Teorem apa yang belum dibuktikan setakat ini. Bukti teorem Fermat adalah asas, mudah, boleh difahami

hello!

Terdapat pendapat bahawa tidak menguntungkan untuk melibatkan diri dalam sains hari ini - seseorang tidak boleh menjadi kaya! Tetapi saya harap siaran hari ini akan menunjukkan kepada anda bahawa ini jauh dari kes itu. Hari ini saya akan memberitahu anda bagaimana, melakukan penyelidikan asas, anda boleh memperoleh jumlah yang kemas.

Di mana-mana peringkat pembangunan, mana-mana sains sentiasa menghadapi beberapa masalah dan tugas yang tidak dapat diselesaikan yang menghantui para saintis. Fizik adalah gabungan termonuklear sejuk, matematik adalah hipotesis Goldbach, ubat adalah penawar kanser, dan sebagainya. Sesetengah daripada mereka adalah sangat penting (untuk satu sebab atau yang lain) sehinggakan ganjaran perlu dibayar untuk penyelesaian mereka. Dan kadang-kadang ganjaran ini sangat-sangat baik.

Dalam beberapa sains, Hadiah Nobel boleh berfungsi sebagai ganjaran ini. Tetapi mereka tidak memberikannya untuk penemuan matematik, dan hari ini saya ingin bercakap tentang matematik.

Matematik - ratu sains, menawarkan anda lautan masalah yang tidak dapat diselesaikan dan tugas yang menarik, tetapi hari ini kita akan bercakap tentang hanya tujuh. Mereka juga dipanggil Sasaran Milenium.

Nampaknya, tugas, dan tugas? Apa yang istimewa tentang mereka? Hakikatnya ialah penyelesaian mereka tidak dijumpai selama bertahun-tahun, dan untuk penyelesaian setiap daripada mereka, Institut Tanah Liat menjanjikan ganjaran $ 1 juta! Setuju, tidak banyak. Sudah tentu, bukan Hadiah Nobel, yang saiznya kira-kira 1.5 juta, tetapi ia juga akan berjaya.

Berikut adalah senarai mereka:

• Kesamaan kelas P dan NP
• Hipotesis Hodge
• Tekaan Poincare (diselesaikan)
• Hipotesis Riemann
• Teori Quantum Yang-Mills
• Kewujudan dan kelancaran penyelesaian persamaan Navier-Stokes
• Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer

Jadi mari kita lihat dengan lebih dekat setiap daripada mereka.

1.Kesamaan kelas P dan NP

Masalah ini adalah salah satu masalah yang paling penting dalam teori algoritma, dan, saya yakin, ramai di antara anda, sekurang-kurangnya secara tidak langsung, pernah mendengar tentangnya. Apakah masalah ini dan apakah intipatinya? Bayangkan bahawa terdapat kelas tertentu masalah yang kita boleh memberi jawapan dengan cepat, iaitu, cepat mencari penyelesaian untuk mereka. Kelas masalah dalam teori algoritma ini dipanggil kelas P. Dan terdapat kelas masalah yang mana kita boleh menyemak dengan cepat ketepatan penyelesaiannya - ini ialah kelas NP. Dan setakat ini, tidak diketahui sama ada kelas ini sama atau tidak. Iaitu, tidak diketahui sama ada mungkin, sekurang-kurangnya dalam teori, untuk mencari algoritma sedemikian yang dengannya kita dapat mencari penyelesaian masalah dengan cepat, serta menyemak ketepatannya.

Contoh klasik. Biarkan satu set nombor diberikan, contohnya: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Masalah: adakah mungkin untuk memilih antara nombor ini supaya jumlahnya akan memberikan 100? Jawapan: anda boleh, sebagai contoh, 50 + 47 + 2 + 1 = 100. Mudah untuk memeriksa ketepatan penyelesaian. Kami menggunakan operasi penambahan empat kali dan itu sahaja. Ia hanya perlu mengambil nombor itu. Pada pandangan pertama, ini adalah lebih sukar untuk dilakukan. Iaitu, mencari penyelesaian kepada masalah adalah lebih sukar daripada menyemaknya. Dari sudut pandangan pengetahuan cetek, ini benar, tetapi secara matematik ini belum terbukti, dan ada harapan bahawa ini tidak begitu.

Dan jadi apa? Bagaimana jika ternyata kelas P dan NP adalah sama? Semuanya mudah. Kesamaan kelas bermakna terdapat algoritma untuk menyelesaikan banyak masalah yang berfungsi lebih cepat daripada yang diketahui sekarang (seperti yang dinyatakan di atas).

Sememangnya, jauh dari satu percubaan dibuat untuk membuktikan atau menyangkal hipotesis ini, tetapi tidak ada yang berjaya. Percubaan terbaru dibuat oleh ahli matematik India Vinay Deolalikar. Menurut pengarang penyataan masalah, Stephen Cook, penyelesaian ini adalah "percubaan yang agak serius untuk menyelesaikan masalah P vs NP". Tetapi, malangnya, beberapa kesilapan ditemui dalam bukti yang dibentangkan, yang penulis janjikan untuk membetulkannya.

2. Hipotesis Hodge

Kompleks ialah jumlah bahagian ringkas. Hasil daripada mengkaji objek kompleks, ahli matematik telah membangunkan kaedah untuk penghampirannya dengan melekatkan objek yang berdimensi meningkat. Tetapi ia masih belum dijelaskan sejauh mana penghampiran jenis ini boleh dijalankan, dan sifat geometri beberapa objek yang digunakan dalam penghampiran masih tidak jelas.

3.Hipotesis Poincaré

Hipotesis Poincaré kini merupakan satu-satunya daripada tujuh Cabaran Milenium yang telah diselesaikan. Adalah menggembirakan untuk diperhatikan bahawa rakan senegara kita Grigory Yakovlevich Perelman, genius tertutup sambilan, menjadi pengarang keputusan itu. Anda boleh bercakap mengenainya dengan banyak dan menarik, tetapi mari fokus pada hipotesis itu sendiri.

Formulasi:

Setiap 3-manifold padat yang disambungkan secara ringkas tanpa sempadan adalah homeomorfik kepada 3-sfera.

Atau sangkaan Poincare umum:

Untuk sebarang nombor asli n, sebarang manifold dimensi n adalah homotopi bersamaan dengan sfera dimensi n jika dan hanya jika ia adalah homeomorfik kepadanya.

Secara ringkas, intipati masalah adalah seperti berikut. Jika kita mengambil epal dan menutupnya dengan filem getah, maka dengan bantuan ubah bentuk, tanpa merobek filem itu, kita boleh mengubah epal menjadi titik atau kiub, tetapi kita tidak boleh mengubahnya menjadi donat. Kubus, sfera 3D, dan juga ruang 3D adalah sama antara satu sama lain, sehingga ubah bentuk.

Walaupun rumusan yang begitu mudah, hipotesis itu kekal tidak terbukti selama beratus-ratus tahun. Walaupun dalam matematik, kadangkala, semakin mudah rumusan, semakin sukar pembuktiannya (kita semua ingat Teorem Terakhir Fermat).

Mari kembali kepada Komrad Perelman. Lelaki ini juga terkenal dengan fakta bahawa dia menolak jutaan yang diberikan kepadanya, dengan menyatakan perkara berikut: "Mengapa saya memerlukan wang anda, jika saya mempunyai seluruh Alam Semesta di tangan saya?" Saya tidak akan dapat melakukannya. Hasil daripada keengganan itu, juta yang diperuntukkan telah diberikan kepada ahli matematik muda Perancis dan Amerika.

Akhir sekali, saya ingin ambil perhatian bahawa hipotesis Poincaré sama sekali tidak mempunyai aplikasi praktikal (!!!).

4. Hipotesis Riemann.

Hipotesis Riemann mungkin yang paling terkenal (bersama-sama dengan Hipotesis Poincaré) daripada tujuh Masalah Milenium. Salah satu sebab popularitinya di kalangan ahli matematik bukan profesional ialah ia mempunyai rumusan yang sangat mudah.

Semua sifar bukan remeh bagi fungsi Riemann zeta mempunyai bahagian nyata bersamaan dengan ?.

Setuju, ia agak mudah. Dan kesederhanaan yang jelas adalah sebab untuk banyak percubaan untuk membuktikan hipotesis ini. Malangnya, setakat ini tidak berjaya.

Sebilangan besar percubaan yang tidak berjaya untuk membuktikan hipotesis Riemann menimbulkan keraguan tentang kesahihannya di kalangan beberapa ahli matematik. Antaranya ialah John Littlewood. Tetapi golongan skeptik tidak begitu ramai dan kebanyakan komuniti matematik cenderung untuk mempercayai bahawa hipotesis Riemann, bagaimanapun, betul. Pengesahan tidak langsung mengenai ini adalah kesahihan beberapa pernyataan dan hipotesis yang serupa.

Banyak algoritma dan pernyataan dalam teori nombor telah dirumuskan dengan andaian bahawa sangkaan di atas adalah benar. Oleh itu, bukti kesahihan hipotesis Riemann akan mengesahkan asas teori nombor, dan penyangkalan teori nombor akan "menggoncang" asasnya.

Dan, akhirnya, satu fakta yang agak terkenal, tetapi sangat menarik. Pernah David Gilbert ditanya: "Apakah tindakan pertama anda jika anda tidur selama 500 tahun dan bangun?" "Saya akan bertanya sama ada Hipotesis Riemann telah terbukti."

5. Teori Yang-Mills

Salah satu teori tolok fizik kuantum dengan kumpulan tolok bukan Abelian. Teori ini dicadangkan pada pertengahan abad yang lalu, tetapi untuk masa yang lama ia dianggap sebagai teknik matematik semata-mata yang tidak ada kaitan dengan sifat sebenar sesuatu. Tetapi kemudian, berdasarkan teori Yang-Mills, teori utama Model Standard dibina - kromodinamik kuantum dan teori interaksi lemah.

Rumusan masalah:

Untuk mana-mana kumpulan tolok padat ringkas, teori Yang-Mills kuantum untuk ruang wujud dan mempunyai kecacatan jisim bukan sifar.

Teori ini disahkan dengan sempurna oleh hasil eksperimen dan hasil simulasi komputer, tetapi belum menerima bukti teori.

6. Kewujudan dan kelancaran penyelesaian persamaan Navier-Stokes

Salah satu masalah terpenting dalam hidrodinamik, dan yang terakhir daripada masalah mekanik klasik yang tidak dapat diselesaikan.

Persamaan Navier-Stokes, ditambah dengan persamaan Maxwell, persamaan pemindahan haba, dsb., digunakan dalam menyelesaikan banyak masalah elektrohidrodinamik, magnetohidrodinamik, perolakan bendalir dan gas, resapan terma, dsb.

Persamaan itu sendiri adalah sistem persamaan pembezaan separa. Persamaan mempunyai dua bahagian:

• persamaan gerakan
• persamaan kesinambungan

Mencari penyelesaian analitikal yang lengkap bagi persamaan Navier-Stokes adalah sangat rumit oleh ketaklinearan dan pergantungan yang kuat pada sempadan dan keadaan awal.

7. Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer

Masalah terakhir milenium ialah hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer.

Hipotesis menyatakan bahawa

pangkat lengkung eliptik r atas Q adalah sama dengan susunan sifar fungsi Hasse-Weil zeta

E(L,s) pada titik s = 1.

Tekaan ini adalah satu-satunya cara yang agak mudah untuk menentukan pangkat lengkung eliptik, yang seterusnya, merupakan objek kajian utama dalam teori nombor dan kriptografi moden.

Itu semua masalah alaf. Saya memohon maaf atas fakta bahawa sesetengah isu diliputi kurang daripada yang lain. Ini disebabkan oleh kekurangan maklumat mengenai masalah ini dan kemustahilan secara ringkas (tanpa melibatkan matematik yang rumit dan kompleks) untuk menyatakan intipatinya. Institut Tanah Liat menawarkan ganjaran $1 juta untuk menyelesaikan setiap masalah. berani! Terdapat peluang untuk mendapatkan wang yang baik dengan memajukan sains asas, kerana enam daripada tujuh masalah masih belum diselesaikan.

Tidak begitu ramai orang di dunia yang tidak pernah mendengar tentang Teorem Terakhir Fermat - mungkin ini satu-satunya masalah matematik yang telah diketahui secara meluas dan telah menjadi legenda sebenar. Ia disebut dalam banyak buku dan filem, manakala konteks utama hampir semua sebutan adalah kemustahilan untuk membuktikan teorem.

Ya, teorem ini sangat terkenal dan dalam erti kata lain telah menjadi "berhala" yang disembah oleh ahli matematik amatur dan profesional, tetapi hanya sedikit orang yang tahu bahawa buktinya ditemui, dan ini berlaku pada tahun 1995. Tetapi perkara pertama dahulu.

Jadi, Teorem Terakhir Fermat (sering dipanggil teorem terakhir Fermat), yang dirumuskan pada tahun 1637 oleh ahli matematik Perancis yang cemerlang Pierre Fermat, sangat mudah dan boleh difahami oleh mana-mana orang yang mempunyai pendidikan menengah. Ia mengatakan bahawa formula a kepada kuasa n + b kepada kuasa n \u003d c kepada kuasa n tidak mempunyai penyelesaian semula jadi (iaitu, bukan pecahan) untuk n> 2. Segala-galanya nampaknya mudah dan jelas , tetapi ahli matematik terbaik dan amatur biasa berebut mencari penyelesaian selama lebih daripada tiga setengah abad.

Mengapa dia begitu terkenal? Sekarang mari kita ketahui...

Adakah terdapat beberapa teorem yang telah terbukti, belum terbukti, dan belum terbukti? Masalahnya ialah Teorem Terakhir Fermat adalah kontras terbesar antara kesederhanaan rumusan dan kerumitan bukti. Teorem Terakhir Fermat adalah tugas yang sangat sukar, namun perumusannya boleh difahami oleh semua orang yang mempunyai 5 gred sekolah menengah, tetapi buktinya jauh daripada setiap ahli matematik profesional. Baik dalam fizik, mahupun dalam kimia, mahupun dalam biologi, mahupun dalam matematik yang sama tidak ada satu masalah yang akan dirumuskan dengan begitu mudah, tetapi kekal tidak dapat diselesaikan untuk sekian lama. 2. Apakah kandungannya?

Mari kita mulakan dengan seluar Pythagoras Perkataannya sangat mudah - pada pandangan pertama. Seperti yang kita ketahui dari zaman kanak-kanak, "Seluar Pythagoras adalah sama di semua sisi." Masalahnya kelihatan begitu mudah kerana ia berdasarkan pernyataan matematik yang semua orang tahu - teorem Pythagoras: dalam mana-mana segi tiga tepat, segi empat yang dibina pada hipotenus adalah sama dengan jumlah segi empat yang dibina pada kaki.

Pada abad ke-5 SM. Pythagoras mengasaskan persaudaraan Pythagoras. Pythagoras, antara lain, mengkaji tiga kali ganda integer yang memenuhi persamaan x²+y²=z². Mereka membuktikan bahawa terdapat banyak tak terhingga tripel Pythagoras dan memperoleh formula am untuk mencari mereka. Mereka mungkin cuba mencari tiga kali ganda dan darjah yang lebih tinggi. Yakin bahawa ini tidak berjaya, Pythagoreans meninggalkan percubaan sia-sia mereka. Ahli-ahli persaudaraan adalah lebih ahli falsafah dan estetik daripada ahli matematik.

Iaitu, adalah mudah untuk mengambil satu set nombor yang memenuhi kesamaan x² + y² = z² dengan sempurna.

Bermula dari 3, 4, 5 - memang pelajar sekolah rendah faham 9 + 16 = 25.

Atau 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Hebat.

Nah, ternyata mereka tidak. Di sinilah muslihat bermula. Kesederhanaan adalah jelas, kerana sukar untuk membuktikan bukan kehadiran sesuatu, tetapi, sebaliknya, ketiadaan. Apabila perlu untuk membuktikan bahawa terdapat penyelesaian, seseorang boleh dan perlu mengemukakan penyelesaian ini.

Lebih sukar untuk membuktikan ketiadaan: sebagai contoh, seseorang berkata: persamaan ini dan itu tidak mempunyai penyelesaian. Letakkan dia dalam lopak? mudah: bam - dan inilah penyelesaiannya! (berikan penyelesaian). Dan itu sahaja, pihak lawan dikalahkan. Bagaimana untuk membuktikan ketidakhadiran?

Untuk mengatakan: "Saya tidak menemui penyelesaian sedemikian"? Atau mungkin anda tidak mencari dengan baik? Dan bagaimana jika mereka, hanya sangat besar, baik, sehingga komputer yang sangat berkuasa pun belum mempunyai kekuatan yang cukup? Ini yang susah.

Dalam bentuk visual, ini boleh ditunjukkan seperti berikut: jika kita mengambil dua segi empat sama dengan saiz yang sesuai dan membukanya menjadi petak unit, maka petak ketiga diperolehi daripada tandan petak unit ini (Gamb. 2):


Dan mari kita lakukan perkara yang sama dengan dimensi ketiga (Rajah 3) - ia tidak berfungsi. Kiub tidak mencukupi, atau kiub tambahan kekal:

Tetapi ahli matematik abad ke-17, orang Perancis Pierre de Fermat, dengan penuh semangat mempelajari persamaan umum x n + y n \u003d z n. Dan, akhirnya, dia membuat kesimpulan: untuk n>2 penyelesaian integer tidak wujud. Bukti Fermat hilang tanpa dapat dipulihkan. Manuskrip terbakar! Yang tinggal hanyalah kenyataannya dalam Aritmetik Diophantus: "Saya telah menemui bukti yang benar-benar menakjubkan tentang cadangan ini, tetapi margin di sini terlalu sempit untuk mengandunginya."

Sebenarnya, teorem tanpa bukti dipanggil hipotesis. Tetapi Fermat mempunyai reputasi untuk tidak pernah salah. Walaupun dia tidak meninggalkan bukti sebarang kenyataan, ia kemudiannya disahkan. Di samping itu, Fermat membuktikan tesisnya untuk n=4. Jadi hipotesis ahli matematik Perancis turun dalam sejarah sebagai Teorem Terakhir Fermat.

Selepas Fermat, minda hebat seperti Leonhard Euler berusaha mencari bukti (pada tahun 1770 dia mencadangkan penyelesaian untuk n = 3),

Adrien Legendre dan Johann Dirichlet (saintis ini bersama-sama menemui bukti untuk n = 5 pada tahun 1825), Gabriel Lame (yang menemui bukti untuk n = 7) dan ramai lagi. Menjelang pertengahan 80-an abad yang lalu, menjadi jelas bahawa dunia saintifik sedang menuju ke penyelesaian akhir Teorem Terakhir Fermat, tetapi hanya pada tahun 1993 ahli matematik melihat dan percaya bahawa kisah tiga abad mencari bukti Teorem terakhir Fermat hampir tamat.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa ia mencukupi untuk membuktikan teorem Fermat hanya untuk n perdana: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Untuk n komposit, bukti kekal sah. Tetapi terdapat banyak nombor perdana...

Pada tahun 1825, menggunakan kaedah Sophie Germain, ahli matematik wanita, Dirichlet dan Legendre secara bebas membuktikan teorem untuk n=5. Pada tahun 1839, orang Perancis Gabriel Lame menunjukkan kebenaran teorem untuk n=7 menggunakan kaedah yang sama. Secara beransur-ansur, teorem telah dibuktikan untuk hampir semua n kurang daripada seratus.

Akhirnya, ahli matematik Jerman Ernst Kummer menunjukkan dalam kajian yang cemerlang bahawa kaedah matematik pada abad ke-19 tidak dapat membuktikan teorem secara umum. Hadiah Akademi Sains Perancis, yang ditubuhkan pada tahun 1847 untuk bukti teorem Fermat, kekal tidak diserahkan.

Pada tahun 1907, industrialis Jerman kaya Paul Wolfskel memutuskan untuk mengambil nyawanya sendiri kerana cinta yang tidak berbalas. Seperti seorang Jerman sejati, dia menetapkan tarikh dan masa bunuh diri: tepat pada tengah malam. Pada hari terakhir, dia membuat wasiat dan menulis surat kepada rakan dan saudara mara. Perniagaan tamat sebelum tengah malam. Saya mesti mengatakan bahawa Paul berminat dalam matematik. Tanpa melakukan apa-apa, dia pergi ke perpustakaan dan mula membaca artikel terkenal Kummer. Tiba-tiba nampaknya Kummer telah membuat kesilapan dalam alasannya. Wolfskehl, dengan pensil di tangannya, mula menganalisis bahagian artikel ini. Tengah malam berlalu, pagi datang. Jurang dalam bukti telah diisi. Dan sebab bunuh diri kini kelihatan sangat tidak masuk akal. Paul mengoyakkan surat perpisahan dan menulis semula wasiat itu.

Dia tidak lama kemudian meninggal dunia kerana sebab semula jadi. Pewaris agak terkejut: 100,000 markah (lebih daripada 1,000,000 pound sterling semasa) telah dipindahkan ke akaun Royal Scientific Society of Göttingen, yang pada tahun yang sama mengumumkan pertandingan untuk Hadiah Wolfskel. 100,000 markah bergantung pada prover teorem Fermat. Tiada satu pfennig yang sepatutnya dibayar untuk penyangkalan teorem ...

Kebanyakan ahli matematik profesional menganggap pencarian bukti Teorem Terakhir Fermat sebagai punca yang hilang dan dengan tegas enggan membuang masa untuk latihan yang sia-sia. Tetapi amatur bermain-main untuk kemuliaan. Beberapa minggu selepas pengumuman itu, runtuhan "bukti" melanda Universiti Göttingen. Profesor E. M. Landau, yang bertugas menganalisis bukti yang dihantar, mengedarkan kad kepada pelajarnya:

Sayang (s). . . . . . . .

Terima kasih atas manuskrip yang anda hantar dengan bukti Teorem Terakhir Fermat. Ralat pertama adalah pada halaman ... pada baris ... . Kerana itu, seluruh bukti kehilangan kesahihannya.
Profesor E. M. Landau

Pada tahun 1963, Paul Cohen, menggunakan penemuan Gödel, membuktikan ketidakbolehpecahan salah satu daripada dua puluh tiga masalah Hilbert, hipotesis kontinum. Bagaimana jika Teorem Terakhir Fermat juga tidak dapat diselesaikan?! Tetapi fanatik sebenar Teorem Besar tidak mengecewakan sama sekali. Kemunculan komputer secara tidak dijangka memberi ahli matematik kaedah pembuktian baru. Selepas Perang Dunia II, kumpulan pengaturcara dan ahli matematik membuktikan Teorem Terakhir Fermat untuk semua nilai n sehingga 500, kemudian sehingga 1,000, dan kemudian sehingga 10,000.

Pada tahun 80-an, Samuel Wagstaff menaikkan had kepada 25,000, dan pada tahun 90-an, ahli matematik mendakwa bahawa Teorem Terakhir Fermat adalah benar untuk semua nilai n sehingga 4 juta. Tetapi jika satu trilion trilion pun ditolak daripada infiniti, ia tidak menjadi lebih kecil. Ahli matematik tidak yakin dengan statistik. Membuktikan Teorem Hebat bermakna membuktikannya untuk SEMUA n pergi ke infiniti.

Pada tahun 1954, dua rakan ahli matematik Jepun yang muda mengambil kajian tentang bentuk modular. Borang ini menjana siri nombor, setiap satu - sirinya sendiri. Secara kebetulan, Taniyama membandingkan siri ini dengan siri yang dihasilkan oleh persamaan elips. Mereka sepadan! Tetapi bentuk modular adalah objek geometri, manakala persamaan elips adalah algebra. Antara objek yang berbeza itu tidak pernah menemui sambungan.

Walau bagaimanapun, selepas ujian yang teliti, rakan-rakan mengemukakan hipotesis: setiap persamaan elips mempunyai kembar - bentuk modular, dan sebaliknya. Hipotesis inilah yang menjadi asas kepada keseluruhan aliran dalam matematik, tetapi sehingga hipotesis Taniyama-Shimura dibuktikan, seluruh bangunan itu boleh runtuh pada bila-bila masa.

Pada tahun 1984, Gerhard Frey menunjukkan bahawa penyelesaian kepada persamaan Fermat, jika wujud, boleh dimasukkan dalam beberapa persamaan elips. Dua tahun kemudian, Profesor Ken Ribet membuktikan bahawa persamaan hipotesis ini tidak boleh mempunyai pasangan dalam dunia modular. Sejak itu, Teorem Terakhir Fermat dikaitkan dengan hipotesis Taniyama-Shimura. Setelah membuktikan bahawa mana-mana lengkung elips adalah modular, kami membuat kesimpulan bahawa tidak ada persamaan elips dengan penyelesaian kepada persamaan Fermat, dan Teorem Terakhir Fermat akan segera dibuktikan. Tetapi selama tiga puluh tahun, tidak mungkin untuk membuktikan hipotesis Taniyama-Shimura, dan semakin kurang harapan untuk berjaya.

Pada tahun 1963, ketika dia baru berusia sepuluh tahun, Andrew Wiles sudah terpesona dengan matematik. Apabila dia mengetahui tentang Teorem Besar, dia menyedari bahawa dia tidak boleh menyimpang daripadanya. Sebagai seorang budak sekolah, pelajar, pelajar siswazah, dia menyediakan dirinya untuk tugas ini.

Setelah mengetahui penemuan Ken Ribet, Wiles berusaha membuktikan sangkaan Taniyama-Shimura. Dia memutuskan untuk bekerja secara terpencil dan rahsia. "Saya faham bahawa segala-galanya yang ada kaitan dengan Teorem Terakhir Fermat adalah terlalu menarik minat ... Terlalu ramai penonton sengaja mengganggu pencapaian matlamat." Kerja keras tujuh tahun membuahkan hasil, Wiles akhirnya menyelesaikan bukti sangkaan Taniyama-Shimura.

Pada tahun 1993, ahli matematik Inggeris Andrew Wiles membentangkan kepada dunia bukti Teorem Terakhir Fermat (Wiles membaca laporan sensasinya pada persidangan di Institut Sir Isaac Newton di Cambridge.), Kerja yang berlangsung lebih dari tujuh tahun.

Walaupun gembar-gembur itu berterusan di akhbar, kerja serius mula mengesahkan bukti. Setiap bukti mesti diteliti dengan teliti sebelum bukti itu boleh dianggap ketat dan tepat. Wiles menghabiskan musim panas yang sibuk menunggu maklum balas pengulas, dengan harapan dia boleh memenangi kelulusan mereka. Pada akhir bulan Ogos, pakar mendapati penghakiman yang tidak kukuh.

Ternyata keputusan ini mengandungi kesilapan besar, walaupun secara umum ia adalah benar. Wiles tidak berputus asa, meminta bantuan pakar terkenal dalam teori nombor Richard Taylor, dan sudah pada tahun 1994 mereka menerbitkan bukti teorem yang diperbetulkan dan ditambah. Perkara yang paling menakjubkan ialah kerja ini mengambil sebanyak 130 (!) halaman dalam jurnal matematik Annals of Mathematics. Tetapi cerita itu tidak berakhir di sana - titik terakhir dibuat hanya pada tahun berikutnya, 1995, apabila versi bukti yang terakhir dan "ideal", dari sudut pandangan matematik, diterbitkan.

“...setengah minit selepas permulaan makan malam perayaan sempena hari lahirnya, saya memberikan Nadia manuskrip bukti lengkap” (Andrew Wales). Adakah saya menyebut bahawa ahli matematik adalah orang yang pelik?

Kali ini tidak ada keraguan tentang buktinya. Dua artikel telah tertakluk kepada analisis yang paling teliti dan pada Mei 1995 telah diterbitkan dalam Annals of Mathematics.

Banyak masa telah berlalu sejak saat itu, tetapi masih terdapat pendapat dalam masyarakat tentang ketidakbolehpecahan Teorem Terakhir Fermat. Tetapi mereka yang mengetahui tentang bukti yang ditemui terus bekerja ke arah ini - hanya sedikit orang yang berpuas hati bahawa Teorem Besar memerlukan penyelesaian 130 muka surat!

Oleh itu, kini kuasa ramai ahli matematik (kebanyakannya amatur, bukan saintis profesional) dilemparkan untuk mencari bukti yang mudah dan ringkas, tetapi jalan ini, kemungkinan besar, tidak akan membawa ke mana-mana ...

sumber

Untuk integer n lebih besar daripada 2, persamaan x n + y n = z n tidak mempunyai penyelesaian bukan sifar dalam nombor asli.

Anda mungkin masih ingat dari zaman sekolah anda teorem Pythagoras: kuasa dua hipotenus segi tiga tepat adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua kaki. Anda juga mungkin mengingati segi tiga tepat klasik dengan sisi yang panjangnya berkaitan sebagai 3: 4: 5. Untuk itu, teorem Pythagoras kelihatan seperti ini:

Ini adalah contoh penyelesaian persamaan Pythagoras tenyat dalam integer bukan sifar untuk n= 2. Teorem Terakhir Fermat (juga dipanggil "Teorem Terakhir Fermat" dan "Teorem Terakhir Fermat") ialah pernyataan bahawa, untuk nilai n> 2 persamaan bentuk x n + y n = z n tidak mempunyai penyelesaian bukan sifar dalam nombor asli.

Sejarah Teorem Terakhir Fermat sangat menghiburkan dan memberi pengajaran, dan bukan sahaja untuk ahli matematik. Pierre de Fermat menyumbang kepada perkembangan pelbagai bidang matematik, tetapi bahagian utama warisan saintifiknya diterbitkan hanya selepas kematian. Hakikatnya adalah bahawa matematik untuk Fermat adalah sesuatu seperti hobi, bukan pekerjaan profesional. Dia berkoresponden dengan ahli matematik terkemuka pada zamannya, tetapi tidak berusaha untuk menerbitkan karyanya. Penulisan saintifik Fermat kebanyakannya ditemui dalam bentuk surat-menyurat peribadi dan nota serpihan, selalunya dibuat di pinggir pelbagai buku. Ia berada di pinggir (jilid kedua Aritmetik Yunani kuno oleh Diophantus. - Catatan. penterjemah) tidak lama selepas kematian ahli matematik, keturunan menemui perumusan teorem terkenal dan postskrip:

« Saya menjumpai bukti yang benar-benar hebat tentang ini, tetapi margin ini terlalu sempit untuknya.».

Malangnya, nampaknya, Fermat tidak pernah peduli untuk menulis "bukti ajaib" yang ditemuinya, dan keturunan tidak berjaya mencarinya selama lebih daripada tiga abad. Daripada semua warisan saintifik Fermat yang berbeza, yang mengandungi banyak kenyataan yang mengejutkan, Teorem Besarlah yang menentang penyelesaian dengan keras kepala.

Sesiapa yang tidak mengambil bukti Teorem Terakhir Fermat - semuanya sia-sia! Seorang lagi ahli matematik Perancis yang hebat, René Descartes (René Descartes, 1596-1650), menggelar Fermat sebagai "sombong", dan ahli matematik Inggeris John Wallis (John Wallis, 1616-1703) memanggilnya "orang Perancis sialan". Fermat sendiri, bagaimanapun, meninggalkan bukti teoremnya untuk kes itu n= 4. Dengan bukti untuk n= 3 telah diselesaikan oleh ahli matematik Switzerland-Rusia yang hebat pada abad ke-18 Leonard Euler (1707–83), selepas itu, setelah gagal mencari bukti untuk n> 4, secara berseloroh menawarkan untuk menggeledah rumah Fermat untuk mencari kunci bukti yang hilang. Pada abad ke-19, kaedah baru teori nombor memungkinkan untuk membuktikan pernyataan untuk banyak integer dalam 200, tetapi, sekali lagi, bukan untuk semua.

Pada tahun 1908 hadiah DM 100,000 telah ditubuhkan untuk tugas ini. Dana hadiah itu diwariskan kepada industrialis Jerman Paul Wolfskehl, yang, menurut legenda, akan membunuh diri, tetapi begitu terbawa-bawa oleh Teorem Terakhir Fermat sehingga dia mengubah fikirannya tentang kematian. Dengan kemunculan mesin tambah, dan kemudian komputer, bar nilai n mula meningkat lebih tinggi dan lebih tinggi - sehingga 617 pada permulaan Perang Dunia II, sehingga 4001 pada tahun 1954, sehingga 125,000 pada tahun 1976. Pada akhir abad ke-20, komputer makmal tentera yang paling berkuasa di Los Alamos (New Mexico, Amerika Syarikat) telah diprogramkan untuk menyelesaikan masalah Fermat di latar belakang (serupa dengan mod penyelamat skrin komputer peribadi). Oleh itu, adalah mungkin untuk menunjukkan bahawa teorem adalah benar untuk nilai yang sangat besar x, y, z dan n, tetapi ini tidak boleh berfungsi sebagai bukti yang ketat, kerana mana-mana nilai berikut n atau tiga kali ganda nombor asli boleh menafikan teorem secara keseluruhan.

Akhirnya, pada tahun 1994, ahli matematik Inggeris Andrew John Wiles (Andrew John Wiles, b. 1953), semasa bekerja di Princeton, menerbitkan bukti Teorem Terakhir Fermat, yang, selepas beberapa pengubahsuaian, dianggap lengkap. Buktinya mengambil lebih daripada seratus muka surat majalah dan berdasarkan penggunaan peralatan moden matematik tinggi, yang belum dibangunkan pada zaman Fermat. Jadi, apa yang Fermat maksudkan dengan meninggalkan mesej di pinggir buku bahawa dia telah menemui bukti? Kebanyakan ahli matematik yang saya telah bercakap mengenai perkara ini telah menunjukkan bahawa selama berabad-abad terdapat lebih daripada cukup bukti salah Teorem Terakhir Fermat, dan berkemungkinan Fermat sendiri menemui bukti yang sama, tetapi gagal melihat kesilapan itu. di dalamnya. Walau bagaimanapun, ada kemungkinan bahawa masih terdapat beberapa bukti ringkas dan elegan Teorem Terakhir Fermat, yang belum ditemui oleh sesiapa pun. Hanya satu perkara yang boleh dikatakan dengan pasti: hari ini kita tahu dengan pasti bahawa teorem itu benar. Kebanyakan ahli matematik, saya fikir, pasti bersetuju dengan Andrew Wiles, yang menyatakan tentang buktinya, "Kini akhirnya fikiran saya tenang."

Kadang-kadang kajian yang tekun tentang sains tepat boleh membuahkan hasil - anda bukan sahaja akan dikenali di seluruh dunia, tetapi juga kaya. Walau bagaimanapun, anugerah diberikan secara percuma, dan dalam sains moden terdapat banyak teori, teorem dan masalah yang tidak terbukti yang membiak apabila sains berkembang, mengambil sekurang-kurangnya buku nota Kourovka atau Dniester, semacam koleksi dengan fizikal dan matematik yang tidak dapat diselesaikan, dan bukan sahaja , tugasan. Walau bagaimanapun, terdapat juga teorem yang benar-benar kompleks yang tidak dapat diselesaikan selama lebih daripada sedozen tahun, dan bagi mereka Institut Tanah Liat Amerika telah memberikan anugerah dalam jumlah 1 juta dolar AS untuk setiap satu. Sehingga tahun 2002, jumlah jackpot adalah 7 juta, kerana terdapat tujuh "masalah milenium", tetapi ahli matematik Rusia Grigory Perelman menyelesaikan tekaan Poincaré dengan secara epik meninggalkan sejuta, tanpa membuka pintu kepada ahli matematik AS yang ingin memberikannya secara jujur. bonus yang diperolehi. Jadi, kami menghidupkan Teori Big Bang untuk latar belakang dan mood, dan lihat apa lagi yang anda boleh potong jumlah bulat.

Kesamaan kelas P dan NP

Secara ringkas, masalah kesamarataan P = NP adalah seperti berikut: jika jawapan positif kepada beberapa soalan boleh disemak dengan agak cepat (dalam masa polinomial), maka adakah benar jawapan kepada soalan ini boleh didapati dengan agak cepat (juga dalam masa polinomial dan menggunakan memori polinomial)? Dalam erti kata lain, adakah lebih mudah untuk memeriksa penyelesaian masalah daripada mencarinya? Intinya di sini ialah beberapa pengiraan dan pengiraan lebih mudah untuk diselesaikan secara algoritma berbanding kekerasan, dan dengan itu menjimatkan banyak masa dan sumber.

Hipotesis Hodge

Dugaan Hodge, yang dirumuskan pada tahun 1941, ialah untuk jenis ruang yang sangat baik yang dipanggil varieti algebra projektif, apa yang dipanggil kitaran Hodge ialah gabungan objek yang mempunyai tafsiran geometri - kitaran algebra.

Di sini, menerangkan secara ringkas, kita boleh mengatakan perkara berikut: pada abad ke-20, bentuk geometri yang sangat kompleks ditemui, seperti botol melengkung. Jadi, adalah dicadangkan bahawa untuk membina objek ini untuk penerangan, adalah perlu untuk menggunakan bentuk yang benar-benar membingungkan yang tidak mempunyai intipati geometri "conteng-conteng berbilang dimensi yang mengerikan" atau anda masih boleh bertahan dengan algebra standard + geometri bersyarat. .

Hipotesis Riemann

Agak sukar untuk dijelaskan di sini dalam bahasa manusia, cukup untuk mengetahui bahawa penyelesaian masalah ini akan membawa akibat yang meluas dalam bidang pengagihan nombor perdana. Masalahnya adalah sangat penting dan mendesak bahawa walaupun derivasi contoh balas hipotesis - mengikut budi bicara majlis akademik universiti, masalah itu boleh dianggap terbukti, jadi di sini anda boleh mencuba kaedah "dari sebaliknya". Walaupun mungkin untuk merumuskan semula hipotesis dalam erti kata yang lebih sempit, walaupun di sini Institut Tanah Liat akan membayar sejumlah wang.

Teori Yang-Mills

Fizik Zarah adalah salah satu topik kegemaran Dr. Sheldon Cooper. Di sini teori kuantum dua bapa saudara pintar memberitahu kita bahawa untuk mana-mana kumpulan tolok mudah di angkasa terdapat kecacatan jisim selain sifar. Kenyataan ini telah ditubuhkan oleh data eksperimen dan simulasi berangka, tetapi setakat ini tiada siapa yang dapat membuktikannya.

Persamaan Navier-Stokes

Di sini, Howard Wolowitz pasti akan membantu kami jika dia wujud dalam realiti - lagipun, ini adalah teka-teki daripada hidrodinamik, dan asas asas. Persamaan menggambarkan gerakan bendalir Newtonian likat, adalah sangat penting secara praktikal, dan, yang paling penting, menerangkan pergolakan, yang tidak boleh didorong ke dalam kerangka sains dalam apa jua cara dan sifat dan tindakannya tidak dapat diramalkan. Justifikasi untuk pembinaan persamaan ini akan membolehkan untuk tidak menuding jari ke langit, tetapi untuk memahami pergolakan dari dalam dan menjadikan pesawat dan mekanisme lebih stabil.

Hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer

Benar, di sini saya cuba mengambil perkataan mudah, tetapi terdapat algebra yang padat yang tidak dapat dilakukan tanpa perendaman yang mendalam. Mereka yang tidak mahu menyelam skuba ke dalam matan perlu tahu bahawa hipotesis ini membolehkan anda dengan cepat dan tanpa rasa sakit mencari pangkat lengkung elips, dan jika hipotesis ini tidak wujud, maka lembaran pengiraan akan diperlukan untuk mengira pangkat ini . Sudah tentu, anda juga perlu tahu bahawa bukti hipotesis ini akan memperkayakan anda dengan satu juta dolar.

Harus diingat bahawa di hampir setiap kawasan sudah ada kemajuan, dan juga kes yang terbukti untuk contoh individu. Oleh itu, jangan teragak-agak, jika tidak, ia akan menjadi seperti teorem Fermat, yang tunduk kepada Andrew Wiles selepas lebih daripada 3 abad pada tahun 1994, dan membawanya Hadiah Abel dan kira-kira 6 juta kroner Norway (50 juta rubel pada kadar pertukaran hari ini) .

1. 1 Murad :

   Kami menganggap kesamaan Zn = Xn + Yn sebagai persamaan Diophantus atau Teorem Besar Fermat, dan ini ialah penyelesaian persamaan (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Maka Zn =-(Xn + Yn) ialah penyelesaian kepada persamaan (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Persamaan dan penyelesaian ini berkaitan dengan sifat integer dan operasi padanya. Jadi kita tidak tahu sifat-sifat integer?! Dengan pengetahuan yang terhad, kita tidak akan mendedahkan kebenaran.
   Pertimbangkan penyelesaian Zn = +(Xn + Yn) dan Zn =-(Xn + Yn) apabila n = 1. Integer + Z dibentuk menggunakan 10 digit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Mereka boleh dibahagi dengan 2 integer +X - genap, digit kanan terakhir: 0, 2, 4, 6, 8 dan +Y - ganjil, digit kanan terakhir: 1, 3, 5, 7, 9, t . e. + X = + Y. Nombor Y = 5 - ganjil dan X = 5 - nombor genap ialah: Z = 10. Memenuhi persamaan: (Z - X) X = (Z - Y) Y, dan penyelesaian + Z = + X + Y= +(X + Y).
   Integer -Z terdiri daripada gabungan -X untuk genap dan -Y untuk ganjil, dan memenuhi persamaan:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, dan penyelesaian -Z = - X - Y = - (X + Y).
   Jika Z/X = Y atau Z / Y = X, maka Z = XY; Z / -X = -Y atau Z / -Y = -X, kemudian Z = (-X)(-Y). Pembahagian disemak dengan pendaraban.
   Nombor positif dan negatif satu digit terdiri daripada 5 nombor ganjil dan 5 nombor ganjil.
   Pertimbangkan kes n = 2. Maka Z2 = X2 + Y2 ialah penyelesaian kepada persamaan (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 dan Z2 = -(X2 + Y2) ialah penyelesaian kepada persamaan (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Kami menganggap Z2 = X2 + Y2 sebagai teorem Pythagoras, dan kemudian penyelesaian Z2 = -(X2 + Y2) ialah teorem yang sama. Kita tahu bahawa pepenjuru segi empat sama membahagikannya kepada 2 bahagian, di mana pepenjuru ialah hipotenus. Maka kesamaan adalah sah: Z2 = X2 + Y2, dan Z2 = -(X2 + Y2) dengan X dan Y ialah kaki. Dan lebih banyak penyelesaian R2 = X2 + Y2 dan R2 =- (X2 + Y2) ialah bulatan, pusat ialah asal bagi sistem koordinat segi empat sama dan dengan jejari R. Ia boleh ditulis sebagai (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , dengan n ialah integer positif dan negatif, dan ialah 3 nombor berturut-turut. Juga penyelesaian ialah nombor XY 2-bit yang bermula pada 00 dan berakhir pada 99 dan ialah 102 = 10x10 dan mengira 1 abad = 100 tahun.
   Pertimbangkan penyelesaian apabila n = 3. Maka Z3 = X3 + Y3 ialah penyelesaian bagi persamaan (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   Nombor 3-bit XYZ bermula pada 000 dan berakhir pada 999 dan ialah 103 = 10x10x10 = 1000 tahun = 10 abad
   Daripada 1000 kiub dengan saiz dan warna yang sama, anda boleh membuat rubik kira-kira 10. Pertimbangkan rubik dengan susunan +103=+1000 - merah dan -103=-1000 - biru. Mereka terdiri daripada 103 = 1000 kiub. Jika kita mengurai dan meletakkan kiub dalam satu baris atau di atas satu sama lain, tanpa jurang, kita mendapat segmen mendatar atau menegak sepanjang 2000. Rubik adalah kiub besar, ditutup dengan kiub kecil, bermula dari saiz 1butto = 10st. -21, dan anda tidak boleh menambah atau menolak satu kiub.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Setiap integer ialah 1. Tambah 1(satu) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 dan hasil darabnya:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Operasi ini boleh dilakukan pada kalkulator 20-bit.
   Adalah diketahui bahawa +(n3 - n) sentiasa boleh dibahagikan dengan +6, dan - (n3 - n) boleh dibahagikan dengan -6. Kita tahu bahawa n3 - n = (n-1)n(n+1). Ini ialah 3 nombor berturut-turut (n-1)n(n+1), di mana n ialah genap, kemudian boleh dibahagikan dengan 2, (n-1) dan (n+1) ganjil, boleh dibahagikan dengan 3. Kemudian (n-1) n(n+1) sentiasa boleh dibahagikan dengan 6. Jika n=0, maka (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, maka(n-1) n (n+1)=(19)(20)(21).
   Kita tahu bahawa 19 x 19 = 361. Ini bermakna satu petak dikelilingi oleh 360 petak, dan kemudian satu kubus dikelilingi oleh 360 kubus. Kesaksamaan dipenuhi: 6 n - 1 + 6n. Jika n=60, maka 360 - 1 + 360, dan n=61, maka 366 - 1 + 366.
   Generalisasi berikut mengikuti daripada pernyataan di atas:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1)n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Jika 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Mana-mana integer n ialah kuasa 10, mempunyai: – n dan +n, +1/ n dan -1/ n, ganjil dan genap:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Adalah jelas bahawa jika sebarang integer ditambah kepada dirinya sendiri, maka ia akan meningkat sebanyak 2 kali ganda, dan hasil darab akan menjadi segi empat sama: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ini dianggap teorem Vieta - satu kesilapan!
   Jika kita menambah dan menolak nombor b kepada nombor yang diberikan, maka jumlahnya tidak berubah, tetapi hasil darabnya berubah, contohnya:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Jika kita meletakkan nombor integer dan bukannya huruf a dan b, maka kita akan mendapat paradoks, tidak masuk akal, dan ketidakpercayaan terhadap matematik.