Reelle tall, bilde på tallaksen. Reelle tall, bilde på tallaksen Egenskaper for absolutte mengder

Vi vet allerede at settet med reelle tall $R$ dannes av rasjonelle og irrasjonelle tall.

Rasjonale tall kan alltid representeres som desimalbrøker (endelig eller uendelig periodisk).

Irrasjonelle tall skrives som uendelige, men ikke-periodiske desimalbrøker.

Settet med reelle tall $R$ inkluderer også elementene $-\infty $ og $+\infty $, som ulikhetene $-\infty gjelder for

La oss se på måter å representere reelle tall på.

Vanlige brøker

Vanlige brøker skrives med to naturlige tall og en horisontal brøklinje. Brøkstreken erstatter faktisk divisjonstegnet. Tallet under linjen er nevneren til brøken (divisor), tallet over linjen er telleren (dividende).

Definisjon

En brøk kalles egen hvis telleren er mindre enn nevneren. Omvendt kalles en brøk en uekte brøk hvis telleren er større enn eller lik nevneren.

For vanlige brøker er det enkle, nesten åpenbare, sammenligningsregler ($m$,$n$,$p$ - naturlige tall):

1. av to brøker med de samme nevnerne, er den med den største telleren større, det vil si $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ for $m>n$;
2. av to brøker med samme tellere, er den med den minste nevneren større, det vil si $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ for $ m
3. en egenbrøk er alltid mindre enn én; en uekte brøk er alltid større enn én; en brøk der telleren er lik nevneren er lik en;
4. Hver uekte brøk er større enn hver uekte brøk.

Desimaltall

Notasjonen av et desimaltall (desimalbrøk) har formen: heltallsdel, desimaltegn, brøkdel. Desimalnotasjonen til en vanlig brøk kan oppnås ved å dele telleren med nevneren med "vinkelen". Dette kan resultere i enten en endelig desimalbrøk eller en uendelig periodisk desimalbrøk.

Definisjon

Sifrene i brøkdelen kalles desimaler. I dette tilfellet kalles det første sifferet etter desimaltegnet tiendedelssifferet, det andre - hundredelerssifferet, det tredje - tusendelssifferet, etc.

Eksempel 1

Bestem verdien av desimaltallet 3,74. Vi får: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Desimaltallet kan avrundes. I dette tilfellet må du angi sifferet som avrundingen utføres til.

Avrundingsregelen er som følger:

1. alle sifrene til høyre for dette sifferet erstattes med nuller (hvis disse sifrene er før desimaltegnet) eller forkastet (hvis disse sifrene er etter desimaltegnet);
2. hvis det første sifferet etter et gitt siffer er mindre enn 5, endres ikke sifferet til dette sifferet;
3. hvis det første sifferet etter et gitt siffer er 5 eller mer, økes sifferet til dette sifferet med én.

Eksempel 2

1. La oss runde av tallet 17302 til tusenvis: 17000.
2. La oss runde av tallet 17378 til hundrevis: 17400.
3. La oss runde tallet 17378.45 til tiere: 17380.
4. La oss runde av tallet 378.91434 til nærmeste hundredel: 378.91.
5. La oss runde av tallet 378.91534 til nærmeste hundredel: 378.92.

Konverter et desimaltall til en brøk.

Sak 1

Et desimaltall representerer en avsluttende desimalbrøk.

Følgende eksempel viser konverteringsmetoden.

Eksempel 2

Vi har: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Vi reduserer det til en fellesnevner og får:

Brøken kan reduseres: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Tilfelle 2

En desimal representerer en uendelig periodisk desimalbrøk.

Omregningsmetoden er basert på det faktum at den periodiske delen av en periodisk desimalbrøk kan betraktes som summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Eksempel 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Det første leddet i progresjonen er $a=0,74$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$.

Eksempel 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Det første leddet i progresjonen er $a=0,08$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$.

Summen av leddene til en uendelig avtagende geometrisk progresjon beregnes med formelen $s=\frac(a)(1-q) $, der $a$ er det første leddet og $q$ er nevneren for progresjonen $ \venstre (0

Eksempel 6

La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,\left(72\right)$ til en vanlig.

Det første leddet i progresjonen er $a=0,72$, nevneren for progresjonen er $q=0,01$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) $. Dermed $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Eksempel 7

La oss konvertere den uendelige periodiske desimalbrøken $0,5\venstre(3\høyre)$ til en vanlig.

Det første leddet i progresjonen er $a=0,03$, nevneren for progresjonen er $q=0,1$. Vi får: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30) $.

Dermed $0,5\venstre(3\høyre)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Reelle tall kan representeres av punkter på tallaksen.

I dette tilfellet kaller vi tallaksen en uendelig rett linje der origo (punkt $O$), positiv retning (angitt med en pil) og skala (for visning av verdier) er valgt.

Det er en en-til-en korrespondanse mellom alle reelle tall og alle punkter på tallaksen: hvert punkt tilsvarer et enkelt tall og omvendt tilsvarer hvert tall et enkelt punkt. Følgelig er settet av reelle tall kontinuerlig og uendelig, akkurat som talllinjen er kontinuerlig og uendelig.

Noen delmengder av settet med reelle tall kalles numeriske intervaller. Elementene i et numerisk intervall er tall $x\i R$ som tilfredsstiller en viss ulikhet. La $a\in R$, $b\in R$ og $a\le b$. I dette tilfellet kan typene intervaller være som følger:

1. Intervall $\venstre(a,\; b\høyre)$. Samtidig $a
2. Segment $\left$. Dessuten $a\le x\le b$.
3. Halvsegmenter eller halvintervaller $\left$. Dessuten $ a \le x
4. Uendelige intervaller, for eksempel $a

En type intervall kalt et nabolag til et punkt er også viktig. Nabolaget til et gitt punkt $x_(0) \in R$ er et vilkårlig intervall $\left(a,\; b\right)$ som inneholder dette punktet i seg selv, det vil si at $a 0$ er dets radius.

Absolutt verdi av et tall

Den absolutte verdien (eller modulen) til et reelt tall $x$ er et ikke-negativt reelt tall $\left|x\right|$, bestemt av formelen: $\left|x\right|=\venstre\(\ begynne(matrise)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Geometrisk betyr $\left|x\right|$ avstanden mellom punktene $x$ og 0 på tallinjen.

Egenskaper for absolutte verdier:

1. fra definisjonen følger det at $\venstre|x\høyre|\ge 0$, $\venstre|x\høyre|=\venstre|-x\høyre|$;
2. for modulen til summen og for modulen til differansen av to tall, er følgende ulikheter gyldige: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, samt $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\venstre|y\høyre|$,$\ venstre|x-y\høyre|\ge \venstre|x\høyre|-\venstre|y\høyre|$;
3. for modulen til produktet og modulen til kvotienten til to tall, er følgende likheter sanne: $\venstre|x\cdot y\right|=\venstre|x\høyre|\cdot \venstre|y\høyre| $ og $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Basert på definisjonen av den absolutte verdien for et vilkårlig tall $a>0$, kan man også etablere ekvivalensen til følgende ulikhetspar:

1. hvis $\venstre|x\høyre|
2. hvis $\left|x\right|\le a$, så $-a\le x\le a$;
3. hvis $\left|x\right|>a$, så enten $xa$;
4. hvis $\left|x\right|\ge a$, så enten $x\le -a$ eller $x\ge a$.

Eksempel 8

Løs ulikheten $\venstre|2\cdot x+1\høyre|

Denne ulikheten tilsvarer ulikhetene $-7

Herfra får vi: $-8

Definisjon 1. Tallakse kalles en rett linje med origo, skala og retning valgt på.

Teorem 1. Det er en en-til-en-korrespondanse (bijeksjon) mellom punkter på tallinjen og reelle tall.

Nødvendighet. La oss vise at hvert punkt på tallinjen tilsvarer et reelt tall. For å gjøre dette, la oss sette til side et skalasegment av enhetslengde

i så fall er det poenget vil ligge til venstre for punktet , og pek
allerede mer til høyre. Neste segment
dele med
deler og sett til side segmentet og i så fall er det poenget vil ligge til venstre for punktet , og pek
allerede mer til høyre. Dermed på hvert trinn antallet
,
... Hvis denne prosedyren avsluttes på et tidspunkt, vil vi få nummeret
(punktkoordinat på tallaksen). Hvis ikke, la oss kalle den venstre grensen for ethvert intervall et "tall" med en ulempe”, og den rette – “med et tall med overskytende", eller "tilnærming til antallet med mangel eller overskudd» og selve tallet vil være en uendelig ikke-periodisk (hvorfor?) desimalbrøk. Det kan vises at alle operasjoner med rasjonelle tilnærminger av et irrasjonelt tall er bestemt entydig.

Tilstrekkelighet. La oss vise at et hvilket som helst reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på tallaksen. 

Definisjon 2. Hvis
, deretter det numeriske intervallet
ringtesegment , Hvis
, deretter det numeriske intervallet ringteintervall , Hvis
, deretter det numeriske intervallet
ringtehalvt intervall .

OM
definisjon 3. Hvis du er i et segment
segmenter er nestet slik at
, A
, da kalles et slikt system SHS (system av nestede segmenter ).

Definisjon 4. De sier det

(segmentlengde
har en tendens til null , forutsatt at
), Hvis.

Definisjon 5. SBC, som har
kalt CSS (contracting segment system).

Cantor-Dedekind aksiom: I enhver SHS er det minst ett punkt som tilhører dem alle samtidig.

Siden rasjonelle tilnærminger av tallet kan representeres av et system av kontrakterende segmenter, deretter det rasjonelle tallet vil tilsvare et enkelt punkt på den numeriske aksen hvis det i systemet med kontrakterende segmenter er et enkelt punkt som tilhører dem alle samtidig ( Kantors teorem). La oss vise dette ved selvmotsigelse.

. La Og to slike punkter, og
,
. T
hvordan, hvordan,
, Det
. Men på den annen side,
, a, dvs. starter fra et tall
,
vil være mindre enn noen konstant. Denne motsetningen beviser hva som kreves.

Dermed har vi vist at tallaksen er kontinuerlig (har ingen "hull") og det kan ikke plasseres flere tall på den. Imidlertid vet vi fortsatt ikke hvordan vi skal trekke ut røtter fra noen reelle tall (spesielt fra negative) og vet ikke hvordan vi løser ligninger som
. I avsnitt 5 vil vi løse dette problemet.

3. 4. Teori om kanter

Definisjon 1. Mange
begrenset ovenfra (nedenfra ), hvis det er et tall , slik at
. Tall ringtetopp (bunn ) kant .

Definisjon 2. Mangebegrenset , hvis den er avgrenset både over og under.

Definisjon 3. Nøyaktig øvre kant avgrenset over sett med reelle tall
ringte :

(de. – en av de øvre flatene);

(de. – ikke-bevegelig).

Kommentar. Nøyaktig supremum bound (SUB) for et tallsett
betegnet med
(fra lat. supremum- den minste av de store).

Kommentar. Den tilsvarende definisjonen for TNG ( eksakt nedre kant) gi deg selv. TNG nummer satt
betegnet med
(fra lat. infinum- den største av de minste).

Kommentar. kan tilhøre
, eller kanskje ikke. Tall er en TVG av settet av negative reelle tall, og en TVG av settet av positive reelle tall, men tilhører ikke verken det ene eller det andre. Tall er en TNG av settet av naturlige tall og refererer til dem.

Spørsmålet oppstår: har et begrenset sett eksakte grenser og hvor mange er det?

Teorem 1. Ethvert ikke-tomt sett med reelle tall avgrenset ovenfor har en unik TVG. (tilsvarende formuler og bevis teoremet for TNG selv).

Design. Mange
et ikke-tomt sett med reelle tall avgrenset ovenfor. Da
Og
. Del segmentet

n
i to og kall det et segment
en som har følgende egenskaper:

segment
inneholder minst ett punkt
. (for eksempel punkt );

hele mengden
ligger til venstre for punktet , dvs.
.

Ved å fortsette denne prosedyren får vi SSS
. Derfor, ifølge Cantors teorem, er det et unikt poeng , som tilhører alle segmenter samtidig. La oss vise det
.

La oss vise det
(de. - ett av ansiktene). La oss anta det motsatte, det
. Fordi
, Det
så snart
,
, dvs.
, dvs.
. Etter punktvalgsregelen
, punkt alltid til venstre , dvs.
, derfor og
. Men er valgt slik at alt
, A
, dvs. Og
. Denne motsetningen beviser denne delen av teoremet.

La oss vise uforanderlighet , dvs.
. La oss fikse det
og finn nummeret. Ifølge
med regel 1 for valg av segmenter. Det har vi nettopp vist
, dvs.
, eller
. Slik
, eller
. ■

2 LIGNINGER OG ULIKHETER AV FØRSTE GRAD
Begynn å studere emnet ved å løse repetisjonsoppgaver fra kapittel 1

§ 4. ULIKHETER

Numeriske ulikheter og deres egenskaper

175. Sett et ulikhetstegn mellom tallene EN Og b, hvis det er kjent at:
1) (a - b) - positivt tall;
2) (a - b) - negativt tall;
3) (a - b) er et ikke-negativt tall.

176. X, hvis:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Skriv ved å bruke ulikhetstegn som:
1) X- positivt tall;
2) på-negativt tall;
3) | EN| - tallet er ikke-negativt;
4) det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall EN Og b ikke mindre enn deres geometriske gjennomsnitt;
5) den absolutte verdien av summen av to rasjonelle tall EN Og b ikke mer enn summen av de absolutte verdiene av vilkårene.

178. Hva kan du si om tegn på tall? EN Og b, hvis:

1) a b> 0; 2) en / b > 0; 3) a b< 0; 4) en / b < 0?

179. 1) Ordne følgende tall i stigende rekkefølge, koble dem med et ulikhetstegn: 0; -5; 2. Hvordan lese denne oppføringen?

2) Ordne følgende tall i synkende rekkefølge, koble dem med et ulikhetstegn: -10; 0,1;- 2/3. Hvordan lese denne oppføringen?

180. Skriv ned i stigende rekkefølge alle tresifrede tall, som hver inneholder sifrene 2; 0; 5, og koble dem med et ulikhetstegn.

181. 1) For en enkelt måling av en viss lengde l fant at det er mer enn 217 cm, men mindre enn 218 cm. Skriv ned måleresultatet, og ta disse tallene som grenser for lengdeverdien l.

2) Ved veiing av en gjenstand viste det seg at den var tyngre enn 19,5 G, men lettere enn 20,0 G. Skriv ned veieresultatet med angivelse av grensene.

182. Ved veiing av en bestemt gjenstand med en nøyaktighet på 0,05 kg ble vekten oppnådd
P ≈ 26,4 kg. Angi vektgrensene for denne varen.

183. Hvor på tallaksen ligger punktet som representerer tallet X, hvis:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Finn og indiker heltallsverdier på tallaksen X, som tilfredsstiller ulikhetene.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. Hvilket multiplum av 9 ligger mellom 141 og 152? Gi en illustrasjon av en talllinje.

186. Bestem hvilket av to tall som er størst hvis det er kjent at hvert av dem er større enn 103 og mindre enn 115, og det første tallet er et multiplum av 13, og det andre er et multiplum av 3. Gi en geometrisk illustrasjon.

187. Hva er de nærmeste hele tallene som inneholder egenbrøker? Er det mulig å spesifisere to heltall med alle uekte brøker mellom dem?

188. Kjøpte 6 bøker om matematikk, fysikk og historie. Hvor mange bøker ble kjøpt inn i hvert fag, hvis det ble kjøpt inn flere bøker i matematikk enn i historie, og mindre i fysikk enn i historie?

189. Under en algebratime ble kunnskapen til tre elever testet. Hvilken karakter fikk hver elev hvis det er kjent at den første fikk høyere poengsum enn den andre, og den andre fikk høyere poengsum enn den tredje, og antallet poeng som hver elev har fått er mer enn to?

190. I en sjakkturnering ble de beste resultatene oppnådd av sjakkspillerne A, B, C og D. Er det mulig å finne ut hvilken plass hver av turneringsdeltakerne tok hvis det er kjent at A fikk flere poeng enn D, og ​​B fikk mindre enn C?

191. Gitt ulikhet a > b. Er det alltid a c > b c? Gi eksempler.

192. Gitt ulikhet EN< b. Er ulikheten sann? EN > - b?

193. Er det mulig, uten å endre ulikhetstegnet, å multiplisere begge sider med uttrykket X 2 + 1, hvor X- noe rasjonelt tall?

194. Multipliser begge sider av ulikheten med faktoren som er angitt i parentes.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) EN < - 1 (EN); 5) b < - 3 (-b); 6)X -2 > 1 (X).

195. Føre til en hel type ulikhet:

196. Gitt en funksjon y = kx, Hvor k på med økende argumentasjon X, hvis: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Gitt en funksjon y = kx + b, Hvor k =/= 0, b=/= 0. Hvordan funksjonsverdiene endres på med synkende argumentverdier X, hvis: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Bevis at hvis a > b Og Med> 0, da en / c > b / c; Hvis a > b Og Med< 0, то en / c < b / c .

199. Del begge sider av ulikheten med tallene som er angitt i parentes:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) EN < - 2EN 2 (EN);
4) EN > EN 2 (EN); 5) EN 3 > EN 2 (-EN).

200. Legg til ulikhetene ledd for ledd:

1) 12 > 11 og 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) EN - 2 < 8 + b og 5-2 EN < 2 - b;
4) X 2 + 1 > 2X Og X - 3 < 9 - X 2 .

201. Bevis at hver diagonal på en konveks firkant er mindre enn dens halve omkrets.

202. Bevis at summen av to motsatte sider av en konveks firkant er mindre enn summen av diagonalene.

203. Trekk fra det andre ulikhetsleddet for ledd fra det første:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2EN- 1 > 3b; 2b > 3.

204. Bevis at hvis | x |< а , Det - EN< х < а .

205. Skriv følgende ulikheter som doble ulikheter:
1) | T |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Angi settet med alle verdier på en tallakse X, som tilfredsstiller ulikhetene: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Bevis at hvis - EN< х < а , deretter | x |< EN.

208. Erstatt doble ulikheter med stenografinotasjon:
1) -2 < EN < 2; 2) -1 < 2n < 1; 3) 1 < x < 3.

209. Omtrentlig lengde l= 24,08(±0,01) mm. Angi lengdegrenser l.

210. Måling av samme avstand fem ganger med en meterlinjal ga følgende resultater: 21,56; 21,60; 21,59; 21,55; 21,61 (m). Finn det aritmetiske gjennomsnittet av måleresultatene som indikerer grensene for absolutte og relative feil.

211. Ved veiing av lasten ble det oppnådd P = 16,7 (±0,4%) kg. Finn grensene for vekten R.

212. EN≈ 16,4, relativ feil ε = 0,5 %. Finn den absolutte feilen
Δ en og etablere grensene som det omtrentlige antallet ligger mellom.

213. Bestem grensen for den relative feilen for den omtrentlige verdien for hvert av de følgende tallene, hvis den omtrentlige verdien er tatt med det angitte antall riktige sifre: 1) 11/6 med tre riktige sifre; 2) √5 med fire riktige sifre.

214. Ved måling av avstanden mellom to byer ved hjelp av et kart, fant de ut at den var mer enn 24,4 cm, men mindre enn 24,8 cm Finn den faktiske avstanden mellom byene og den absolutte regnefeilen hvis kartets målestokk er 1: 2 500 000.

215. Utfør beregninger og bestem de absolutte og relative feilene til resultatet: x = a + b - c, Hvis EN= 7,22 (±0,01); 3.14< b < 3,17; Med= 5,4(±0,05).

216. Multipliser ulikhetene ledd for ledd:

1) 7 > 5 og 3 > 2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)EN> 2 og b < -2.

217. Gitt ulikhet EN > b. Er det alltid EN 2 > b 2? Gi eksempler.

218. Hvis a > b > 0 og n er da et naturlig tall opp > b. Bevise.

219. Hva er størst: (0,3) 20 eller (0,1) 10?

220. Hvis a > b > 0 eller b< а < 0, deretter 1 / en < 1 / b. Bevise.

221. Beregn arealet til en rektangulær tomt med en lengde på 437 m og en bredde på 162 m, hvis en feil på ±2 m er mulig ved måling av tomtens lengde, og en feil ved måling av bredden på ±1 m er mulig.

En akse er en rett linje der en av to mulige retninger er identifisert som positiv (den motsatte retningen anses som negativ). Den positive retningen er vanligvis indikert med en pil. Den numeriske (eller koordinat) aksen er aksen som startpunktet (eller origo) O og skalaenheten eller skalasegmentet OE er valgt på (fig. 1).

Dermed spesifiseres tallaksen ved å angi retning, origo og skala på linjen.

Reelle tall er representert ved hjelp av punkter på tallaksen. Heltall er representert av punkter, som oppnås ved å sette skalasegmentet det nødvendige antall ganger til høyre fra begynnelsen O i tilfelle av et positivt heltall og til venstre i tilfelle av negativt. Null er representert ved startpunktet O (bokstaven O i seg selv minner om null; det er den første bokstaven i ordet origo, som betyr "begynnelse"). Fraksjonelle (rasjonelle) tall er også ganske enkelt representert ved aksepunkter; for eksempel, for å konstruere et punkt som tilsvarer tallet , bør du sette tre skalasegmenter og en annen tredjedel av skalasegmentet til venstre for O (punkt A i fig. 1). I tillegg til punkt A i fig. 1 viser også punktene B, C, D, henholdsvis som representerer tallene -2; 3/2; 4.

Det er et uendelig antall heltall, men på tallaksen er heltall avbildet av punkter som ligger "tynt" på aksen, med en skalaenhet fra hverandre. Rasjonelle punkter er plassert veldig "tett" på aksen - det er ikke vanskelig å vise at på en hvilken som helst liten del av aksen er det uendelig mange punkter som representerer rasjonelle tall. Det er imidlertid punkter på tallinjen som ikke er bilder av rasjonelle tall. Så hvis vi på tallaksen konstruerer et segment OA lik hypotenusen OS til den rettvinklede trekant OEC med ben, så vil lengden på dette segmentet (i henhold til Pythagoras teorem, avsnitt 216) være lik og punkt A vil ikke være et bilde av et rasjonelt tall.

Historisk sett var det faktumet av eksistensen av segmenter hvis lengder ikke kan uttrykkes i tall (rasjonelle tall!) som førte til introduksjonen av irrasjonelle tall.

Innføringen av irrasjonelle tall, som sammen med rasjonelle tall utgjør settet av alle reelle tall, fører til at hvert punkt på tallaksen tilsvarer et enkelt reelt tall, bildet som det tjener. Tvert imot er hvert reelt tall representert av et veldig spesifikt punkt på tallaksen. Det etableres en en-til-en-korrespondanse mellom reelle tall og punkter på tallaksen.

Siden vi tenker på tallaksen som en kontinuerlig linje, og dens punkter er i en-til-en-korrespondanse med reelle tall, snakker vi om egenskapen kontinuitet til settet av reelle tall (element 6).

La oss også merke oss at i en viss forstand (vi spesifiserer det ikke) er det uforlignelig flere irrasjonelle tall enn rasjonelle.

Tallet, hvis bilde er et gitt punkt A på den numeriske aksen, kalles koordinaten til dette punktet; det faktum at a er koordinaten til punkt A skrives som følger: A (a). Koordinaten til ethvert punkt A uttrykkes som forholdet OA/OE av segmentet OA til skalasegmentet OE, som er tildelt et minustegn for punkter som ligger fra origo O i negativ retning.

La oss nå introdusere rektangulære kartesiske koordinater på planet. La oss ta to innbyrdes vinkelrette numeriske akser Ox og Oy, som har en felles opprinnelse O og like skalasegmenter (i praksis brukes ofte koordinatakser med forskjellige skalaenheter). La oss si at disse aksene (fig. 3) danner et kartesisk rektangulært koordinatsystem på planet. Punkt O kalles opprinnelsen til koordinatene, Ox- og Oy-aksene kalles koordinataksene (Ox-aksen kalles abscisse-aksen, Oy-aksen er ordinataksen). I fig. 3, som vanlig er abscisseaksen horisontal, ordinataksen er vertikal. Planet som koordinatsystemet er spesifisert på kalles koordinatplanet.

Hvert punkt på flyet er tildelt et tallpar - koordinatene til dette punktet i forhold til et gitt koordinatsystem. La oss nemlig ta rektangulære projeksjoner av punkt M på Ox- og Oy-aksene, de tilsvarende punktene på Ox- og Oy-aksene er indikert i fig. 3 gjennom

Et punkt har, som et punkt på den numeriske aksen, en x-koordinat (abscisse), og et punkt, som et punkt på den numeriske aksen, har en y-koordinat (ordinat). Disse to tallene y (skrevet i den angitte rekkefølgen) kalles koordinatene til punkt M.

Samtidig skriver de: (x, y).

Så hvert punkt på planet er assosiert med et ordnet par reelle tall (x, y) - de kartesiske rektangulære koordinatene til dette punktet. Begrepet "ordnet par" indikerer at man bør skille mellom det første tallet i paret, abscissen, og det andre, ordinaten. Tvert imot definerer hvert tallpar (x, y) et enkelt punkt M, hvor x tjener som abscisse og y som ordinaten. Ved å spesifisere et rektangulært kartesisk koordinatsystem i et plan etableres en en-til-en-korrespondanse mellom punkter på planet og ordnede par av reelle tall.

Koordinataksene deler koordinatplanet i fire deler, fire kvadranter. Kvadrantene er nummerert som vist i fig. 3, i romertall.

Tegnene til et punkts koordinater avhenger av hvilken kvadrant det ligger i, som vist i følgende tabell:

Punkter som ligger på aksen har en y-ordinat lik null, punkter på Oy-aksen har en abscisse lik null. Begge koordinatene til origo O er lik null: .

Eksempel 1. Konstruer punkter på et plan

Løsningen er gitt i fig. 4.

Hvis koordinatene til et bestemt punkt er kjent, er det lett å indikere koordinatene til punkter som er symmetriske med det i forhold til Ox-, Oy-aksene og opprinnelsen til koordinatene: et punkt som er symmetrisk med M i forhold til Ox-aksen vil ha koordinatene av et punkt symmetrisk med M i forhold til koordinaten, og til slutt, i et punkt som er symmetrisk med M i forhold til origo, vil koordinatene være (-x, -y).

Du kan også angi forholdet mellom koordinatene til et par punkter som er symmetriske med hensyn til halveringslinjen til koordinatvinklene (fig. 5); hvis ett av disse punktene M har koordinatene x og y, så er abscissen til det andre lik ordinaten til det første punktet, og ordinaten er lik abscissen til det første punktet.

Med andre ord vil koordinatene til et punkt N, symmetrisk med M i forhold til halveringslinjen til koordinatvinklene, være For å bevise denne posisjonen, vurdere rettvinklene O AM og OBN. De er plassert symmetrisk i forhold til halveringslinjen til koordinatvinkelen og er derfor like. Ved å sammenligne deres tilsvarende ben, vil vi være overbevist om riktigheten av uttalelsen vår.

Det kartesiske rektangulære koordinatsystemet kan transformeres ved å flytte origo O til et nytt punkt O uten å endre retningen på aksene og størrelsen på skalasegmentet. I fig. Figur 6 viser to koordinatsystemer samtidig: det "gamle" med origo O og det "nye" med origo O. Et vilkårlig punkt M har nå to koordinatpar, det ene i forhold til det gamle koordinatsystemet, det andre relativt. til den nye. Hvis koordinatene til det nye opprinnelsen i det gamle systemet er betegnet med , vil forbindelsen mellom de gamle koordinatene til punkt M og dets nye koordinater (x, y) uttrykkes med formlene

Disse formlene kalles koordinatsystemoverføringsformler; når du tegner dem i henhold til fig. 6 ble den mest hensiktsmessige plasseringen av punkt M valgt, som ligger i den første kvadranten av både det gamle og det nye systemet.

Du kan sørge for at formler (8.1) forblir sanne for enhver plassering av punktet M.

Posisjonen til punktet M på planet kan spesifiseres ikke bare av dets kartesiske rektangulære koordinater y, men også på andre måter. La oss koble, for eksempel, punkt M med begynnelsen av O (fig. 7) og vurdere følgende to tall: lengden på segmentet og helningsvinkelen til dette segmentet til den positive retningen til aksen definert som vinkelen som aksen må roteres med før den justeres med OM, og regnes som positiv , hvis rotasjonen gjøres mot klokken, og negativ ellers, som er vanlig i trigonometri. Segmentet kalles polarradiusen til punktet M , vinkelen er den polare vinkelen, tallparet er de polare koordinatene til punktet M. Som du kan se, for å bestemme de polare koordinatene til et punkt, trenger du bare å spesifisere én koordinatakse Ox (kalt i dette tilfellet polaraksen). Det er imidlertid praktisk å vurdere både polare og kartesiske rektangulære koordinater samtidig, slik det er gjort i fig. 7.

Den polare vinkelen til et punkt bestemmes ved å spesifisere punktet tvetydig: hvis er en av de polare vinklene til punktet, så hver vinkel

vil være dens polare vinkel. Spesifisering av polarradius og vinkel bestemmer posisjonen til punktet på en unik måte. Opprinnelsen O (kalt polen til det polare koordinatsystemet) har en radius lik null ingen spesifikk polarvinkel er tilordnet punktet O.

Det er følgende forhold mellom de kartesiske og polare koordinatene til et punkt:

direkte følger av definisjonen av trigonometriske funksjoner (klausul 97). Disse relasjonene lar deg finne kartesiske koordinater fra gitte polare. Følgende formler:

lar deg løse det omvendte problemet: ved å bruke de gitte kartesiske koordinatene til et punkt, finn dets polare koordinater.

I dette tilfellet, ved verdien (eller) kan man finne to mulige verdier av vinkelen innenfor den første sirkelen; en av dem er valgt av tegnet soef. Du kan også bestemme vinkelen ved dens tangent: , men i dette tilfellet spesifiseres kvartalet den ligger i av tegnet soef eller.

Et punkt spesifisert av dets polare koordinater er konstruert (uten å beregne kartesiske koordinater) i henhold til dets polare vinkel og radius.

Eksempel 2. Finn de kartesiske koordinatene til punktene.