en hastighet på 50 km/t. Vi husker at hastighet er avstanden tilbakelagt per tidsenhet (1 time, 1 minutt eller 1 sekund). I vårt eksempel beveger bilen seg med en hastighet på 50 km/t, det vil si på en time vil den dekke en avstand på femti kilometer.

La oss skildre i figuren avstanden som bilen har kjørt på 1 time.

La bilen kjøre en time til i samme hastighet på femti kilometer i timen. Da viser det seg at bilen skal kjøre 100 km

Som det fremgår av eksempelet, førte dobling av tiden til en økning i tilbakelagt distanse med samme mengde, det vil si to ganger.

Størrelser som tid og avstand kalles direkte proporsjonale. Og forholdet mellom slike mengder kalles direkte proporsjonalitet.

Direkte proporsjonalitet er forholdet mellom to størrelser der en økning i den ene medfører en økning i den andre med samme beløp.

og omvendt, hvis en mengde reduseres med et visst antall ganger, reduseres den andre med samme antall ganger.

La oss anta at den opprinnelige planen var å kjøre en bil 100 km på 2 timer, men etter å ha kjørt 50 km bestemte sjåføren seg for å hvile. Da viser det seg at ved å redusere avstanden til det halve, vil tiden minke like mye. Med andre ord, reduksjon av tilbakelagt distanse vil føre til en reduksjon i tid med like mye.

Et interessant trekk ved direkte proporsjonale mengder er at forholdet deres alltid er konstant. Det vil si at når verdiene til direkte proporsjonale mengder endres, forblir deres forhold uendret.

I det betraktede eksemplet var avstanden i utgangspunktet 50 km og tiden en time. Forholdet mellom avstand og tid er tallet 50.

Men vi økte reisetiden med 2 ganger, slik at den tilsvarer to timer. Som et resultat økte den tilbakelagte avstanden med samme mengde, det vil si at den ble lik 100 km. Forholdet mellom hundre kilometer til to timer er igjen tallet 50

Tallet 50 kalles koeffisient for direkte proporsjonalitet. Den viser hvor stor avstand det er per time med bevegelse. I dette tilfellet spiller koeffisienten rollen som bevegelseshastighet, siden hastighet er forholdet mellom tilbakelagt avstand og tiden.

Proporsjoner kan gjøres fra direkte proporsjonale mengder. For eksempel utgjør forholdene andelen:

Femti kilometer er til én time som hundre kilometer er til to timer.

Eksempel 2. Kostnaden og mengden av kjøpte varer er direkte proporsjonale. Hvis 1 kg søtsaker koster 30 rubler, vil 2 kg av de samme søtsakene koste 60 rubler, 3 kg 90 rubler. Etter hvert som prisen på et kjøpt produkt øker, øker antallet med samme beløp.

Siden prisen på et produkt og dets mengde er direkte proporsjonale mengder, er forholdet alltid konstant.

La oss skrive ned hva som er forholdet mellom tretti rubler til ett kilo

La oss nå skrive ned hva forholdet mellom seksti rubler og to kilo er. Dette forholdet vil igjen være lik tretti:

Her er koeffisienten for direkte proporsjonalitet tallet 30. Denne koeffisienten viser hvor mange rubler som er per kilo søtsaker. I i dette eksemplet koeffisienten spiller rollen som prisen på ett kilo varer, siden prisen er forholdet mellom kostnadene for varene og kvantiteten.

Omvendt proporsjonalitet

Tenk på følgende eksempel. Avstanden mellom de to byene er 80 km. Motorsyklisten forlot den første byen og nådde den andre byen med en hastighet på 20 km/t på 4 timer.

Hvis en motorsyklist hadde en hastighet på 20 km/t, betyr det at han hver time tilbakela en strekning på tjue kilometer. La oss skildre i figuren avstanden som motorsyklisten har tilbakelagt og tidspunktet for bevegelsen hans:

På vei tilbake var motorsyklistens hastighet 40 km/t, og han brukte 2 timer på samme reise.

Det er lett å legge merke til at når hastigheten endres, endres bevegelsestiden like mye. Dessuten har det endret seg baksiden- det vil si at hastigheten økte, men tiden gikk tvert imot ned.

Størrelser som hastighet og tid kalles omvendt proporsjonale. Og forholdet mellom slike mengder kalles omvendt proporsjonalitet.

Invers proporsjonalitet er forholdet mellom to størrelser, der en økning i den ene medfører en reduksjon i den andre med samme mengde.

og omvendt, hvis en mengde reduseres med et visst antall ganger, øker den andre med samme antall ganger.

For eksempel, hvis motorsyklistens hastighet på vei tilbake var 10 km/t, ville han tilbakelagt de samme 80 km på 8 timer:

Som det fremgår av eksempelet, førte en reduksjon i hastighet til en økning i bevegelsestiden med samme mengde.

Det særegne med omvendt proporsjonale mengder er at produktet deres alltid er konstant. Det vil si at når verdiene til omvendt proporsjonale mengder endres, forblir produktet deres uendret.

I eksemplet som ble vurdert var avstanden mellom byene 80 km. Når hastigheten og bevegelsestiden til motorsyklisten endret seg, forble denne avstanden alltid uendret

En motorsyklist kunne kjøre denne avstanden med en hastighet på 20 km/t på 4 timer, og med en hastighet på 40 km/t på 2 timer, og med en hastighet på 10 km/t på 8 timer. I alle tilfeller var produktet av hastighet og tid lik 80 km

Likte du leksjonen?
Bli med i vår ny gruppe VKontakte og begynn å motta varsler om nye leksjoner

De to mengdene kalles direkte proporsjonal, hvis når en av dem øker flere ganger, øker den andre med samme beløp. Følgelig, når en av dem reduseres flere ganger, reduseres den andre med samme mengde.

Forholdet mellom slike mengder er et direkte proporsjonalt forhold. Eksempler på rett proporsjonal avhengighet:

1) ved konstant hastighet er tilbakelagt distanse direkte proporsjonal med tiden;

2) omkretsen av en firkant og dens side er direkte proporsjonale mengder;

3) kostnaden for et produkt kjøpt til én pris er direkte proporsjonal med dets mengde.

For å skille et direkte proporsjonalt forhold fra et omvendt, kan du bruke ordtaket: "Jo lenger inn i skogen, jo mer ved."

Det er praktisk å løse problemer som involverer direkte proporsjonale mengder ved å bruke proporsjoner.

1) For å lage 10 deler trenger du 3,5 kg metall. Hvor mye metall går med til å lage 12 av disse delene?

(Vi resonnerer slik:

1. I den fylte kolonnen plasserer du en pil i retning fra flere til mindre.

2. Jo flere deler, jo mer metall trengs for å lage dem. Dette betyr at dette er et direkte proporsjonalt forhold.

La x kg metall være nødvendig for å lage 12 deler. Vi utgjør proporsjonen (i retningen fra begynnelsen av pilen til slutten):

12:10=x:3,5

For å finne må du dele produktet av de ekstreme leddene med det kjente mellomleddet:

Dette betyr at det kreves 4,2 kg metall.

Svar: 4,2 kg.

2) For 15 meter stoff betalte de 1680 rubler. Hvor mye koster 12 meter slikt stoff?

(1. I den fylte kolonnen plasserer du en pil i retningen fra det største tallet til det minste.

2. Jo mindre stoff du kjøper, jo mindre må du betale for det. Dette betyr at dette er et direkte proporsjonalt forhold.

3. Derfor er den andre pilen i samme retning som den første).

La x rubler koste 12 meter stoff. Vi lager en proporsjon (fra begynnelsen av pilen til slutten):

15:12=1680:x

For å finne det ukjente ytterleddet til andelen, del produktet av mellomleddet med det kjente ytterleddet til andelen:

Dette betyr at 12 meter koster 1344 rubler.

Svar: 1344 rubler.

Eksempel

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 osv. Proporsjonalitetsfaktor Et konstant forhold mellom proporsjonale mengder kalles

proporsjonalitetsfaktor

proporsjonalitetsfaktor. Proporsjonalitetskoeffisienten viser hvor mange enheter av en mengde er per enhet av en annen. Direkte proporsjonalitet- funksjonell avhengighet, der en viss mengde avhenger av en annen mengde på en slik måte at forholdet deres forblir konstant. Disse variablene endres med andre ord

proporsjonalt

, i like deler, det vil si at hvis argumentet endres to ganger i en hvilken som helst retning, endres funksjonen også to ganger i samme retning.(Matematisk er direkte proporsjonalitet skrevet som en formel:) = fMatematisk er direkte proporsjonalitet skrevet som en formel:,f = xencon

Omvendt proporsjonalitet

s t

Omvendt proporsjonalitet - dette er en funksjonell avhengighet, der en økning i den uavhengige verdien (argumentet) forårsaker en proporsjonal reduksjon i den avhengige verdien (funksjonen). Matematisk

omvendt proporsjonalitet

er skrevet som en formel:

Funksjonsegenskaper:

Kilder

Wikimedia Foundation.

2010. I dag skal vi se på hvilke mengder som kalles omvendt proporsjonal, hvordan en invers proporsjonalitetsgraf ser ut, og hvordan alt dette kan være nyttig for deg ikke bare i matematikktimer, men også utenfor skolen.

Så forskjellige proporsjoner

proporsjonalitetsfaktor Proporsjonalitet

Nevn to størrelser som er gjensidig avhengige av hverandre.

Omvendt proporsjonalitet– dette er en funksjonell avhengighet der en reduksjon eller økning flere ganger i en uavhengig verdi (det kalles et argument) forårsaker en proporsjonal (dvs. samme antall ganger) økning eller reduksjon i en avhengig verdi (det kalles en funksjon).

La oss illustrere enkelt eksempel. Du vil kjøpe epler på markedet. Eplene på disken og mengden penger i lommeboken din er i omvendt proporsjon. De. Jo flere epler du kjøper, jo mindre penger har du igjen.

Funksjon og dens graf

Den omvendte proporsjonalitetsfunksjonen kan beskrives som y = k/x. I hvilken Matematisk er direkte proporsjonalitet skrevet som en formel:≠ 0 og k≠ 0.

Denne funksjonen har følgende egenskaper:

1. Dets definisjonsdomene er settet av alle reelle tall unntatt Matematisk er direkte proporsjonalitet skrevet som en formel: = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Rekkevidde er alt reelle tall, bortsett fra y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Har ikke maksimums- eller minimumsverdier.
4. Det er merkelig og grafen er symmetrisk om opprinnelsen.
5. Ikke periodisk.
6. Grafen skjærer ikke koordinataksene.
7. Har ingen nuller.
8. Hvis k> 0 (dvs. argumentet øker), reduseres funksjonen proporsjonalt på hvert av sine intervaller. Hvis k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Etter hvert som argumentet øker ( k> 0) negative verdier for funksjonen er i intervallet (-∞; 0), og positive verdier er i intervallet (0; +∞). Når argumentet reduseres ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Grafen til en invers proporsjonalitetsfunksjon kalles en hyperbel. Vist som følger:

Omvendt proporsjonalitetsproblemer

For å gjøre det klarere, la oss se på flere oppgaver. De er ikke for kompliserte, og å løse dem vil hjelpe deg med å visualisere hva omvendt proporsjonalitet er og hvordan denne kunnskapen kan være nyttig i hverdagen din.

Oppgave nr. 1. En bil beveger seg med en hastighet på 60 km/t. Det tok ham 6 timer å komme til målet. Hvor lang tid vil det ta ham å tilbakelegge samme distanse hvis han beveger seg med dobbelt hastighet?

Vi kan starte med å skrive ned en formel som beskriver sammenhengen mellom tid, avstand og hastighet: t = S/V. Enig, det minner oss veldig mye om den omvendte proporsjonalitetsfunksjonen. Og det indikerer at tiden en bil bruker på veien og hastigheten den beveger seg med er i omvendt proporsjon.

For å bekrefte dette, la oss finne V 2, som i henhold til betingelsen er 2 ganger høyere: V 2 = 60 * 2 = 120 km/t. Deretter beregner vi avstanden ved hjelp av formelen S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nå er det ikke vanskelig å finne ut tiden t 2 som kreves av oss i henhold til betingelsene for problemet: t 2 = 360/120 = 3 timer.

Som du kan se, er reisetid og hastighet faktisk omvendt proporsjonale: ved en hastighet 2 ganger høyere enn den opprinnelige hastigheten, vil bilen bruke 2 ganger mindre tid på veien.

Løsningen på dette problemet kan også skrives som en proporsjon. Så la oss først lage dette diagrammet:

↓ 60 km/t – 6 t

↓120 km/t – x t

Piler indikerer et omvendt proporsjonalt forhold. De foreslår også at når du trekker opp en proporsjon, må høyre side av posten snus: 60/120 = x/6. Hvor får vi x = 60 * 6/120 = 3 timer.

Oppgave nr. 2. Verkstedet sysselsetter 6 arbeidere som kan gjennomføre en gitt mengde arbeid på 4 timer. Hvis antall arbeidere halveres, hvor lang tid vil det ta for de gjenværende arbeiderne å fullføre like mye arbeid?

La oss skrive betingelsene for problemet i skjemaet visuelt diagram:

↓ 6 arbeidere – 4 timer

↓ 3 arbeidere – x t

La oss skrive dette som en proporsjon: 6/3 = x/4. Og vi får x = 6 * 4/3 = 8 timer Hvis det er 2 ganger færre arbeidere, vil de resterende bruke 2 ganger mer tid på alt arbeidet.

Oppgave nr. 3. Det er to rør som fører inn til bassenget. Gjennom det ene røret strømmer vann med en hastighet på 2 l/s og fyller bassenget på 45 minutter. Gjennom et annet rør vil bassenget fylles på 75 minutter. Med hvilken hastighet kommer vann inn i bassenget gjennom dette røret?

Til å begynne med, la oss redusere alle mengdene som er gitt oss i henhold til betingelsene for problemet til de samme måleenhetene. For å gjøre dette uttrykker vi hastigheten på å fylle bassenget i liter per minutt: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Siden det følger av betingelsen at bassenget fylles saktere gjennom det andre røret, betyr dette at vannføringshastigheten er lavere. Proporsjonaliteten er omvendt. La oss uttrykke den ukjente hastigheten gjennom x og tegne opp følgende diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Og så utgjør vi andelen: 120/x = 75/45, hvorfra x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

I oppgaven er fyllingshastigheten til bassenget uttrykt i liter per sekund, la oss redusere svaret vi fikk til samme form: 72/60 = 1,2 l/s.

Oppgave nr. 4. Et lite privat trykkeri trykker visittkort. En trykkeriansatt jobber med en hastighet på 42 visittkort i timen og jobber en hel dag - 8 timer. Hvis han jobbet raskere og skrev ut 48 visittkort på en time, hvor mye tidligere kunne han reise hjem?

Vi følger den påviste banen og tegner et diagram i henhold til betingelsene for problemet, og angir ønsket verdi som x:

↓ 42 visittkort/time – 8 timer

↓ 48 visittkort/t – x t

Vi har et omvendt proporsjonalt forhold: antall ganger flere visittkort en ansatt i et trykkeri trykker i timen, like mange ganger kortere tid han trenger for å fullføre det samme arbeidet. Når vi vet dette, la oss lage en proporsjon:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 timer.

Etter å ha fullført arbeidet på 7 timer, kunne den trykkeriansatte dermed reise hjem en time tidligere.

Konklusjon

Det virker for oss at disse omvendte proporsjonalitetsproblemene er veldig enkle. Vi håper at nå også du tenker på dem på den måten. Og det viktigste er at kunnskap om den omvendt proporsjonale avhengigheten av mengder virkelig kan være nyttig for deg mer enn en gang.

Ikke bare i mattetimer og eksamener. Men selv da, når du gjør deg klar til å dra på tur, gå på shopping, bestemmer deg for å tjene litt ekstra penger i ferien osv.

Fortell oss i kommentarene hvilke eksempler på inverse og direkte proporsjonale forhold du legger merke til rundt deg. La det være et slikt spill. Du vil se hvor spennende det er. Ikke glem å dele denne artikkelen på sosiale nettverk slik at vennene dine og klassekameratene dine også kan spille.

blog.site, når du kopierer materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.