Finn den kanoniske ligningen for en ellipse som går gjennom et punkt. Andre ordens linjer

Andre ordens kurver på et plan er linjer definert av ligninger der variabelen koordinerer x Og y er inneholdt i andre grad. Disse inkluderer ellipsen, hyperbelen og parabelen.

Den generelle formen for den andre ordenskurveligningen er som følger:

Hvor A, B, C, D, E, F- tall og minst én av koeffisientene A, B, C ikke lik null.

Når man løser problemer med andreordenskurver, vurderes oftest de kanoniske ligningene til ellipsen, hyperbelen og parabelen. Det er lett å gå videre til dem fra generelle ligninger, eksempel 1 på problemer med ellipser vil bli viet til dette.

Ellipse gitt av den kanoniske ligningen

Definisjon av en ellipse. En ellipse er settet av alle punkter i planet der summen av avstandene til punktene kalt foci er en konstant verdi større enn avstanden mellom brennpunktene.

Fokusene er angitt som i figuren nedenfor.

Den kanoniske ligningen til en ellipse har formen:

Hvor en Og b (en > b) - lengdene til halvaksene, dvs. halvparten av lengdene til segmentene avskåret av ellipsen på koordinataksene.

Den rette linjen som går gjennom brennpunktene til ellipsen er dens symmetriakse. En annen symmetriakse til en ellipse er en rett linje som går gjennom midten av et segment vinkelrett på dette segmentet. Prikk OM skjæringspunktet mellom disse linjene fungerer som senter for symmetri av ellipsen eller rett og slett senter av ellipsen.

Abscisseaksen til ellipsen skjærer i punktene ( en, OM) Og (- en, OM), og ordinataksen er i punkter ( b, OM) Og (- b, OM). Disse fire punktene kalles ellipsens toppunkter. Segmentet mellom hjørnene av ellipsen på x-aksen kalles dens hovedakse, og på ordinataksen - dens mindre akse. Segmentene deres fra toppen til midten av ellipsen kalles halvakser.

Hvis en = b, så tar ellipsens ligning formen . Dette er ligningen til en sirkel med radius en, og en sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse. En ellipse kan fås fra en sirkel med radius en, hvis du komprimerer den til en/b ganger langs aksen Oy .

Eksempel 1. Sjekk om en linje gitt av en generell ligning er , ellipse.

Løsning. Vi transformerer den generelle ligningen. Vi bruker overføringen av den frie termen til høyre side, term-for-term-deling av ligningen med samme tall og reduksjon av brøker:

Svare. Ligningen oppnådd som et resultat av transformasjonene er den kanoniske ligningen for ellipsen. Derfor er denne linjen en ellipse.

Eksempel 2. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis halvaksene er henholdsvis 5 og 4.

Løsning. Vi ser på formelen for den kanoniske ligningen av en ellipse og erstatning: halvhovedaksen er en= 5, er halvminoraksen b= 4. Vi får den kanoniske ligningen til ellipsen:

Punkter og , angitt i grønt på hovedaksen, hvor

kalles triks.

ringte eksentrisitet ellipse.

Holdning b/en karakteriserer "oblateness" av ellipsen. Jo mindre dette forholdet er, jo mer er ellipsen forlenget langs hovedaksen. Imidlertid er graden av forlengelse av en ellipse oftere uttrykt gjennom eksentrisitet, formelen som er gitt ovenfor. For forskjellige ellipser varierer eksentrisiteten fra 0 til 1, og forblir alltid mindre enn enhet.

Eksempel 3. Komponer den kanoniske ligningen for en ellipse hvis avstanden mellom brennpunktene er 8 og hovedaksen er 10.

Løsning. La oss trekke noen enkle konklusjoner:

Hvis hovedaksen er lik 10, så halvparten av den, dvs. halvaksen en = 5 ,

Hvis avstanden mellom fokusene er 8, så tallet c av fokalkoordinatene er lik 4.

Vi erstatter og beregner:

Resultatet er den kanoniske ligningen for ellipsen:

Eksempel 4. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis hovedaksen er 26 og eksentrisiteten er .

Løsning. Som følger av både størrelsen på hovedaksen og eksentrisitetsligningen, ellipsens semimajor akse en= 13. Fra eksentrisitetsligningen uttrykker vi tallet c, nødvendig for å beregne lengden på den mindre halvaksen:

.

Vi beregner kvadratet på lengden av den mindre halvaksen:

Vi komponerer den kanoniske ligningen for ellipsen:

Eksempel 5. Bestem brennpunktene til ellipsen gitt av den kanoniske ligningen.

Løsning. Finn nummeret c, som bestemmer de første koordinatene til ellipsens foci:

.

Vi får fokusene til ellipsen:

Eksempel 6. Fociene til ellipsen er plassert på aksen Okse symmetrisk om opprinnelsen. Komponer den kanoniske ligningen til ellipsen hvis:

1) avstanden mellom brennpunktene er 30, og hovedaksen er 34

2) mindre akse 24, og ett av fokusene er ved punktet (-5; 0)

3) eksentrisitet, og en av fokusene er på punkt (6; 0)

La oss fortsette å løse ellipseproblemer sammen

Hvis er et vilkårlig punkt på ellipsen (angitt med grønt i øvre høyre del av ellipsen på tegningen) og er avstanden til dette punktet fra brennpunktene, så er formlene for avstandene som følger:

For hvert punkt som tilhører ellipsen, er summen av avstandene fra brennpunktene en konstant verdi lik 2 en.

Linjer definert av ligninger

kalles rektorer ellipse (på tegningen er det røde linjer langs kantene).

Fra de to ligningene ovenfor følger det for ethvert punkt på ellipsen

,

hvor og er avstandene til dette punktet til retningslinjene og .

Eksempel 7. Gitt en ellipse. Skriv en ligning for retningene.

Løsning. Vi ser på direktrix-ligningen og finner ut at vi må finne eksentrisiteten til ellipsen, dvs. Vi har alle data for dette. Vi beregner:

.

Vi får ligningen for ellipsens retter:

Eksempel 8. Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis fokusene er punkter og retningslinjene er linjer.

Linjer av andre orden.
Ellipse og dens kanoniske ligning. Sirkel

Etter grundige studier rette linjer i planet Vi fortsetter å studere geometrien til den todimensjonale verden. Innsatsen er doblet, og jeg inviterer deg til å besøke et pittoresk galleri med ellipser, hyperbler, paraboler, som er typiske representanter andre ordens linjer. Ekskursjonen har allerede begynt, og først en kort informasjon om hele utstillingen i ulike etasjer i museet:

Konseptet med en algebraisk linje og dens rekkefølge

En linje på et fly kalles algebraisk, hvis i affint koordinatsystem ligningen har formen , hvor er et polynom som består av formenes termer ( – reelt tall, – ikke-negative heltall).

Som du kan se, inneholder ikke ligningen til en algebraisk linje sinus, cosinus, logaritmer og annen funksjonell beau monde. Bare X og Y er med ikke-negative heltall grader.

Linjebestilling lik maksimalverdien av vilkårene som er inkludert i den.

I følge det tilsvarende teoremet avhenger ikke konseptet med en algebraisk linje, så vel som dens rekkefølge, av valget affint koordinatsystem, derfor, for å lette eksistensen, antar vi at alle etterfølgende beregninger finner sted i Kartesiske koordinater.

Generell ligning den andre ordrelinjen har formen , hvor – vilkårlige reelle tall (Det er vanlig å skrive det med en faktor på to), og koeffisientene er ikke lik null på samme tid.

Hvis , så forenkles ligningen til , og hvis koeffisientene ikke er lik null på samme tid, så er dette nøyaktig generell ligning for en "flat" linje, som representerer første ordrelinje.

Mange har forstått betydningen av de nye begrepene, men likevel, for å mestre materialet 100%, stikker vi fingrene inn i kontakten. For å bestemme linjerekkefølgen, må du iterere alle vilkår dens ligninger og finn for hver av dem summen av grader innkommende variabler.

For eksempel:

begrepet inneholder "x" i 1. potens;
begrepet inneholder "Y" i 1. potens;
Det er ingen variabler i begrepet, så summen av potensene deres er null.

La oss nå finne ut hvorfor ligningen definerer linjen sekund bestille:

begrepet inneholder "x" i 2. potens;
summandet har summen av potensene til variablene: 1 + 1 = 2;
begrepet inneholder "Y" i 2. potens;
alle andre vilkår - mindre grader.

Maksimal verdi: 2

Hvis vi i tillegg legger til, for eksempel, til ligningen vår, vil den allerede bestemme tredje ordens linje. Det er åpenbart at den generelle formen for 3. ordens linjeligningen inneholder et "fullt sett" med termer, summen av potensene til variablene der er lik tre:
, hvor koeffisientene ikke er lik null samtidig.

I tilfelle det legges til ett eller flere passende termer som inneholder , da skal vi allerede snakke om 4. ordens linjer, osv.

Vi vil måtte møte algebraiske linjer av 3., 4. og høyere orden mer enn én gang, spesielt når vi blir kjent med polart koordinatsystem.

La oss imidlertid gå tilbake til den generelle ligningen og huske dens enkleste skolevariasjoner. Som eksempler oppstår en parabel, hvis likning lett kan reduseres til en generell form, og en hyperbel med en ekvivalent likning. Men alt er ikke like glatt...

En betydelig ulempe med den generelle ligningen er at det nesten alltid er uklart hvilken linje den definerer. Selv i det enkleste tilfellet vil du ikke umiddelbart innse at dette er en hyperbole. Slike oppsett er bare gode i en maskerade, så et typisk problem vurderes i løpet av analytisk geometri bringe 2. ordens linjeligningen til kanonisk form.

Hva er den kanoniske formen til en ligning?

Dette er den allment aksepterte standardformen for en ligning, når det i løpet av sekunder blir klart hvilket geometrisk objekt den definerer. I tillegg er den kanoniske formen veldig praktisk for å løse mange praktiske oppgaver. Så for eksempel i henhold til den kanoniske ligningen "flat" rett, for det første er det umiddelbart klart at dette er en rett linje, og for det andre er punktet som tilhører den og retningsvektoren lett synlige.

Det er åpenbart at evt 1. ordrelinje er en rett linje. I andre etasje er det ikke lenger vekteren som venter på oss, men et mye mer mangfoldig selskap med ni statuer:

Klassifisering av andreordens linjer

Ved å bruke et spesielt sett med handlinger, reduseres enhver ligning av en annenordens linje til en av følgende former:

(og er positive reelle tall)

1) – kanonisk ligning av ellipsen;

2) – kanonisk ligning av en hyperbel;

3) – kanonisk ligning av en parabel;

4) – innbilt ellipse;

5) - et par kryssende linjer;

6) – par innbilt kryssende linjer (med et enkelt gyldig skjæringspunkt ved origo);

7) - et par parallelle linjer;

8) – par innbilt parallelle linjer;

9) – et par sammenfallende linjer.

Noen lesere kan ha inntrykk av at listen er ufullstendig. For eksempel, i punkt nr. 7, spesifiserer ligningen paret direkte, parallelt med aksen, og spørsmålet oppstår: hvor er ligningen som bestemmer linjene parallelle med ordinataksen? Svar: det ikke ansett som kanonisk. Rette linjer representerer den samme standardsaken, rotert 90 grader, og tilleggsoppføringen i klassifiseringen er overflødig, siden den ikke gir noe fundamentalt nytt.

Det er altså ni og bare ni forskjellige typer 2. ordens linjer, men i praksis er de vanligste ellipse, hyperbel og parabel.

La oss først se på ellipsen. Som vanlig fokuserer jeg på de punktene som er av stor betydning for å løse problemer, og hvis du trenger en detaljert utledning av formler, bevis på teoremer, vennligst referer for eksempel til læreboken til Bazylev/Atanasyan eller Aleksandrov.

Ellipse og dens kanoniske ligning

Stavemåte ... vennligst ikke gjenta feilene til noen Yandex-brukere som er interessert i "hvordan bygge en ellipse", "forskjellen mellom en ellipse og en oval" og "eksentrisiteten til en ellipse".

Den kanoniske ligningen av en ellipse har formen , hvor er positive reelle tall, og . Jeg vil formulere selve definisjonen av en ellipse senere, men for nå er det på tide å ta en pause fra den snakkende butikken og løse et vanlig problem:

Hvordan bygge en ellipse?

Ja, bare ta det og bare tegne det. Oppgaven forekommer ofte, og en betydelig del av elevene takler ikke tegningen riktig:

Eksempel 1

Konstruer ellipsen gitt av ligningen

Løsning: Først, la oss bringe ligningen til kanonisk form:

Hvorfor ta med? En av fordelene med den kanoniske ligningen er at den lar deg bestemme umiddelbart toppene av ellipsen, som er plassert på punkter. Det er lett å se at koordinatene til hvert av disse punktene tilfredsstiller ligningen.

I dette tilfellet:


Segment ringte hovedaksen ellipse;
segment – mindre akse;
tall ringte semi-major skaft ellipse;
tall – mindre akse.
i vårt eksempel: .

For raskt å forestille seg hvordan en bestemt ellipse ser ut, se bare på verdiene til "a" og "be" i dens kanoniske ligning.

Alt er fint, glatt og vakkert, men det er ett forbehold: Jeg laget tegningen ved hjelp av programmet. Og du kan lage tegningen ved å bruke hvilken som helst applikasjon. Men i den harde virkeligheten ligger det et rutete stykke papir på bordet, og mus danser i sirkler på hendene våre. Folk med kunstnerisk talent kan selvfølgelig krangle, men du har også mus (men mindre). Det er ikke forgjeves at menneskeheten oppfant linjalen, kompasset, gradskiven og andre enkle enheter for tegning.

Av denne grunn er det usannsynlig at vi vil være i stand til å tegne en ellipse nøyaktig når vi bare kjenner til toppunktene. Det er greit hvis ellipsen er liten, for eksempel med halvakser. Alternativt kan du redusere skalaen og følgelig dimensjonene på tegningen. Men generelt er det svært ønskelig å finne flere poeng.

Det er to tilnærminger til å konstruere en ellipse - geometrisk og algebraisk. Jeg liker ikke konstruksjon med kompass og linjal fordi algoritmen ikke er den korteste og tegningen er betydelig rotete. I nødstilfeller, vennligst se læreboken, men i virkeligheten er det mye mer rasjonelt å bruke algebraverktøyene. Fra ellipselikningen i utkastet uttrykker vi raskt:

Ligningen deles deretter ned i to funksjoner:
– definerer den øvre buen av ellipsen;
– definerer den nederste buen til ellipsen.

Ellipsen definert av den kanoniske ligningen er symmetrisk med hensyn til koordinataksene, så vel som med hensyn til origo. Og dette er flott - symmetri er nesten alltid en forkynnelse av freebies. Det er åpenbart nok å forholde seg til 1. koordinatkvartal, så vi trenger funksjonen . Det ber om å bli funnet for tilleggspoeng med abscisser . La oss trykke på tre SMS-meldinger på kalkulatoren:

Selvfølgelig er det også fint at hvis det blir gjort en alvorlig feil i beregningene, vil det umiddelbart bli klart under byggingen.

La oss markere punktene på tegningen (rød), symmetriske punkter på de resterende buene (blå) og koble hele selskapet forsiktig med en linje:


Det er bedre å tegne den første skissen veldig tynt, og først deretter bruke press med en blyant. Resultatet skal være en ganske grei ellipse. Vil du forresten vite hva denne kurven er?

Definisjon av en ellipse. Ellipse foci og ellipse eksentrisitet

En ellipse er et spesielt tilfelle av en oval. Ordet "oval" skal ikke forstås i filistinsk betydning ("barnet tegnet en oval", etc.). Dette er et matematisk begrep som har en detaljert formulering. Hensikten med denne leksjonen er ikke å vurdere teorien om ovaler og deres forskjellige typer, som praktisk talt ikke blir gitt oppmerksomhet i standardkurset for analytisk geometri. Og, i samsvar med mer presserende behov, går vi umiddelbart videre til den strenge definisjonen av en ellipse:

Ellipse er settet av alle punkter i planet, summen av avstandene til hver av dem fra to gitte punkter, kalt triks ellipse, er en konstant størrelse, numerisk lik lengden på hovedaksen til denne ellipsen: .
I dette tilfellet er avstandene mellom fokusene mindre enn denne verdien: .

Nå vil alt bli klarere:

Tenk deg at den blå prikken "reiser" langs en ellipse. Så uansett hvilket punkt på ellipsen vi tar, vil summen av lengdene til segmentene alltid være den samme:

La oss sørge for at i vårt eksempel er verdien av summen virkelig lik åtte. Mentalt plasser punktet "um" ved høyre toppunkt av ellipsen, så: , som er det som måtte sjekkes.

En annen måte å tegne det på er basert på definisjonen av en ellipse. Høyere matematikk er noen ganger årsaken til spenninger og stress, så det er på tide å ha en ny lossingsøkt. Ta whatman-papir eller et stort ark papp og fest det til bordet med to spiker. Dette blir triks. Knyt en grønn tråd til de utstikkende spikerhodene og trekk den hele veien med en blyant. Blyantledningen vil ende opp på et bestemt punkt som hører til ellipsen. Begynn nå å flytte blyanten langs papirarket, hold den grønne tråden tett stram. Fortsett prosessen til du kommer tilbake til utgangspunktet... flott... tegningen kan sjekkes av lege og lærer =)

Hvordan finne brennpunktene til en ellipse?

I eksemplet ovenfor skildret jeg "ferdige" fokuspunkter, og nå skal vi lære å trekke dem ut fra geometriens dybder.

Hvis en ellipse er gitt av en kanonisk ligning, har dens foci koordinater , hvor er dette avstand fra hvert fokus til ellipsens symmetrisenter.

Beregningene er enklere enn enkle:

! De spesifikke koordinatene til foci kan ikke identifiseres med betydningen av "tse"! Jeg gjentar at dette er AVSTAND fra hvert fokus til sentrum(som i det generelle tilfellet ikke trenger å ligge nøyaktig ved origo).
Og derfor kan avstanden mellom foci heller ikke knyttes til den kanoniske posisjonen til ellipsen. Med andre ord kan ellipsen flyttes til et annet sted og verdien vil forbli uendret, mens fokusene vil naturlig endre koordinatene sine. Ta dette i betraktning når du utforsker emnet videre.

Ellipseeksentrisitet og dens geometriske betydning

Eksentrisiteten til en ellipse er et forhold som kan ta verdier innenfor området.

I vårt tilfelle:

La oss finne ut hvordan formen til en ellipse avhenger av dens eksentrisitet. For dette fikse venstre og høyre toppunkt av ellipsen under vurdering, det vil si at verdien av halvhovedaksen vil forbli konstant. Deretter vil eksentrisitetsformelen ha formen: .

La oss begynne å bringe eksentrisitetsverdien nærmere enhet. Dette er bare mulig hvis . Hva betyr det? ...husk triksene . Dette betyr at brennpunktene til ellipsen vil "bevege seg fra hverandre" langs abscisseaksen til sidepunktene. Og siden "de grønne segmentene ikke er gummi", vil ellipsen uunngåelig begynne å flate ut, og bli til en tynnere og tynnere pølse trukket på en akse.

Slik, jo nærmere ellipsens eksentrisitetsverdi er enhet, jo mer langstrakt er ellipsen.

La oss nå modellere den motsatte prosessen: ellipsens foci gikk mot hverandre og nærmet seg sentrum. Dette betyr at verdien av "ce" blir mindre og mindre, og følgelig har eksentrisiteten en tendens til null: .
I dette tilfellet vil de "grønne segmentene" tvert imot "bli overfylte" og de vil begynne å "skyve" ellipselinjen opp og ned.

Slik, Jo nærmere eksentrisitetsverdien er null, jo mer lik er ellipsen... se på det begrensende tilfellet når fokusene er vellykket gjenforent ved opprinnelsen:

En sirkel er et spesielt tilfelle av en ellipse

Faktisk, når det gjelder likestilling av halvaksene, har den kanoniske ligningen av ellipsen formen , som refleksivt transformeres til ligningen av en sirkel med et senter ved opprinnelsen til radius "a", velkjent fra skolen.

I praksis brukes notasjonen med den "talende" bokstaven "er" oftere: . Radius er lengden på et segment, med hvert punkt i sirkelen fjernet fra sentrum med en radiusavstand.

Merk at definisjonen av en ellipse forblir helt korrekt: fociene sammenfaller, og summen av lengdene til de sammenfallende segmentene for hvert punkt på sirkelen er en konstant. Siden avstanden mellom brennpunktene er , da eksentrisiteten til enhver sirkel er null.

Det er enkelt og raskt å konstruere en sirkel, bare bruk et kompass. Noen ganger er det imidlertid nødvendig å finne ut koordinatene til noen av punktene, i dette tilfellet går vi den kjente veien - vi bringer ligningen til den muntre Matanov-formen:

- funksjonen til den øvre halvsirkelen;
– funksjonen til den nedre halvsirkelen.

Så finner vi de nødvendige verdiene, differensiere, integrere og gjøre andre gode ting.

Artikkelen er selvfølgelig kun for referanse, men hvordan kan du leve i verden uten kjærlighet? Kreativ oppgave for selvstendig løsning

Eksempel 2

Komponer den kanoniske ligningen til en ellipse hvis en av dens foci og semi-mollakser er kjent (senteret er i origo). Finn hjørner, tilleggspunkter og tegn en linje i tegningen. Beregn eksentrisitet.

Løsning og tegning på slutten av timen

La oss legge til en handling:

Roter og parallelloversetter en ellipse

La oss gå tilbake til den kanoniske ligningen av ellipsen, nemlig til tilstanden hvis mysterium har plaget nysgjerrige sinn siden den første omtalen av denne kurven. Så vi så på ellipsen , men er det ikke mulig i praksis å møte ligningen ? Tross alt, her ser det imidlertid ut til å være en ellipse også!

Denne typen ligninger er sjelden, men den kommer over. Og det definerer faktisk en ellipse. La oss avmystifisere:

Som et resultat av konstruksjonen ble vår opprinnelige ellipse oppnådd, rotert 90 grader. det vil si - Dette ikke-kanonisk oppføring ellipse . Rekord!– ligning definerer ikke noen annen ellipse, siden det ikke er noen punkter (foci) på aksen som vil tilfredsstille definisjonen av en ellipse.

Teorem. I det kanoniske koordinatsystemet for en ellipse har ellipsens ligning formen:

Bevis. Vi gjennomfører beviset i to trinn. På det første trinnet vil vi bevise at koordinatene til ethvert punkt som ligger på ellipsen tilfredsstiller ligning (4). På det andre trinnet vil vi bevise at enhver løsning på ligning (4) gir koordinatene til et punkt som ligger på ellipsen. Herfra vil det følge at ligning (4) er tilfredsstilt av de og bare de punktene i koordinatplanet som ligger på ellipsen. Av denne og definisjonen av ligningen til en kurve vil det følge at ligning (4) er en ligning av en ellipse.

1) La punktet M(x, y) være et punkt på ellipsen, dvs. summen av dens fokale radier er 2a:

La oss bruke formelen for avstanden mellom to punkter på koordinatplanet og bruke denne formelen til å finne fokalradiene til et gitt punkt M:

Hvor får vi det fra:

La oss flytte en rot til høyre side av likheten og kvadrere den:

Ved å redusere får vi:

Vi presenterer lignende, reduser med 4 og fjern radikalen:

.

Kvadring

Åpne parentesene og forkort med:

hvor får vi:

Ved å bruke likhet (2) får vi:

.

Deler vi den siste likheten med , får vi likhet (4) osv.

2) La nå et tallpar (x, y) tilfredsstille ligning (4) og la M(x, y) være det tilsvarende punktet på koordinatplanet Oxy.

Så fra (4) følger det:

Vi erstatter denne likheten i uttrykket for fokalradiene til punkt M:

.

Her brukte vi likhet (2) og (3).

Dermed,. Likeledes,.

Legg nå merke til at fra likhet (4) følger det

Eller osv. , så følger ulikheten:

Herfra følger det på sin side at

Av likestilling (5) følger at, d.v.s. punktet M(x, y) er et punkt på ellipsen osv.

Teoremet er bevist.

Definisjon. Ligning (4) kalles den kanoniske ligningen for ellipsen.

Definisjon. De kanoniske koordinataksene for en ellipse kalles ellipsens hovedakser.

Definisjon. Opprinnelsen til det kanoniske koordinatsystemet for en ellipse kalles midten av ellipsen.

Ellipse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, for hvert av disse er summen av avstandene til to gitte punkter i samme plan, kalt brennpunktene til ellipsen, en konstant verdi. For ellipsen kan flere likeverdige definisjoner gis. Interesserte kan bli kjent med dem i mer seriøse lærebøker om analytisk geometri. Her legger vi bare merke til at en ellipse er en kurve oppnådd som en projeksjon på planet til en sirkel som ligger i et plan som danner en spiss vinkel med planet. I motsetning til en sirkel, er det ikke mulig å skrive ned ligningen til en ellipse i et vilkårlig koordinatsystem i en "praktisk" form. Derfor, for en fast ellipse, er det nødvendig å velge et koordinatsystem slik at ligningen er ganske enkel. La og være brennpunktene til ellipsen. La oss plassere opprinnelsen til koordinatsystemet i midten av segmentet. La oss rette aksen langs dette segmentet, aksen vinkelrett på dette segmentet

24)Hyperbel

Fra et skolematematikkkurs vet vi at en kurve definert av ligningen , hvor er et tall, kalles en hyperbel. Dette er imidlertid et spesielt tilfelle av en hyperbel (likesidet hyperbel). Definisjon 12. 5 En hyperbel er det geometriske stedet for punkter på et plan, for hvert av dem er absoluttverdien av forskjellen i avstander til to faste punkter i samme plan, kalt foci av hyperbelen, en konstant verdi. Akkurat som i tilfellet med en ellipse, for å få ligningen til en hyperbel, velger vi et passende koordinatsystem. La oss plassere opprinnelsen til koordinatene i midten av segmentet mellom brennpunktene, rette aksen langs dette segmentet og rette ordinataksen vinkelrett på den. Teorem 12. 3 La avstanden mellom brennpunktene og hyperbelen være lik, og den absolutte verdien av forskjellen i avstandene fra punktet til hyperbelen til brennpunktene være lik. Da har hyperbelen i koordinatsystemet valgt ovenfor ligningen (12.8) hvor (12.9) Bevis. La være det nåværende punktet til hyperbelen (fig. 12.9). Ris. 12. 9. Siden forskjellen mellom to sider av en trekant er mindre enn den tredje siden, da , altså . I kraft av den siste ulikheten eksisterer det reelle tallet definert av formel (12.9). Etter konvensjon er fokusene , . Ved å bruke formel (10.4) for tilfellet av et plan, får vi Ved definisjon av en hyperbel Vi skriver denne ligningen på formen Vi kvadrerer begge sider: Etter å ha brakt lignende ledd og dividert med 4, kommer vi til likheten Igjen, vi kvadrerer begge sider: Åpner parentesen og bringer lignende termer, får vi. Ta hensyn til formelen (12.9), ligningen har formen La oss dele begge sider av ligningen med og få ligning (12.8) Ligning (12.8) kalles den kanoniske ligningen til en hyperbel. Forslag 12. 3 En hyperbel har to innbyrdes perpendikulære symmetriakser, hvorav den ene inneholder fociene til hyperbelen, og et symmetrisenter. Hvis en hyperbel er gitt av en kanonisk ligning, er dens symmetriakser

koordinatakser og , og opprinnelsen er symmetrisenteret til hyperbelen. Bevis. Beviset ligner på forslag 12.1. La oss konstruere hyperbelen gitt ved likning (12.8). Merk at på grunn av symmetri er det tilstrekkelig å konstruere kurven kun ved den første koordinatvinkelen. La oss uttrykke fra den kanoniske ligningen som en funksjon, forutsatt at og lag en graf over denne funksjonen. Definisjonsdomenet er intervallet , , funksjonen vokser monotont. Derivat eksisterer i hele definisjonsdomenet, bortsett fra punktet. Derfor er grafen en jevn kurve (uten hjørner). Andre derivat er negativ på alle punkter i intervallet, derfor er grafen konveks oppover. La oss sjekke grafen for tilstedeværelsen av en asymptote ved . La asymptoten ha ligningen . Deretter, i henhold til reglene for matematisk analyse Vi multipliserer uttrykket under grensetegnet og deler på .

Vi får: Så, grafen til funksjonen har en asymptote. Av symmetrien til hyperbelen følger det at den også er en asymptote. Naturen til kurven i nærheten av punktet forblir uklar, nemlig om grafen dannes og den delen av hyperbelen som er symmetrisk til den i forhold til aksen på dette punktet er en vinkel eller en hyperbel på dette punktet - en jevn kurve (det er en tangent). For å løse dette problemet uttrykker vi fra ligning (12.8) til: Det er åpenbart at denne funksjonen har en derivert i punktet , , og i punktet hyperbelen har en vertikal tangent. Ved å bruke de innhentede dataene tegner vi en graf over funksjonen (Fig. 12.10). Ris. 12. 10. Graf over en funksjon Til slutt, ved å bruke symmetrien til hyperbelen, får vi kurven i figur 12.11. Ris. 12. 11.Hyperboldefinisjon 12. 6 Skjæringspunktene for hyperbelen definert av den kanoniske ligningen (12.8) med aksen kalles toppunktene til hyperbelen, segmentet mellom dem kalles hyperbelens reelle akse. Segmentet til ordinataksen mellom punktene kalles den imaginære aksen. Tallene og kalles henholdsvis de reelle og imaginære halvaksene til hyperbelen. Opprinnelsen til koordinatene kalles dens sentrum. Mengden kalles eksentrisiteten til hyperbelen. Merknad 12. 3 Av likhet (12.9) følger det at , altså for hyperbelen . Eksentrisitet karakteriserer vinkelen mellom asymptoter jo nærmere 1, jo mindre er denne vinkelen. Merknad 12. 4 I motsetning til en ellipse, i den kanoniske ligningen til en hyperbel, kan forholdet mellom mengdene og være vilkårlig. Spesielt når vi får en likesidet hyperbel, kjent fra skolematematikkkurset. Dens ligning har en kjent form hvis vi tar , og aksene og retter dem langs halveringslinjene til den fjerde og første koordinatvinkelen (fig. 12.12). Ris. 12. 12. Likesidet hyperbel For å reflektere de kvalitative egenskapene til en hyperbel i en figur, er det nok å bestemme dens toppunkter, tegne asymptoter og tegne en jevn kurve som går gjennom toppunktene, nærmer seg asymptotene og ligner på kurven i figur 12.10. Eksempel 12. 4 Konstruer en hyperbel, finn dens brennpunkter og eksentrisitet. Løsning. La oss dele begge sider av ligningen med 4. Vi får den kanoniske ligningen , . Vi tegner asymptoter og konstruerer en hyperbel (fig. 12.13). Ris. 12. 13.Hyperbol Fra formel (12.9) får vi. Da er triksene , , . Eksempel 12. 5 Konstruer en hyperbel. Finn dens fokus og eksentrisitet. Løsning. La oss transformere likningen til formen Denne likningen er ikke en kanonisk likning av en hyperbel, siden tegnene er foran og motsatte av tegnene i den kanoniske likningen. Men hvis vi redesigner variablene , , så får vi i de nye variablene den kanoniske ligningen Den reelle aksen til denne hyperbelen ligger på aksen, det vil si på aksen til det opprinnelige koordinatsystemet, asymptotene har en ligning, dvs. , ligningen i de opprinnelige koordinatene. Den reelle halvaksen er lik 5, den imaginære er 2. I samsvar med disse dataene utfører vi konstruksjonen (fig. 12.14). Ris. 12. 14.Hyperbola med ligning Fra formel (12.9) får vi, , fociene ligger på den reelle aksen - , , hvor koordinatene er angitt i det opprinnelige koordinatsystemet.

Parabel

I skolematematikkkurset ble parablen studert i noen detalj, som per definisjon var grafen til et kvadratisk trinomium. Her vil vi gi en annen (geometrisk) definisjon av en parabel. Definisjon 12. 7 En parabel er det geometriske stedet for punkter på et plan, for hvert av disse avstanden til et fast punkt på dette planet, kalt fokus, er lik avstanden til en fast rett linje som ligger i samme plan og kalles retningslinjen av parabelen. For å få ligningen til en kurve som tilsvarer denne definisjonen, introduserer vi et passende koordinatsystem. For å gjøre dette, senk perpendikulæren fra fokuset til retningslinjen. La oss plassere opprinnelsen til koordinatene i midten av segmentet, og rette aksen langs segmentet slik at retningen sammenfaller med retningen til vektoren. La oss tegne aksen vinkelrett på aksen (fig. 12.15). Ris. 12. 15. Teorem 12. 4 La avstanden mellom fokus og retningslinjen til parablen være lik . Så i det valgte koordinatsystemet har parablen ligningen (12.10) Bevis. I det valgte koordinatsystemet er fokuset til parablen punktet, og retningslinjen har ligningen (fig. 12.15). La være det nåværende punktet til parabelen. Deretter, ved å bruke formel (10.4) for plantilfellet, finner vi Avstanden fra et punkt til retningslinjen er lengden på perpendikulæren som er falt til retningslinjen fra punktet. Fra figur 12.15 er det åpenbart at . Da ved definisjonen av en parabel, altså La oss kvadre begge sider av den siste ligningen: hvor Etter å ha tatt med lignende termer, får vi ligning (12.10). Ligning (12.10) kalles den kanoniske ligningen til en parabel. Forslag 12. 4 En parabel har en symmetriakse. Hvis en parabel er gitt av en kanonisk ligning, så faller symmetriaksen sammen med aksen. Bevis. Fortsett på samme måte som beviset (Proposisjoner 12.1). Skjæringspunktet mellom symmetriaksen og parablen kalles parabelens toppunkt. Hvis vi redesigner variablene , kan ligning (12.10) skrives i en form som sammenfaller med den vanlige parabellikningen i et skolematematikkkurs. Derfor vil vi tegne en parabel uten ytterligere forskning (fig. 12.16). Ris. 12. 16. Parabeleksempel 12. 6 Konstruer en parabel. Finn hennes fokus og regissør. Løsning. Ligningen er den kanoniske ligningen til parabelen, , . Parablens akse er aksen, toppunktet er i origo, grenene til parablen er rettet langs aksen. For å konstruere vil vi finne flere punkter i parablen. For å gjøre dette tildeler vi verdier til variabelen og finner verdiene. La oss ta poeng , , . Tar vi hensyn til symmetri om aksen, tegner vi en kurve (fig. 12.17) Ris. 12. 17. En parabel gitt av ligningen Fokus ligger på aksen i avstand fra toppunktet, det vil si at den har koordinater . Retningslinjen har en ligning, det vil si . En parabel har, som en ellipse, en egenskap knyttet til refleksjon av lys (fig. 12.18). La oss formulere eiendommen på nytt uten bevis. Forslag 12. 5 La være fokus for parabelen, et vilkårlig punkt av parabelen, og en stråle med sin opprinnelse i et punkt parallelt med aksen til parablen. Da deler normalen til parabelen i punktet vinkelen som dannes av segmentet og strålen i to. Ris. 12. 18. Refleksjon av en lysstråle fra en parabel Denne egenskapen betyr at en lysstråle som forlater fokuset, reflektert fra parabelen, da vil gå parallelt med denne parabelens akse. Og omvendt, alle stråler som kommer fra det uendelige og parallelt med parabelens akse vil konvergere i fokus. Denne egenskapen er mye brukt i teknologi. Spotlights har vanligvis et speil, hvis overflate er oppnådd ved å rotere en parabel rundt sin symmetriakse (parabolsk speil). Lyskilden i spotlights er plassert i fokus på en parabel. Som et resultat produserer spotlighten en stråle av nesten parallelle lysstråler. Den samme egenskapen brukes i mottaksantenner for romkommunikasjon og i teleskopspeil, som samler en strøm av parallelle stråler av radiobølger eller en strøm av parallelle stråler av lys og konsentrerer den i speilets fokus.

26) Matrisedefinisjon. En matrise er en rektangulær talltabell som inneholder et visst antall m rader og et visst antall n kolonner.

Grunnleggende matrisekonsepter: Tallene m og n kalles rekkefølgen til matrisen. Hvis m=n, kalles matrisen kvadrat, og tallet m=n er rekkefølgen.

I det følgende vil følgende notasjon bli brukt til å skrive matrisen:

Selv om betegnelsen noen ganger vises i litteraturen:

For å kort betegne en matrise, brukes ofte én stor bokstav i det latinske alfabetet (for eksempel A), eller symbolet ||a ij ||, og noen ganger med en forklaring: A=||a ij ||= (a ij) (i =1,2,...,m; j=1,2,...n)

Tallene a ij inkludert i denne matrisen kalles dens elementer. I oppføringen a ij betyr den første indeksen i radnummeret, og den andre indeksen j betyr kolonnenummeret.

For eksempel matrise

dette er en matrise av størrelsesorden 2×3, dens elementer er a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...

Så vi har introdusert definisjonen av en matrise. La oss vurdere typene matriser og gi de tilsvarende definisjonene.

Typer matriser

La oss introdusere begrepet matriser: kvadrat, diagonal, enhet og null.

Definisjon av en kvadratisk matrise: Firkantet matrise En n-te ordens matrise kalles en n×n matrise.

Når det gjelder en kvadratisk matrise

Begrepet hoved- og sekundærdiagonaler introduseres. Hoveddiagonal av en matrise er diagonalen som går fra øvre venstre hjørne av matrisen til nedre høyre hjørne.

Side diagonal av samme matrise kalles diagonalen som går fra nedre venstre hjørne til øvre høyre hjørne.

Konseptet med en diagonal matrise: Diagonal er en kvadratisk matrise der alle elementer utenfor hoveddiagonalen er lik null.

Konseptet med identitetsmatrisen: Enkelt(betegnet E noen ganger I) kalles en diagonal matrise med ener på hoveddiagonalen.

Konseptet med en nullmatrise: Null er en matrise hvis elementer alle er null.

To matriser A og B sies å være like (A=B) hvis de er like store (det vil si at de har like mange rader og like mange kolonner og deres tilsvarende elementer er like). Så hvis

så A=B, hvis a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22

Matriser av en spesiell type

Firkantet matrise ringte øvre trekantet, hvis kl i>j, Og nedre trekantet, hvis kl jeg

Generell oversikt over trekantede matriser:

Merk at blant de diagonale elementene det kan være elementer lik null. Matrise kalt øvre trapezius hvis følgende tre betingelser er oppfylt:

1. for i>j;

2. Det er et naturlig tall r som tilfredsstiller ulikhetene , Hva .

3. Hvis et diagonalt element er , er alle elementene i den i-te raden og alle påfølgende rader lik null.

Generell oversikt over de øvre trapesformede matrisene:

på .

kl.

ved r=n

ved r=m=n.

Legg merke til at når r=m=n, er den øvre trapesformede matrisen en trekantet matrise med diagonale elementer som ikke er null.

27) Handlinger med matriser

Matrisetillegg

Matriser av samme størrelse kan stables.

Summen av to slike matriser A og B kalles matrise C, hvis elementer er lik summen av de tilsvarende elementene i matrisene A og B. Symbolsk vil vi skrive det slik: A+B=C.

Det er lett å se at tillegg av matriser følger de kommutative og kombinasjonslovene:

(A+B)+C=A+(B+C).

Når man legger til matriser, spiller nullmatrisen rollen som en ordinær null når man legger til tall: A+0=A.

Subtraksjon av matriser.

Forskjellen mellom to matriser A og B av samme størrelse er en matrise C slik at

Fra denne definisjonen følger det at elementene i matrise C er lik forskjellen mellom de tilsvarende elementene i matrisene A og B.

Forskjellen mellom matrisene A og B er angitt som følger: C=A – B.

3. Matrisemultiplikasjon

Tenk på regelen for å multiplisere to andreordens kvadratmatriser.

Produktet av matrise A og matrise B kalles matrise C=AB.

Regler for å multiplisere rektangulære matriser:

Å multiplisere matrise A med matrise B er fornuftig i tilfellet når antall kolonner i matrise A faller sammen med antall rader i matrise B.

Som et resultat av å multiplisere to rektangulære matriser, oppnås en matrise som inneholder like mange rader som det var rader i den første matrisen og like mange kolonner som det var kolonner i den andre matrisen.

4. Multiplisere en matrise med et tall

Når matrise A multipliseres med tall , multipliseres alle tall som utgjør matrise A med tall . La oss for eksempel gange matrisen med tallet 2. Vi får, dvs. Når du multipliserer en matrise med et tall, "introduseres" faktoren under tegnet til matrisen.

Matrix Transponere

Transponert matrise er en matrise AT hentet fra den opprinnelige matrisen A ved å erstatte rader med kolonner.

Formelt sett er den transponerte matrisen for en matrise A med dimensjonene m*n en matrise AT med dimensjonene n*m, definert som AT = A.

For eksempel

Egenskaper til transponerte matriser

2. (A + B)T = AT + BT

28) Begrepet n. ordens determinant

La oss få en kvadratisk tabell som består av tall arrangert i n horisontale og n vertikale rader. Ved å bruke disse tallene, i henhold til visse regler, beregnes et visst tall, som kalles den n-te ordens determinant og betegnes som følger:

(1)

De horisontale radene i determinanten (1) kalles rader, de vertikale radene kalles kolonner, tallene er elementer i determinanten (den første indeksen betyr radnummeret, den andre – kolonnenummeret i skjæringspunktet for elementet i = 1, 2, ..., n = 1, 2, ..., n). Rekkefølgen til en determinant er antall rader og kolonner.

En tenkt rett linje som forbinder elementer av determinanten der begge indeksene er like, dvs. elementer

kalles hoveddiagonalen, den andre diagonalen kalles sekundærdiagonalen.

En determinant av n-te orden er et tall som er den algebraiske summen av n! termer, som hver er produktet av n av elementene, tatt bare én fra hver n rad og fra hver n kolonne i en kvadratisk talltabell, med halvparten av (visse) ledd tatt med sine tegn, og resten med motsatte tegn.

La oss vise hvordan determinantene for de tre første ordenene beregnes.

Førsteordensdeterminanten er selve elementet, dvs.

Andreordens determinant er antallet oppnådd som følger:

(2)

Formel (3) viser at begrepene tatt med deres tegn er produktet av elementene i hoveddiagonalen, så vel som elementene som er plassert ved toppunktene til to trekanter, hvis base er parallelle med den; med motsatte - termer som er produkter av elementer i sidediagonalen, så vel som elementer plassert ved toppunktene til to trekanter som er parallelle med den.

Eksempel 2. Regn ut tredjeordens determinanten:

Løsning. Ved å bruke trekantregelen får vi

Beregningen av determinanter av fjerde og påfølgende ordre kan reduseres til beregning av determinanter av andre og tredje ordre. Dette kan gjøres ved å bruke egenskapene til determinanter. Vi går nå videre til å vurdere dem.

Egenskaper til n. ordens determinant

Egenskap 1. Ved erstatning av rader med kolonner (transponering) vil ikke verdien av determinanten endres, dvs.

Egenskap 2. Hvis minst én rad (rad eller kolonne) består av nuller, er determinanten lik null. Beviset er åpenbart.

Faktisk, i hvert ledd av determinanten vil en av faktorene være null.

Egenskap 3. Hvis to tilstøtende parallelle rader (rader eller kolonner) byttes i determinanten, så vil determinanten endre fortegn til det motsatte, dvs.

Egenskap 4. Hvis determinanten inneholder to identiske parallelle serier, er determinanten lik null:

Egenskap 5. Hvis to parallelle serier i determinanten er proporsjonale, er determinanten lik null:

Egenskap 6. Hvis alle elementene i determinanten som er i samme rad multipliseres med samme tall, vil verdien av determinanten endres med dette antallet ganger:

Konsekvens. Fellesfaktoren i alle elementene i en rad kan tas ut av determinanttegnet, for eksempel:

Egenskap 7. Hvis alle elementene i en serie i en determinant presenteres som summen av to ledd, er den lik summen av to determinanter:

Egenskap 8. Hvis produktet av de tilsvarende elementene i en parallell serie med en konstant faktor legges til elementene i en serie, vil ikke verdien av determinanten endres:

Egenskap 9. Hvis en lineær kombinasjon av de tilsvarende elementene i flere parallelle serier legges til elementene i den i-te serien, vil ikke verdien av determinanten endres:

man kan konstruere ulike molorer av første, andre og tredje orden.

Den kanoniske ligningen til ellipsen har formen

hvor a er halvhovedaksen; b – semi-molakse. Punktene F1(c,0) og F2(-c,0) − c kalles

a, b - halvakser av ellipsen.

Finne brennpunktene, eksentrisiteten, retningslinjene til en ellipse, hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Definisjon av hyperbole. Hyperbolske triks.

Definisjon. En hyperbel er et sett med punkter på et plan der modulen til forskjellen i avstander fra to gitte punkter, kalt foci, er en konstant verdi mindre enn avstanden mellom brennpunktene.

Per definisjon |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – fokusene til hyperbelen. F1F2 = 2c.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel. Halvakser av en hyperbel. Konstruere en hyperbel hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Kanonisk ligning:

Den semimajor-aksen til en hyperbel er halvparten av minimumsavstanden mellom de to grenene av hyperbelen, på de positive og negative sidene av aksen (venstre og høyre i forhold til origo). For en gren som ligger på den positive siden, vil halvaksen være lik:

Hvis vi uttrykker det gjennom kjeglesnittet og eksentrisiteten, vil uttrykket ha formen:

Finne foci, eksentrisitet, dirrixes av en hyperbel, hvis dens kanoniske ligning er kjent.

Hyperbeleksentrisitet

Definisjon. Forholdet kalles eksentrisiteten til hyperbelen, hvor c –

halve avstanden mellom brennpunktene, og er den reelle halvaksen.

Ta i betraktning det faktum at c2 – a2 = b2:

Hvis a = b, e = , kalles hyperbelen likesidet (likesidet).

Retningslinjer for en hyperbole

Definisjon. To rette linjer vinkelrett på den reelle aksen til hyperbelen og plassert symmetrisk i forhold til sentrum i en avstand a/e fra det, kalles riktlinjer av hyperbelen. Ligningene deres er: .

Teorem. Hvis r er avstanden fra et vilkårlig punkt M i hyperbelen til et hvilket som helst fokus, er d avstanden fra samme punkt til retningslinjen som tilsvarer dette fokuset, så er forholdet r/d en konstant verdi lik eksentrisiteten.

Definisjon av en parabel. Fokus og retning av en parabel.

Parabel. En parabel er stedet for punkter, som hver er like langt fra et gitt fast punkt og fra en gitt fast linje. Punktet det refereres til i definisjonen kalles parabelens fokus, og den rette linjen er dens retning.

Kanonisk ligning av en parabel. Parabolparameter. Konstruksjon av en parabel.

Den kanoniske ligningen til en parabel i et rektangulært koordinatsystem: (eller, hvis aksene er byttet).

Konstruksjonen av en parabel for en gitt verdi av parameteren p utføres i følgende sekvens:

Tegn symmetriaksen til parablen og plott segmentet KF=p på den;

Directrix DD1 er trukket gjennom punktet K vinkelrett på symmetriaksen;

Segmentet KF deles i to for å oppnå toppunktet 0 av parabelen;

En rekke vilkårlige punkter 1, 2, 3, 5, 6 måles fra toppen med en gradvis økende avstand mellom dem;

Gjennom disse punktene tegner du hjelpelinjer vinkelrett på parabelens akse;

På hjelpelinjer er seriffer laget med en radius som er lik avstanden fra den rette linjen til retningslinjen;

De resulterende punktene er forbundet med en jevn kurve.