İstənilən rəqəmi kvadrat edin. Üçrəqəmli ədədlərin kvadratı

Ən çox yayılmışlardan biri riyazi əməliyyatlar, mühəndislik və digər hesablamalarda istifadə edilən rəqəmi ikinci dərəcəyə qaldırmaqdır, başqa cür kvadrat güc adlanır. Məsələn, bu üsul obyektin və ya fiqurun sahəsini hesablayır. Təəssüf ki, Excel-də verilmiş ədədi kvadratlaşdıran ayrıca alət yoxdur. Bununla belə, bu əməliyyat hər hansı digər gücə yüksəltmək üçün istifadə edilən eyni alətlərdən istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Verilmiş ədədin kvadratını hesablamaq üçün onlardan necə istifadə edilməli olduğunu öyrənək.

Bildiyiniz kimi, ədədin kvadratı onu özünə vurmaqla hesablanır. Excel-də bu göstəricinin hesablanmasının əsasını təbii olaraq bu prinsiplər təşkil edir. Bu proqramda siz ədədi iki şəkildə kvadrat edə bilərsiniz: düsturlar üçün eksponentasiya işarəsindən istifadə etməklə «^» və funksiyanın tətbiqi DƏRƏCƏ. Hansının daha yaxşı olduğunu qiymətləndirmək üçün bu variantların praktikada tətbiqi alqoritmini nəzərdən keçirək.

Metod 1: düsturdan istifadə edərək tikinti

Əvvəlcə Excel-də ikinci gücə yüksəltməyin ən sadə və ən çox istifadə olunan üsuluna baxaq, bu, simvolu olan bir düsturdan istifadə etməyi nəzərdə tutur. «^» . Bu halda, kvadratlaşdırılacaq obyekt kimi, bu ədədi dəyərin yerləşdiyi xanaya bir nömrə və ya istinaddan istifadə edə bilərsiniz.

Kvadratlaşdırma düsturunun ümumi forması aşağıdakı kimidir:

Bunun əvəzinə "n" kvadratına çevrilməli olan müəyyən bir ədədi əvəz etməlisiniz.

Bunun konkret nümunələrlə necə işlədiyini görək. Əvvəlcə olacaq ədədin kvadratını alaq ayrılmaz hissəsidir düsturlar.

İndi başqa xanada yerləşən dəyərin kvadratına necə çevriləcəyinə baxaq.

Metod 2: DEGREE funksiyasından istifadə

Siz həmçinin rəqəmi kvadratlaşdırmaq üçün Excel-in daxili funksiyasından istifadə edə bilərsiniz DƏRƏCƏ. Bu operator riyazi funksiyalar kateqoriyasına daxildir və onun vəzifəsi müəyyən ədədi dəyəri müəyyən edilmiş gücə qaldırmaqdır. Funksiya üçün sintaksis aşağıdakı kimidir:

DƏRƏCƏ(sayı, dərəcə)

Arqument "Nömrə" xüsusi nömrə və ya onun yerləşdiyi vərəq elementinə istinad ola bilər.

Arqument "dərəcə" nömrənin qaldırılmalı olduğu gücü göstərir. Kvadratlaşdırma sualı ilə qarşılaşdığımız üçün bizim vəziyyətimizdə bu arqument bərabər olacaq 2 .

İndi baxaq konkret misal operatordan istifadə edərək kvadratlaşdırmanı necə yerinə yetirmək olar DƏRƏCƏ.

Həmçinin problemi həll etmək üçün arqument kimi rəqəm əvəzinə onun yerləşdiyi xananın keçidindən istifadə etmək olar.

Bu gün biz kalkulyator olmadan böyük ifadələri necə tez kvadratlara çevirməyi öyrənəcəyik. Ümumiyyətlə, mən ondan yüzə qədər rəqəmləri nəzərdə tuturam. Həqiqi problemlərdə böyük ifadələr olduqca nadirdir və siz artıq ondan az dəyərləri necə saymağı bilirsiniz, çünki bu, adi vurma cədvəlidir. Bugünkü dərsdəki material kifayət qədər təcrübəli tələbələr üçün faydalı olacaq, çünki yeni başlayan tələbələr bu texnikanın sürətini və effektivliyini sadəcə qiymətləndirməyəcəklər.

Əvvəlcə ümumi olaraq nədən danışdığımızı anlayaq. Nümunə olaraq, adətən etdiyimiz kimi ixtiyari ədədi ifadə qurmağı təklif edirəm. Tutaq ki, 34. Onu sütunla özünə vuraraq qaldırırıq:

\[((34)^(2))=\ dəfə \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 kvadrat 34-dür.

problem bu üsul iki nöqtədə təsvir edilə bilər:

1) yazılı sənədlər tələb olunur;

2) hesablama prosesində səhv etmək çox asandır.

Bu gün biz kalkulyator olmadan, şifahi olaraq və faktiki olaraq heç bir səhv olmadan necə tez çoxaltmağı öyrənəcəyik.

Beləliklə, başlayaq. İşləmək üçün cəmi və fərqin kvadratı üçün düstur lazımdır. Gəlin onları yazaq:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Bu bizə nə verir? Məsələ burasındadır ki, 10-dan 100-ə qədər diapazonda olan istənilən qiymət 10-a bölünən $a$ rəqəmi və 10-a bölmənin qalığı olan $b$ rəqəmi kimi göstərilə bilər.

Məsələn, 28 aşağıdakı kimi təmsil oluna bilər:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]

Qalan nümunələri eyni şəkildə təqdim edirik:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]

Bu fikir bizə nə deyir? Fakt budur ki, cəmi və ya fərqlə yuxarıda təsvir olunan hesablamaları tətbiq edə bilərik. Əlbəttə ki, hesablamaları azaltmaq üçün elementlərin hər biri üçün bir ifadə seçməlisiniz ən kiçik saniyə müddət. Məsələn, $20+8$ və $30-2$ variantlarından siz $30-2$ variantını seçməlisiniz.

Qalan nümunələr üçün eyni şəkildə variantları seçirik:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]

Niyə tez çarpan zaman ikinci hədini azaltmağa çalışmalıyıq? Söhbət cəmin və fərqin kvadratının ilkin hesablamalarından gedir. Fakt budur ki, üstəlik və ya mənfi olan $2ab$ termini real problemlərin həlli zamanı hesablanması ən çətindir. Və əgər $a$ əmsalı, 10-un qatı həmişə asanlıqla vurulursa, birdən ona qədər dəyişən $b$ əmsalı ilə bir çox tələbə müntəzəm olaraq çətinlik çəkir.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Beləliklə, üç dəqiqə ərzində səkkiz nümunənin çarpılmasını etdik. Bu, hər ifadə üçün 25 saniyədən azdır. Əslində, bir az məşq etdikdən sonra daha sürətli sayacaqsınız. Hər hansı iki rəqəmli ifadəni hesablamaq üçün sizə beş-altı saniyədən çox vaxt lazım olmayacaq.

Ancaq bu, hamısı deyil. Göstərilən texnika kifayət qədər sürətli və kifayət qədər sərin görünməyənlər üçün daha çoxunu təklif edirəm sürətli yol vurma, lakin bu, bütün tapşırıqlar üçün deyil, yalnız 10-un qatlarından bir ilə fərqlənənlər üçün işləyir. Bizim dərsimizdə dörd belə dəyər var: 51, 21, 81 və 39.

Daha sürətli görünür, biz onları artıq bir neçə sətirdə sayırıq. Amma, əslində, sürətləndirmək mümkündür və bu, həyata keçirilir aşağıdakı kimi. Bizə lazım olana ən yaxın olan, ona çox olan dəyəri yazırıq. Məsələn, 51-i götürək. Buna görə də, əllini quraq:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Onluğun qatlarını kvadratlaşdırmaq daha asandır. İndi biz sadəcə olaraq orijinal ifadəyə əlli və 51 əlavə edirik. Cavab eyni olacaq:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Və beləliklə, bir-birindən fərqlənən bütün nömrələrlə.

Əgər axtardığımız dəyər saydığımızdan böyükdürsə, nəticədə alınan kvadrata ədədlər əlavə edirik. İstədiyiniz rəqəm 39-da olduğu kimi daha kiçikdirsə, hərəkəti yerinə yetirərkən kvadratdan dəyəri çıxarmaq lazımdır. Kalkulyatordan istifadə etmədən məşq edək:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Gördüyünüz kimi, bütün hallarda cavablar eynidir. Üstəlik, bu texnika hər hansı bir bitişik dəyərə tətbiq olunur. Məsələn:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]

Eyni zamanda, cəmi və fərqin kvadratlarının hesablamalarını xatırlamaq və kalkulyatordan istifadə etmək lazım deyil. İşin sürəti tərifdən üstündür. Buna görə də xatırlayın, məşq edin və praktikada istifadə edin.

Əsas Nöqtələr

Bu texnika ilə hər hansı birini asanlıqla çoxalda bilərsiniz natural ədədlər 10-dan 100-ə qədər. Üstəlik, bütün hesablamalar şifahi olaraq, kalkulyator olmadan və hətta kağız olmadan aparılır!

Əvvəlcə 10-a çox olan dəyərlərin kvadratlarını xatırlayın:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(hizalayın)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(hizalayın)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(hizalayın)\]

Daha sürətli necə saymaq olar

Ancaq bu hamısı deyil! Bu ifadələrdən istifadə edərək, siz dərhal istinadlara "bitişik" nömrələri kvadrat edə bilərsiniz. Məsələn, biz 152 (istinad dəyəri) bilirik, lakin 142 (istinad dəyərindən bir az olan bitişik nömrə) tapmalıyıq. Onu yazaq:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(hizalayın)\]

Diqqət edin: mistisizm yoxdur! 1 ilə fərqlənən ədədlərin kvadratları əslində iki dəyəri çıxmaq və ya əlavə etməklə istinad nömrələrini özlərinə vurmaqla əldə edilir:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(hizalayın)\]

Bu niyə baş verir? Cəmin (və fərqin) kvadratının düsturunu yazaq. $n$ bizim istinad dəyərimiz olsun. Sonra onlar belə hesablanır:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]

- bu formuladır.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]

- 1-dən böyük ədədlər üçün oxşar düstur.

Ümid edirəm ki, bu texnika bütün yüksək riskli riyaziyyat testləri və imtahanlarınızda vaxtınıza qənaət edəcək. Və mənim üçün hamısı budur. görüşənədək!

İndi binomialın kvadratını nəzərdən keçirək və arifmetik nöqteyi-nəzərdən istifadə edərək, cəminin kvadratından, yəni (a + b)² və iki ədədin fərqinin kvadratından, yəni (a - b) danışacağıq. )².

Çünki (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

onda tapırıq: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², yəni.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Bu nəticəni həm yuxarıda təsvir olunan bərabərlik şəklində, həm də sözlə yadda saxlamaq faydalıdır: iki ədədin cəminin kvadratı birinci ədədin kvadratına üstəgəl ikinin birinci ədədə və ikincinin hasilinə bərabərdir. nömrə, üstəgəl ikinci nömrənin kvadratı.

Bu nəticəni bilməklə dərhal yaza bilərik, məsələn:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Bu misallardan ikincisinə baxaq. İki ədədin cəminin kvadratını tutmalıyıq: birinci ədəd 3ab, ikincisi 1. Nəticə belə olmalıdır: 1) birinci ədədin kvadratı, yəni (3ab)², 9a²b²-ə bərabərdir; 2) ikinin birinci rəqəmə və ikinciyə hasili, yəni 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2-ci ədədin kvadratı, yəni 1² = 1 - bütün bu üç şərt birlikdə əlavə edilməlidir.

Biz həmçinin iki ədədin fərqini kvadratlaşdırmaq üçün düstur alırıq, yəni (a – b)² üçün:

(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².

(a – b)² = a² – 2ab + b²,

yəni iki ədədin fərqinin kvadratı birinci ədədin kvadratına bərabərdir, minil ikinin birinci və ikincinin hasili, üstəgəl ikinci ədədin kvadratı.

Bu nəticəni bilməklə, arifmetik nöqteyi-nəzərdən iki ədədin fərqini təmsil edən binomların kvadratlaşdırılmasını dərhal yerinə yetirə bilərik.

(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 və s.

2-ci misalı izah edək. Burada mötərizədə iki ədədin fərqi var: birinci rəqəm 5ab 3, ikinci rəqəm isə 3a 2 b. Nəticə belə olmalıdır: 1) birinci ədədin kvadratı, yəni (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ikinin 1-ci və 2-ci ədədə hasili, yəni 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 və 3) ikinci ədədin kvadratı, yəni (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; Birinci və üçüncü şərtlər artı, 2-ci isə mənfi ilə alınmalıdır, biz 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 alırıq. 4-cü misalı izah etmək üçün yalnız qeyd edirik ki, 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... göstəricini 2 və 2) ikinin hasilini 1-ci ədədə və 2-ciyə vurmaq lazımdır = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Əgər cəbr nöqteyi-nəzərindən götürsək, onda hər iki bərabərlik: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² və 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² eyni şeyi ifadə edir, yəni: binomialın kvadratı birinci həddin kvadratına, üstəgəl ədədin (+2) birinci və ikincinin hasilinə, üstəgəl ikinci üzvün kvadratına bərabərdir. Bu aydındır, çünki bərabərliklərimiz aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²

Bəzi hallarda yaranan bərabərlikləri bu şəkildə şərh etmək rahatdır:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Burada birinci həddi = –4a və ikinci = –3b olan binomialın kvadratını alırıq. Sonra (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² alırıq və nəhayət:

(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Üçhədli, dördbucaqlı və ya ümumiyyətlə hər hansı çoxhədlinin kvadratlaşdırılması düsturunu əldə etmək və yadda saxlamaq da mümkün olardı. Bununla belə, biz bunu etməyəcəyik, çünki bu düsturlardan çox nadir hallarda istifadə etmək lazımdır və əgər hər hansı bir çoxhədli (binomdan başqa) kvadrata salmaq lazım gələrsə, materiyanı vurmağa qədər azaldacağıq. Məsələn:

31. Alınan 3 bərabərliyi tətbiq edək, yəni:

(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²

arifmetikaya.

41 ∙ 39 olsun. Onda bunu (40 + 1) (40 – 1) şəklində təqdim edib məsələni birinci bərabərliyə endirə bilərik - 40² – 1 və ya 1600 – 1 = 1599 alırıq. Bunun sayəsində, 21 ∙ 19 kimi vurmaları yerinə yetirmək asandır; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 və s.

41 ∙ 41 olsun; 41² və ya (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 ilə eynidir. Həmçinin 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Əgər sizə 37 ∙ 3 lazımdırsa onda bu (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369-a bərabərdir. Belə vurmaları (və ya ikirəqəmli ədədləri kvadratlaşdırmaq) ağılda müəyyən bacarıqla yerinə yetirmək asandır.

23 oktyabr 2016-cı il, saat 16:37

Rəqəmlərin gözəlliyi. Başınızda necə tez hesablamaq olar

• Populyar Elm

Vergilərin ödənilməsi haqqında qəbzdə qədim qeyd (“yasaka”). Bu, 1232 rubl məbləğində deməkdir. 24 qəpik Kitabdan illüstrasiya: Yakov Perelman "Əyləncəli Arifmetika"

Həmçinin Riçard Feynman kitabında “Əlbəttə zarafat edirsiniz, cənab Feynman! » zehni hesablamanın bir neçə üsulunu izah etdi. Bunlar çox sadə fəndlər olsa da, həmişə məktəb proqramına daxil edilmir.

Məsələn, X rəqəmini 50 (50 2 = 2500) ətrafında tez kvadratlaşdırmaq üçün 50 ilə X arasındakı hər vahid fərq üçün yüz çıxmalı/əlavə etməli və sonra kvadrat fərqi əlavə etməlisiniz. Təsvir faktiki hesablamadan daha mürəkkəb səslənir.

52 2 = 2500 + 200 + 4
47 2 = 2500 – 300 + 9
58 2 = 2500 + 800 + 64

Gənc Feynmana bu hiyləni o vaxt Manhetten Layihəsində Los Alamosda işləyən həmkarı fizik Hans Bethe öyrətdi.

Hans sürətli hesablamalar üçün istifadə etdiyi daha bir neçə üsul göstərdi. Məsələn, kub köklərini və eksponentasiyaları hesablamaq üçün loqarifmlər cədvəlini xatırlamaq rahatdır. Bu bilik mürəkkəb arifmetik əməliyyatları xeyli asanlaşdırır. Məsələn, beyninizdə hesablayın təxmini dəyər kub kökü 2.5. Əslində, bu cür hesablamalar apararkən, başınızda bir növ sürüşmə qaydası işləyir ki, burada ədədlərin vurulması və bölünməsi onların loqarifmlərinin toplanması və çıxarılması ilə əvəz olunur. Ən əlverişli şey.

Slayd qaydası

Kompüterlərin və kalkulyatorların meydana çıxmasından əvvəl slayd qaydası hər yerdə istifadə olunurdu. Bu, bir neçə riyazi əməliyyatı yerinə yetirməyə imkan verən bir növ analoq "kompüterdir", o cümlədən ədədlərin vurulması və bölünməsi, kvadrat və kublar, kvadrat və kub köklərinin hesablanması, loqarifmlərin hesablanması, gücləndirilməsi, triqonometrik və hiperbolik funksiyaların hesablanması və bəzi digər əməliyyatlar. Hesablamanı üç addıma bölsəniz, slayd qaydasından istifadə edərək rəqəmləri istənilən real gücə yüksəldə və istənilən real gücün kökünü çıxara bilərsiniz. Hesablamaların dəqiqliyi təxminən 3 əhəmiyyətli rəqəmdir.

Başınızdakı mürəkkəb hesablamaları, hətta sürüşmə qaydası olmadan da tez həyata keçirmək üçün, ən azı 25-ə qədər olan bütün rəqəmlərin kvadratlarını yadda saxlamaq yaxşı bir fikirdir, çünki onlar tez-tez hesablamalarda istifadə olunur. Və dərəcələr cədvəli - ən çox yayılmışdır. 5 4 = 625, 3 5 = 243, 2 20 = 1.048.576 və √3 ≈ 1.732 olan hər dəfə yenidən hesablamaqdansa xatırlamaq daha asandır.

Riçard Feynman öz bacarıqlarını təkmilləşdirdi və tədricən yeni maraqlı nümunələri və ədədlər arasında əlaqələri gördü. O, belə bir misal gətirir: “Əgər kimsə 1-i 1,73-ə bölməyə başlasa, dərhal cavab verə bilər ki, 0,577 olacaq, çünki 1,73 üçün kvadrat kökünə yaxın rəqəmdir. Beləliklə, 1/1.73 3-ün kvadrat kökünün təxminən üçdə biri deməkdir."

Kompüterlərin və kalkulyatorların olmadığı o günlərdə belə inkişaf etmiş mental arifmetika həmkarlarını təəccübləndirərdi. O günlərdə tamamilə bütün elm adamları öz başlarında yaxşı saymağı bacarırdılar, buna görə də ustalığa nail olmaq üçün rəqəmlər dünyasına kifayət qədər dərindən qərq olmaq lazım idi.

İndi insanlar 76-nı 3-ə bölmək üçün kalkulyator götürürlər. Başqalarını təəccübləndirmək çox asanlaşıb. Feynmanın dövründə kalkulyator əvəzinə taxta abaküslər var idi ki, onların üzərində də düzəltmək mümkün idi. mürəkkəb əməliyyatlar kub köklərinin alınması da daxil olmaqla. Böyük fizik o zaman artıq fərq etdi ki, bu cür alətlərdən istifadə etməklə insanların çoxlu arifmetik birləşmələri əzbərləmək lazım deyil, sadəcə olaraq topları düzgün yuvarlamağı öyrənirlər. Yəni beyni "genişləyən" insanlar rəqəmləri bilmirlər. Onlar "oflayn" rejimdə tapşırıqların öhdəsindən daha pis gəlirlər.

Budur çox beş sadə məsləhətlər Yakov Perelman tərəfindən 1941-ci ildə nəşriyyat tərəfindən nəşr olunan "Tez hesablama" təlimatında tövsiyə olunan zehni hesablama.

1. Əgər vurulan ədədlərdən biri amillərə parçalanırsa, ardıcıl olaraq onlara vurmaq rahatdır.

225 × 6 = 225 × 2 × 3 = 450 × 3
147 × 8 = 147 × 2 × 2 × 2, yəni nəticəni üç dəfə ikiqat artırın

2. 4-ə vurarkən nəticəni iki dəfə ikiqat etmək kifayətdir. Eynilə, 4 və 8-ə bölündükdə, ədəd iki dəfə və ya üç dəfə azalır.

3. 5 və ya 25-ə vurarkən, ədədi 2 və ya 4-ə bölmək və nəticəyə bir və ya iki sıfır əlavə etmək olar.

74 × 5 = 37 × 10
72 × 25 = 18 × 100

Burada hansının daha asan olduğunu dərhal qiymətləndirmək daha yaxşıdır. Məsələn, 31 × 25-i standart şəkildə 25 × 31 kimi, yəni 31 × 25, yəni 7.75 × 100 kimi deyil, 750 + 25 kimi vurmaq daha rahatdır.

Dəyirmi bir ədədə (98, 103) yaxın bir ədədə vurarkən, dərhal yuvarlaq bir ədədə (100) vurmaq və sonra fərqin hasilini çıxmaq / əlavə etmək rahatdır.

37 × 98 = 3700 – 74
37 × 104 = 3700 + 148

4. Sonu 5 (məsələn, 85) ilə bitən ədədin kvadratına çəkmək üçün onluq sayını (8) üstəgəl bir (9) ilə vurun və 25 əlavə edin.

8 × 9 = 72, 25 təyin edin, buna görə də 85 2 = 7225

Bu qaydanın niyə tətbiq olunduğunu düsturdan görmək olar:

(10X + 5) 2 = 100X 2 + 100X + 25 = 100X (X+1) + 25

Texnika da tətbiq olunur ondalıklar 5 ilə bitən:

8,5 2 = 72,25
14,5 2 = 210,25
0,35 2 = 0,1225

5. Kvadratlaşdırarkən, rahat formul haqqında unutmayın

(a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
44 2 = 1600 + 16 + 320

Əlbəttə ki, bütün üsullar bir-biri ilə birləşdirilə bilər, daha rahat və yaradır effektiv texnikalar xüsusi vəziyyətlər üçün.

Bildiyiniz kimi, düzbucaqlının sahəsi onun iki fərqli tərəfinin uzunluqlarını vurmaqla hesablanır. Kvadratın bütün tərəfləri bərabərdir, ona görə də tərəfi özünə vurmaq lazımdır. “Kvadratlaşma” ifadəsi buradan yaranıb. Bəlkə də istənilən ədədi kvadrata çevirməyin ən asan yolu adi bir kalkulyator götürmək və istədiyiniz ədədi özünə vurmaqdır. Əlinizdə bir kalkulyator yoxdursa, daxili kalkulyatordan istifadə edə bilərsiniz mobil telefon. Daha qabaqcıl istifadəçilər üçün Office proqramından istifadə etməyi tövsiyə edirik Microsoft Excel, xüsusən də bu cür hesablamaların olduqca tez-tez aparılması lazımdırsa. Bunu etmək üçün ixtiyari bir xana, məsələn, G7 seçmək və ona =F7*F7 düsturu daxil etmək lazımdır. Sonra, F7 xanasına istənilən rəqəmi daxil edin və nəticəni G7 xanasına alın.

Son rəqəmi 5 olan ədədin kvadratını necə çəkmək olar. Bu ədədi kvadratlaşdırmaq üçün rəqəmin sonuncu rəqəmini atmaq lazımdır. Nəticədə alınan rəqəm daha böyük bir rəqəmlə 1-ə vurulmalıdır. Sonra nəticədən sonra sağa 25 rəqəmini əlavə etməlisiniz. Misal. Tutaq ki, siz 35 rəqəminin kvadratını almaq istəyirsiniz. Son rəqəm 5 atıldıqdan sonra 3 rəqəmi 1 əlavə edin və siz 4.3x4=12 rəqəmini alırsınız. 25-i əlavə edin və nəticə 1225-dir. 35x35=3*4 əlavə edin 25=1225.

Son rəqəmi 6 olan ədədi necə kvadratlaşdırmaq olar. Bu alqoritm sonu 5 ilə bitən ədədin kvadratını necə toplamaq sualını tapanlar üçün uyğundur. Riyaziyyatdan məlum olduğu kimi, binomialın kvadratını düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar. (A + B) x (A+B) =AxA+2xAxB + BxB. Son rəqəmi 6 olan A rəqəminin kvadratlaşdırılması vəziyyətində bu ədəd A = B + 1 kimi göstərilə bilər, burada B A rəqəmindən 1 az olan ədəddir, ona görə də onun son rəqəmi 5-dir. Bu halda düstur daha çox təmsil oluna bilər sadə formada(B+1) x(B+1) =BxB+2xBx1+1x1=BxB + 2xB+1. Məsələn, bu ədəd 16 olsun. Həlli 16 x16=15 x15+2x15 x1+1x1=225+30+1=256 Şifahi qayda: 6 ilə bitən ədədin kvadratını tapmaq üçün: əvvəlkinin kvadratını almaq lazımdır. ədəd, əvvəlki ədədin iki qatını əlavə edin və 1 əlavə edin.

11-dən 29-a qədər ədədlərin kvadratına necə düzmək olar. 11-dən 19-a qədər olan ədədləri kvadratlaşdırmaq üçün birlərin sayını ilkin ədədə əlavə etmək, alınan nəticəni 10-a vurmaq və birlərin kvadrat sayını sağa əlavə etmək lazımdır. Misal. Kvadrat 13. Bu ədəddəki vahidlərin sayı 3-dür. Sonra, 13+3=16 aralıq sayını hesablamaq lazımdır. Sonra onu 10-a vur. 160 çıxır. Vahidlərin sayının kvadratı 3x3=9-dur. Yekun nəticə 169-dur. Üçüncü onluqdakı ədədlər üçün oxşar alqoritmdən istifadə olunur, yalnız 20-yə vurmaq və vahidlərin kvadratını əlavə etmək əvəzinə onları əlavə etmək lazımdır. Misal. 24 ədədinin kvadratını hesablayın. Birlərin sayı tapılır – 4. Aralıq ədəd hesablanır – 24+4=28. 20-yə vurduqdan sonra nəticə 560 olur. Birlərin sayının kvadratı 4x4=16-dır. Yekun nəticə 560+16=576-dır.

40-dan 60-a qədər olan ədədləri necə kvadratlaşdırmaq olar. Alqoritm olduqca sadədir. Əvvəlcə verilmiş ədədin 50 rəqəminin diapazonunun ortasından nə qədər böyük və ya kiçik olduğunu tapmaq lazımdır. Alınan nəticəyə əlavə edin (əgər rəqəm 50-dən böyükdürsə) və ya çıxın (əgər rəqəm 50-dən azdırsa) 25. Əldə edilən cəmini (və ya fərqi) 100-ə vurun. Kvadratını əldə etdiyiniz nəticəyə kvadratını tapmaq lazım olan ədəd ilə 50 rəqəmi arasındakı fərqi əlavə edin. Misal: 46 ədədinin kvadratını tapmaq lazımdır. fərq 50-46=4.5-4=1.1x100=0.4x4=6.0+16=2116-dır. Nəticə: 46x46=2116.

Başqa bir hiylə 40-dan 60-a qədər ədədlərin kvadratını necə çəkməkdir. 40-dan 49-a qədər olan ədədin kvadratını hesablamaq üçün vahidlərin sayını 15-ə artırmaq, nəticəni 100-ə və onun sağına vurmaq lazımdır. verilmiş ədədin sonuncu rəqəmi ilə 10 arasındakı fərqin kvadratını təyin edin. Misal. 42 ədədinin kvadratını hesablayın. Bu ədədin vahidlərinin sayı 2-dir. 15-i əlavə edin: 2+15=17. Eyni sayda vahidlə 10 arasındakı fərq tapıldı 8-ə bərabərdir. Kvadrat: 8x8 = 64. Əvvəlki nəticə 17-nin sağ tərəfinə 64 rəqəmi əlavə edilir. Son rəqəm 1764-dür. Əgər ədəd 51-dən 59-a qədər diapazondadırsa, onun kvadratı üçün eyni alqoritmdən istifadə edilir, rəqəmə yalnız 25 əlavə edilməlidir. vahidlərin.

Ağlınızdakı hər şeyi necə kvadratlaşdırmaq olar ikirəqəmli rəqəm. Bir adam necə kvadrat bilirsə tək rəqəmli nömrələr, başqa sözlə, vurma cədvəlini bilirsə, ikirəqəmli ədədlərin kvadratlarını hesablamaqda problem yaşamaz. Misal. İki rəqəmli 36 rəqəminin kvadratını çəkmək lazımdır. Bu rəqəm onun onluqlarının sayına vurulur. 36x3=8. Sonra rəqəmin rəqəmlərinin hasilini tapmaq lazımdır: 3x6=18. Sonra hər iki nəticəni əlavə edin. 108+18=126. Növbəti addım: orijinal nömrənin vahidlərini kvadratlaşdırmaq lazımdır: 6x6=36. Alınan məhsulda onlarla sayı müəyyən edilir - 3 və əvvəlki nəticəyə əlavə olunur: 126 + 3 = 129. Və son addım. Əldə edilən nəticənin sağ tərəfində orijinal nömrənin vahidlərinin sayı verilir bu misalda- 6. Yekun nəticə 1296 rəqəmidir.

Fərqli ədədləri kvadratlaşdırmağın bir çox yolu var. Yuxarıda göstərilən alqoritmlərdən bəziləri olduqca sadədir, digərləri isə ilk baxışdan olduqca çətin və anlaşılmazdır. İnsanlar əsrlər boyu onlardan bir çoxundan istifadə edirlər. Hər bir şəxs özünün daha başa düşülən və maraqlı alqoritmlərini inkişaf etdirə bilər. Amma şifahi hesablama ilə bağlı problemlər və ya digər çətinliklər yaranarsa, texniki vasitələrdən istifadə etməli olacaqsınız.