Tilstøtende vinkelregel. Vertikale og tilstøtende hjørner

To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles og de andre sidene av disse vinklene er komplementære stråler. I figur 20 er vinklene AOB og BOC tilstøtende.

Summen av tilstøtende vinkler er 180°

Teorem 1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.

Bevis. OB-bjelken (se fig. 1) passerer mellom sidene av den utviklede vinkelen. Derfor ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Fra setning 1 følger det at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like.

Vertikale vinkler er like

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er komplementære stråler på sidene til den andre. Vinklene AOB og COD, BOD og AOC, dannet i skjæringspunktet mellom to rette linjer, er vertikale (fig. 2).

Teorem 2. Vertikale vinkler er like.

Bevis. Tenk på de vertikale vinklene AOB og COD (se fig. 2). Vinkel BOD er ​​ved siden av hver av vinklene AOB og COD. Ved setning 1, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Derfor konkluderer vi med at ∠ AOB = ∠ COD.

Konsekvens 1. En vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.

Tenk på to kryssende rette linjer AC og BD (fig. 3). De danner fire hjørner. Hvis en av dem er rett (vinkel 1 i fig. 3), så er de andre vinklene også rett (vinkel 1 og 2, 1 og 4 er tilstøtende, vinkler 1 og 3 er vertikale). I dette tilfellet sies disse linjene å krysse hverandre i rette vinkler og kalles vinkelrett (eller gjensidig vinkelrett). Perpendikulariteten til linjene AC og BD er angitt som følger: AC ⊥ BD.

Den vinkelrette halveringslinjen til et segment er en linje vinkelrett på dette segmentet og går gjennom midtpunktet.

AN - vinkelrett på linjen

Tenk på en linje a og et punkt A som ikke ligger på den (fig. 4). Koble punktet A med et segment til punktet H med en rett linje a. Et segment AH kalles en perpendikulær trukket fra punkt A til linje a hvis linjene AN og a er perpendikulære. Punktet H kalles grunnflaten til perpendikulæren.

Tegning firkant

Følgende teorem er sant.

Teorem 3. Fra ethvert punkt som ikke ligger på en linje, kan man tegne en vinkelrett på denne linjen, og dessuten bare en.

For å tegne en perpendikulær fra et punkt til en rett linje på tegningen, brukes en tegningsfirkant (fig. 5).

Kommentar. Utsagnet av teoremet består vanligvis av to deler. Den ene delen snakker om det som er gitt. Denne delen kalles tilstanden til teoremet. Den andre delen snakker om hva som må bevises. Denne delen kalles konklusjonen av teoremet. For eksempel er betingelsen for teorem 2 vertikale vinkler; konklusjon - disse vinklene er like.

Ethvert teorem kan uttrykkes i detalj i ord slik at tilstanden begynner med ordet "hvis", og konklusjonen med ordet "da". For eksempel kan teorem 2 angis i detalj som følger: "Hvis to vinkler er vertikale, så er de like."

Eksempel 1 En av de tilstøtende vinklene er 44°. Hva er den andre lik?

Løsning. Angi gradmålet for en annen vinkel med x, deretter i henhold til setning 1.
44° + x = 180°.
Ved å løse den resulterende ligningen finner vi at x \u003d 136 °. Derfor er den andre vinkelen 136°.

Eksempel 2 La COD-vinkelen i figur 21 være 45°. Hva er vinkler AOB og AOC?

Løsning. Vinklene COD og AOB er vertikale, derfor er de ved setning 1.2 like, dvs. ∠ AOB = 45°. Vinkelen AOC er ved siden av vinkelen COD, derfor av teorem 1.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Eksempel 3 Finn tilstøtende vinkler hvis en av dem er 3 ganger den andre.

Løsning. Angi gradmålet for den mindre vinkelen med x. Da vil gradmålet for den større vinkelen være Zx. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180° (setning 1), er x + 3x = 180°, hvorav x = 45°.
Så de tilstøtende vinklene er 45° og 135°.

Eksempel 4 Summen av to vertikale vinkler er 100°. Finn verdien av hver av de fire vinklene.

Løsning. La figur 2 samsvare med tilstanden til oppgaven. De vertikale vinklene COD til AOB er like (setning 2), som betyr at deres gradmål også er like. Derfor, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (deres sum er 100° etter betingelse). Vinkelen BOD (også vinkelen AOC) er ved siden av vinkelen COD, og ​​derfor av teorem 1
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

1. Tilstøtende hjørner.

Hvis vi fortsetter siden av en vinkel utenfor toppunktet, får vi to vinkler (fig. 72): ∠ABC og ∠CBD, der den ene siden av BC er felles, og de to andre, AB og BD, danner en rett linje .

To vinkler som har en side til felles og de to andre danner en rett linje kalles tilstøtende vinkler.

Tilstøtende vinkler kan også oppnås på denne måten: hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en rett linje (som ikke ligger på en gitt rett linje), så får vi tilstøtende vinkler.

For eksempel er ∠ADF og ∠FDВ tilstøtende vinkler (fig. 73).

Tilstøtende hjørner kan ha en lang rekke posisjoner (fig. 74).

Tilstøtende vinkler legger opp til en rett vinkel, så summen av to tilstøtende vinkler er 180°

Derfor kan en rett vinkel defineres som en vinkel lik dens tilstøtende vinkel.

Når vi kjenner verdien av en av de tilstøtende vinklene, kan vi finne verdien av den andre tilstøtende vinkelen.

For eksempel, hvis en av de tilstøtende vinklene er 54°, vil den andre vinkelen være:

180° - 54° = l26°.

2. Vertikale vinkler.

Hvis vi forlenger sidene av en vinkel utover toppunktet, får vi vertikale vinkler. I figur 75 er vinklene EOF og AOC vertikale; vinklene AOE og COF er også vertikale.

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er forlengelser av sidene til den andre vinkelen.

La ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (fig. 76). ∠2 ved siden av den vil være lik 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, dvs. 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

På samme måte kan du regne ut hva ∠3 og ∠4 er.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (fig. 77).

Vi ser at ∠1 = ∠3 og ∠2 = ∠4.

Du kan løse flere av de samme oppgavene, og hver gang får du samme resultat: de vertikale vinklene er like med hverandre.

Men for å sikre at de vertikale vinklene alltid er like med hverandre, er det ikke nok å vurdere individuelle numeriske eksempler, siden konklusjoner trukket fra bestemte eksempler noen ganger kan være feil.

Det er nødvendig å verifisere gyldigheten av egenskapen til vertikale vinkler ved bevis.

Beviset kan utføres som følger (fig. 78):

∠et +∠c= 180°;

∠b +∠c= 180°;

(siden summen av tilstøtende vinkler er 180°).

∠et +∠c = ∠b +∠c

(siden venstre side av denne likheten er 180°, og høyre side også er 180°).

Denne likheten inkluderer samme vinkel Med.

Hvis vi trekker likt fra like verdier, vil det forbli likt. Resultatet blir: ∠en = ∠b, dvs. de vertikale vinklene er lik hverandre.

3. Summen av vinkler som har felles toppunkt.

På tegning 79 er ∠1, ∠2, ∠3 og ∠4 plassert på samme side av linjen og har et felles toppunkt på denne linjen. I sum utgjør disse vinklene en rett vinkel, dvs.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

På tegning 80 har ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 og ∠5 et felles toppunkt. Disse vinklene summerer seg til en full vinkel, dvs. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

KAPITTEL I.

ENKLE KONSEPTER.

§elleve. TILSTÆNDENDE OG VERTIKALE VINKLER.

1. Tilstøtende hjørner.

Hvis vi fortsetter siden av et hjørne utenfor toppunktet, får vi to hjørner (fig. 72): / En sol og / SVD, der den ene siden BC er felles, og de to andre AB og BD danner en rett linje.

To vinkler som har en side til felles og de to andre danner en rett linje kalles tilstøtende vinkler.

Tilstøtende vinkler kan også oppnås på denne måten: hvis vi tegner en stråle fra et punkt på en rett linje (som ikke ligger på en gitt rett linje), så får vi tilstøtende vinkler.
For eksempel, / ADF og / FDВ - tilstøtende hjørner (fig. 73).

Tilstøtende hjørner kan ha en lang rekke posisjoner (fig. 74).

Tilstøtende vinkler legger opp til en rett vinkel, så ummaen til to tilstøtende vinkler er 2d.

Derfor kan en rett vinkel defineres som en vinkel lik dens tilstøtende vinkel.

Når vi kjenner verdien av en av de tilstøtende vinklene, kan vi finne verdien av den andre tilstøtende vinkelen.

For eksempel, hvis en av de tilstøtende vinklene er 3/5 d, da vil den andre vinkelen være lik:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Vertikale vinkler.

Hvis vi forlenger sidene av en vinkel utover toppunktet, får vi vertikale vinkler. På tegning 75 er vinklene EOF og AOC vertikale; vinklene AOE og COF er også vertikale.

To vinkler kalles vertikale hvis sidene til den ene vinkelen er forlengelser av sidene til den andre vinkelen.

La / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Ved siden av den / 2 vil være lik 2 d- 7 / 8 d, dvs. 1 1/8 d.

På samme måte kan du beregne hva som er lik / 3 og / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Det ser vi / 1 = / 3 og / 2 = / 4.

Du kan løse flere av de samme oppgavene, og hver gang får du samme resultat: de vertikale vinklene er like med hverandre.

Men for å sikre at de vertikale vinklene alltid er like med hverandre, er det ikke nok å vurdere individuelle numeriske eksempler, siden konklusjoner trukket fra bestemte eksempler noen ganger kan være feil.

Det er nødvendig å verifisere gyldigheten av egenskapen til vertikale vinkler ved å resonnere, ved bevis.

Beviset kan utføres som følger (fig. 78):

/ et +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(siden summen av tilstøtende vinkler er 2 d).

/ et +/ c = / b +/ c

(siden venstre side av denne likheten er lik 2 d, og dens høyre side er også lik 2 d).

Denne likheten inkluderer samme vinkel Med.

Hvis vi trekker likt fra like verdier, vil det forbli likt. Resultatet blir: / en = / b, dvs. de vertikale vinklene er lik hverandre.

Når vi vurderte spørsmålet om vertikale vinkler, forklarte vi først hvilke vinkler som kalles vertikale, dvs. vi ga definisjon vertikale hjørner.

Så avsa vi en dom (uttalelse) om likheten mellom vertikale vinkler og vi ble overbevist om gyldigheten av denne dommen ved bevis. Slike dommer, hvis gyldighet må bevises, kalles teoremer. Derfor har vi i denne delen gitt definisjonen av vertikale vinkler, og også uttalt og bevist et teorem om egenskapene deres.

I fremtiden, når vi studerer geometri, vil vi hele tiden måtte møte definisjoner og bevis på teoremer.

3. Summen av vinkler som har felles toppunkt.

På tegningen 79 / 1, / 2, / 3 og / 4 er plassert på samme side av en rett linje og har et felles toppunkt på denne rette linjen. I sum utgjør disse vinklene en rett vinkel, dvs.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

På tegningen 80 / 1, / 2, / 3, / 4 og / 5 har felles topp. I sum utgjør disse vinklene en full vinkel, dvs. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Øvelser.

1. En av de tilstøtende vinklene er 0,72 d. Regn ut vinkelen som dannes av halveringslinjene til disse tilstøtende vinklene.

2. Bevis at halveringslinjene til to tilstøtende vinkler danner en rett vinkel.

3. Bevis at hvis to vinkler er like, så er deres tilstøtende vinkler også like.

4. Hvor mange par av tilstøtende hjørner er det på tegning 81?

5. Kan et par tilstøtende vinkler bestå av to spisse vinkler? fra to stumpe hjørner? fra rett og stump vinkel? fra rett og spiss vinkel?

6. Hvis en av de tilstøtende vinklene er rett, hva kan da sies om verdien av vinkelen ved siden av den?

7. Hvis det i skjæringspunktet mellom to rette linjer er én rett vinkel, hva kan man da si om størrelsen på de resterende tre vinklene?

Angi tallene på de riktige utsagnene.

1) Alle tre linjer har maksimalt ett felles punkt.

2) Hvis en vinkel er 120°, er den tilstøtende vinkelen 120°.

3) Hvis avstanden fra et punkt til en rett linje er større enn 3, er lengden på en helning trukket fra et gitt punkt til en rett linje større enn 3.

Hvis det er flere utsagn, skriv ned tallene deres i stigende rekkefølge.

Løsning.

Pro-ve-rim hver av utsagnene.

1) "Enhver tre rette linjer har høyst ett felles punkt" - Ikke sant. Hvis linjene har to eller flere punkter til felles, så faller de sammen. (Se com-men-ta-rii til za-da-che.)

2) "Hvis vinkelen er 120 °, så er den tilstøtende 120 °" - feil. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.

3) "Hvis avstanden fra et punkt til en rett linje er større enn 3, så er lengden på enhver skråning trukket fra et gitt punkt til en rett linje større enn 3" - Ikke sant. Fordi avstanden er lengden på kort-te-hun fra snittet til den rette linjen, og alle bakkene er lengre.

Svar: 13.

Svar: 13

Jobb prototype

Gjest 19.02.2015 12:42

I skoleboken Atanasyan L. S. et al. "Geometry 7--9", "Enlightenment", 2014, kapittel 1, avsnitt 1, er følgende indikert.

1) Planimetriaksiom: gjennom to punkter er det mulig å tegne en rett linje og dessuten bare ett.

2) Stillingen inntatt i skolekurset: snakker "to poeng", "tre poeng", "to linjer" etc., vil vi anta at disse punktene, linjene er forskjellige.

Konklusjonen som eleven må lære er at to linjer enten har bare ett felles punkt, eller har ingen felles punkter.

Derfor bør svaret på det første spørsmålet være "sant". Hvis alle tre linjene faller sammen, er dette én linje, ikke tre.

Petr Murzin

Det ville være riktig å skrive i betingelsen "hvilken som helst tre diverse linjer har høyst ett felles punkt", men dette er ikke tilfelle.

Gjest 10.04.2015 16:38

Kjære redaktør!

Jeg er enig i gjestens bemerkning datert 19. februar 2015 om essensen av uttalelsen i paragraf 1 av dette problemet: i den nevnte læreboken "Geometry 7-9" (paragraf 1, paragraf 1, note 1) står det: "her og i det følgende, og sier "to punkter", "tre punkter", "to linjer", etc., vil vi anta at disse punktene, linjene er forskjellige.

I lys av det foregående, er begrunnelsen gitt på nettstedet for å løse dette problemet (i en del av paragraf 1) feil, siden ordlyden av problemet "tre linjer" antyder at disse tre linjene er forskjellige (dvs. de kan ikke falle sammen! ). Tre linjer (forskjellig, som er standard!): enten har ett felles punkt (som tilhører hver av disse tre linjene) - i tilfellet når tre linjer krysser hverandre i ett punkt; eller ikke har felles punkter.

Bekreftelse av denne konklusjonen er konklusjonen i paragraf 1 i paragraf 1 i nevnte lærebok: "to linjer har enten bare ett felles punkt, eller har ikke felles poeng." Bevis ved selvmotsigelse: anta at tre linjer har mer enn ett felles punkt; derfor har to av disse linjene minst ett felles punkt (siden for disse to linjene vil fellespunktene være de som er felles for alle tre linjene); men dette motsier den nevnte lærebokkonklusjonen om at to linjer enten har bare ett punkt til felles eller ikke har noen punkter felles.

Med vennlig hilsen gjest.

Brukerstøtte

Spørsmål 1. Hvilke vinkler kalles tilstøtende?
Svar. To vinkler kalles tilstøtende hvis de har en side til felles og de andre sidene av disse vinklene er komplementære halvlinjer.
I figur 31 er hjørnene (a 1 b) og (a 2 b) tilstøtende. De har en felles side b, og sidene a 1 og a 2 er ytterligere halvlinjer.

Spørsmål 2. Bevis at summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Svar. Teorem 2.1. Summen av tilstøtende vinkler er 180°.
Bevis. La vinkelen (a 1 b) og vinkelen (a 2 b) gis tilstøtende vinkler (se fig. 31). Strålen b passerer mellom sidene a 1 og a 2 av den utviklede vinkelen. Derfor er summen av vinklene (a 1 b) og (a 2 b) lik den utviklede vinkelen, dvs. 180 °. Q.E.D.

Spørsmål 3. Bevis at hvis to vinkler er like, så er også vinklene ved siden av dem like.
Svar.

Fra teoremet 2.1 Det følger at hvis to vinkler er like, så er vinklene ved siden av dem like.
La oss si at vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like. Vi må bevise at vinklene (a 2 b) og (c 2 d) også er like.
Summen av tilstøtende vinkler er 180°. Det følger av dette at a 1 b + a 2 b = 180° og c 1 d + c 2 d = 180°. Derfor, a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b og c 2 d \u003d 180 ° - c 1 d. Siden vinklene (a 1 b) og (c 1 d) er like, får vi at a 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c 2 d. Av egenskapen transitivitet til likhetstegnet følger det at a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Spørsmål 4. Hvilken vinkel kalles rett (spiss, stump)?
Svar. En vinkel lik 90° kalles en rett vinkel.
En vinkel mindre enn 90° kalles en spiss vinkel.
En vinkel større enn 90° og mindre enn 180° kalles en stump vinkel.

Spørsmål 5. Bevis at en vinkel ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel.
Svar. Fra teoremet om summen av tilstøtende vinkler følger det at vinkelen ved siden av en rett vinkel er en rett vinkel: x + 90° = 180°, x= 180° - 90°, x = 90°.

Spørsmål 6. Hva er de vertikale vinklene?
Svar. To vinkler kalles vertikale hvis sidene til en vinkel er de komplementære halvlinjene til sidene til den andre.

Spørsmål 7. Bevis at de vertikale vinklene er like.
Svar. Teorem 2.2. Vertikale vinkler er like.
Bevis. La (a 1 b 1) og (a 2 b 2) gis vertikale vinkler (fig. 34). Hjørnet (a 1 b 2) ligger inntil hjørnet (a 1 b 1) og hjørnet (a 2 b 2). Herfra, ved teoremet om summen av tilstøtende vinkler, konkluderer vi med at hver av vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) komplementerer vinkelen (a 1 b 2) opp til 180 °, dvs. vinklene (a 1 b 1) og (a 2 b 2) er like. Q.E.D.

Spørsmål 8. Bevis at hvis i skjæringspunktet mellom to linjer en av vinklene er en rett vinkel, så er de tre andre vinklene også rette.
Svar. Anta at linjene AB og CD skjærer hverandre i punktet O. Anta at vinkelen AOD er ​​90°. Siden summen av tilstøtende vinkler er 180°, får vi at AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. COB-vinkelen er vertikal til AOD-vinkelen, så de er like. Det vil si at vinkelen COB = 90°. COA er vertikalt til BOD, så de er like. Det vil si at vinkelen BOD = 90°. Dermed er alle vinkler lik 90 °, det vil si at de er i orden. Q.E.D.

Spørsmål 9. Hvilke linjer kalles perpendikulære? Hvilket tegn brukes for å indikere vinkelrett på linjer?
Svar. To linjer kalles vinkelrett hvis de skjærer hverandre i rett vinkel.
Perpendikulariteten til linjer er betegnet med \(\perp\). Oppføringen \(a\perp b\) lyder: "Linje a er vinkelrett på linje b".

Spørsmål 10. Bevis at gjennom et hvilket som helst punkt på en linje kan man tegne en linje vinkelrett på den, og bare en.
Svar. Teorem 2.3. Gjennom hver linje kan du tegne en linje vinkelrett på den, og bare en.
Bevis. La a være en gitt linje og A være et gitt punkt på den. Angi med 1 en av halvlinjene med den rette linjen a med startpunktet A (fig. 38). Sett til side fra halvlinjen a 1 vinkelen (a 1 b 1) lik 90 °. Da vil linjen som inneholder strålen b 1 være vinkelrett på linjen a.

Anta at det er en annen linje som også går gjennom punktet A og er vinkelrett på linjen a. Angi med c 1 halvlinjen til denne linjen som ligger i samme halvplan med strålen b 1 .
Vinkler (a 1 b 1) og (a 1 c 1), lik 90° hver, er lagt ut i ett halvplan fra halvlinjen a 1 . Men fra halvlinjen a 1 kan bare én vinkel lik 90° settes til side i dette halvplanet. Derfor kan det ikke være en annen linje som går gjennom punkt A og vinkelrett på linje a. Teoremet er bevist.

Spørsmål 11. Hva er en vinkelrett på en linje?
Svar. Vinkelrett på en gitt linje er et linjestykke vinkelrett på den gitte, som har en av endene i skjæringspunktet. Denne enden av segmentet kalles basis vinkelrett.

Spørsmål 12. Forklar hva bevis ved motsigelse er.
Svar. Bevismetoden som vi brukte i teorem 2.3 kalles proof by contradiction. Denne bevismåten består i at vi først gjør en antagelse motsatt av det som står i teoremet. Så, ved å resonnere, stole på aksiomer og beviste teoremer, kommer vi til en konklusjon som motsier enten betingelsen til teoremet, eller en av aksiomene, eller den tidligere beviste teoremet. På dette grunnlaget konkluderer vi med at antagelsen vår var feil, noe som betyr at påstanden til teoremet er sann.

Spørsmål 13. Hva er en vinkelhalveringslinje?
Svar. Halveringslinjen til en vinkel er en stråle som kommer fra vinkelens toppunkt, passerer mellom sidene og deler vinkelen i to.