İmtahanın loqarifmik tənlikləri və bərabərsizlikləri. Kompleks loqarifmik bərabərsizliklər

Sizcə, Vahid Dövlət İmtahanına hələ vaxt var və hazırlaşmaq üçün vaxtınız olacaq? Bəlkə də bu belədir. Amma hər halda tələbə hazırlığa nə qədər tez başlasa, imtahanları bir o qədər uğurla verir. Bu gün bir məqaləni loqarifmik bərabərsizliklərə həsr etmək qərarına gəldik. Bu, əlavə kredit əldə etmək imkanı olan vəzifələrdən biridir.

Loqarifmin nə olduğunu artıq bilirsinizmi? Biz həqiqətən ümid edirik. Ancaq bu suala cavabınız olmasa belə, problem deyil. Loqarifmin nə olduğunu başa düşmək çox sadədir.

Niyə 4? 81-i əldə etmək üçün 3 rəqəmini bu gücə yüksəltməlisiniz. Prinsipi başa düşdükdən sonra daha mürəkkəb hesablamalara keçə bilərsiniz.

Bir neçə il əvvəl bərabərsizliklərdən keçdiniz. Və o vaxtdan bəri riyaziyyatda onlarla daim rastlaşırsınız. Bərabərsizlikləri həll etməkdə probleminiz varsa, müvafiq bölməyə baxın.
İndi anlayışlarla ayrı-ayrılıqda tanış olduqdan sonra onları ümumi şəkildə nəzərdən keçirməyə keçək.

Ən sadə loqarifmik bərabərsizlik.

Ən sadə loqarifmik bərabərsizliklər bu nümunə ilə məhdudlaşmır, daha üçü var, yalnız müxtəlif işarələrlə. Bu niyə lazımdır? Bərabərsizliklərin loqarifmlərlə necə həll olunacağını daha yaxşı başa düşmək üçün. İndi daha uyğun bir nümunə verək, hələ də olduqca sadədir; mürəkkəb loqarifmik bərabərsizlikləri sonraya buraxacağıq.

Bunu necə həll etmək olar? Hamısı ODZ ilə başlayır. Hər hansı bərabərsizliyi həmişə asanlıqla həll etmək istəyirsinizsə, bu barədə daha çox bilməyə dəyər.

ODZ nədir? Loqarifmik bərabərsizliklər üçün ODZ

Abreviatura ərazi deməkdir məqbul dəyərlər. Bu formula tez-tez Vahid Dövlət İmtahanı tapşırıqlarında ortaya çıxır. ODZ yalnız loqarifmik bərabərsizliklər vəziyyətində deyil, sizin üçün faydalı olacaqdır.

Yuxarıdakı nümunəyə yenidən baxın. Biz onun əsasında ODZ-ni nəzərdən keçirəcəyik ki, siz prinsipi başa düşəsiniz və loqarifmik bərabərsizliklərin həlli sual doğurmasın. Loqarifmin tərifindən belə çıxır ki, 2x+4 sıfırdan böyük olmalıdır. Bizim vəziyyətimizdə bu aşağıdakı deməkdir.

Bu rəqəm, tərifinə görə, müsbət olmalıdır. Yuxarıda göstərilən bərabərsizliyi həll edin. Bu, hətta şifahi şəkildə edilə bilər, burada X-in 2-dən az ola bilməyəcəyi aydındır. Bərabərsizliyin həlli məqbul dəyərlər diapazonunun müəyyən edilməsi olacaqdır.
İndi isə ən sadə loqarifmik bərabərsizliyin həllinə keçək.

Bərabərsizliyin hər iki tərəfindəki loqarifmləri atırıq. Nəticədə bizə nə qalıb? Sadə bərabərsizlik.

Həll etmək çətin deyil. X -0,5-dən böyük olmalıdır. İndi əldə edilən iki dəyəri bir sistemə birləşdiririk. Beləliklə,

Bu, nəzərdən keçirilən loqarifmik bərabərsizlik üçün məqbul dəyərlər diapazonu olacaqdır.

Niyə bizə ümumiyyətlə ODZ lazımdır? Bu, yanlış və qeyri-mümkün cavabları aradan qaldırmaq üçün bir fürsətdir. Cavab məqbul dəyərlər daxilində deyilsə, cavabın sadəcə mənası yoxdur. Bunu uzun müddət xatırlamağa dəyər, çünki Vahid Dövlət İmtahanında tez-tez ODZ-ni axtarmağa ehtiyac var və bu, təkcə logarifmik bərabərsizliklərə aid deyil.

Loqarifmik bərabərsizliyin həlli alqoritmi

Həll bir neçə mərhələdən ibarətdir. Əvvəlcə məqbul dəyərlər aralığını tapmaq lazımdır. ODZ-də iki məna olacaq, biz bunu yuxarıda müzakirə etdik. Sonra, bərabərsizliyin özünü həll etməlisiniz. Həll üsulları aşağıdakılardır:

• çarpanın dəyişdirilməsi üsulu;
• parçalanma;
• səmərələşdirmə üsulu.

Vəziyyətdən asılı olaraq, yuxarıda göstərilən üsullardan birini istifadə etməyə dəyər. Gəlin birbaşa həll yoluna keçək. Demək olar ki, bütün hallarda Vahid Dövlət İmtahan tapşırıqlarını həll etmək üçün uyğun olan ən populyar metodu açıqlayaq. Sonra parçalanma üsuluna baxacağıq. Xüsusilə çətin bir bərabərsizliklə qarşılaşsanız kömək edə bilər. Beləliklə, loqarifmik bərabərsizliyin həlli alqoritmi.

Həll nümunələri :

Əbəs yerə deyil ki, biz məhz bu bərabərsizliyi qəbul etdik! Baza diqqət yetirin. Unutmayın: əgər birdən böyükdürsə, məqbul dəyərlərin diapazonunu taparkən işarə eyni qalır; əks halda bərabərsizlik işarəsini dəyişmək lazımdır.

Nəticədə bərabərsizliyi əldə edirik:

İndi sol tərəfi tənlik formasına gətiririk, sıfıra bərabərdir. “Kiçik” işarəsinin yerinə “bərabər” qoyuruq və tənliyi həll edirik. Beləliklə, biz ODZ-ni tapacağıq. Ümid edirik ki, belə sadə tənliyi həll etməkdə probleminiz olmayacaq. Cavablar -4 və -2. Bu hamısı deyil. Bu nöqtələri "+" və "-" qoyaraq qrafikdə göstərməlisiniz. Bunun üçün nə etmək lazımdır? Fasilələrdəki rəqəmləri ifadədə əvəz edin. Dəyərlərin müsbət olduğu yerdə "+" qoyuruq.

Cavab verin: x -4-dən böyük və -2-dən kiçik ola bilməz.

Yalnız sol tərəf üçün məqbul dəyərlər diapazonunu tapdıq, indi sağ tərəf üçün məqbul dəyərlər diapazonunu tapmalıyıq. Bu daha asandır. Cavab: -2. Hər iki nəticə sahəsini kəsirik.

Və yalnız indi biz bərabərsizliyin özünü həll etməyə başlayırıq.

Həllini asanlaşdırmaq üçün onu mümkün qədər sadələşdirək.

Həlldə yenidən interval metodundan istifadə edirik. Hesablamaları atlayaq, əvvəlki nümunədən hər şey artıq aydındır. Cavab verin.

Lakin bu üsul loqarifmik bərabərsizliyin eyni əsaslara malik olduğu halda uyğundur.

Həll loqarifmik tənliklər ilə bərabərsizliklər müxtəlif səbəblərdən bir bazaya ilkin azalmanı nəzərdə tutur. Sonra yuxarıda təsvir olunan metoddan istifadə edin. Amma daha çox var çətin hal. Ən çox birini nəzərdən keçirək mürəkkəb növlər loqarifmik bərabərsizliklər.

Dəyişən əsaslı loqarifmik bərabərsizliklər

Belə xüsusiyyətlərə malik bərabərsizlikləri necə həll etmək olar? Bəli və belə insanlar Vahid Dövlət İmtahanında tapıla bilər. Bərabərsizlikləri aşağıdakı şəkildə həll etmək sizin təhsil prosesinizə də faydalı təsir göstərəcəkdir. Məsələni anlayaq ətraflı. Gəlin nəzəriyyədən imtina edək və birbaşa praktikaya keçək. Loqarifmik bərabərsizlikləri həll etmək üçün nümunə ilə bir dəfə tanış olmaq kifayətdir.

Təqdim olunan formanın loqarifmik bərabərsizliyini həll etmək üçün sağ tərəfi eyni əsaslı loqarifmə azaltmaq lazımdır. Prinsip ekvivalent keçidlərə bənzəyir. Nəticədə bərabərsizlik belə görünəcək.

Əslində, loqarifmsiz bərabərsizliklər sistemi yaratmaq qalır. Rasionallaşdırma metodundan istifadə edərək, bərabərsizliklərin ekvivalent sisteminə keçirik. Müvafiq dəyərləri əvəz etdikdə və onların dəyişikliklərini izlədikdə qaydanın özünü başa düşəcəksiniz. Sistem aşağıdakı bərabərsizliklərə sahib olacaq.

Bərabərsizlikləri həll edərkən rasionallaşdırma metodundan istifadə edərkən aşağıdakıları yadda saxlamaq lazımdır: biri bazadan çıxılmalıdır, x, loqarifmin tərifinə görə, bərabərsizliyin hər iki tərəfindən (sağdan soldan) çıxarılır, iki ifadə vurulur. və sıfıra nisbətdə orijinal işarənin altına qoyulur.

Sonrakı həll interval metodundan istifadə etməklə həyata keçirilir, burada hər şey sadədir. Həll üsullarında fərqləri başa düşmək sizin üçün vacibdir, sonra hər şey asanlıqla işə başlayacaq.

Loqarifmik bərabərsizliklərdə çoxlu nüanslar var. Onlardan ən sadəini həll etmək olduqca asandır. Onların hər birini problemsiz necə həll etmək olar? Bu məqalədəki bütün cavabları artıq almısınız. İndi sizi uzun bir məşq gözləyir. Daim ən çox həll etmək üçün məşq edin müxtəlif vəzifələr imtahanın bir hissəsi olaraq və əldə edə biləcəksiniz ən yüksək xal. Çətin işinizdə sizə uğurlar!

Loqarifmik bərabərsizliklərin bütün müxtəlifliyi arasında dəyişən əsaslı bərabərsizliklər ayrıca öyrənilir. Onlar nədənsə məktəbdə nadir hallarda öyrədilmiş xüsusi bir düsturdan istifadə etməklə həll olunur:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

“∨” qeyd xanası əvəzinə hər hansı bərabərsizlik işarəsi qoya bilərsiniz: az və ya çox. Əsas odur ki, hər iki bərabərsizlikdə işarələr eynidir.

Bu yolla biz loqarifmlərdən xilas olur və problemi rasional bərabərsizliyə endirmiş oluruq. Sonuncunu həll etmək daha asandır, lakin loqarifmləri atarkən əlavə köklər görünə bilər. Onları kəsmək üçün məqbul dəyərlər aralığını tapmaq kifayətdir. Əgər loqarifmin ODZ-ni unutmusunuzsa, onu təkrarlamağı şiddətlə tövsiyə edirəm - "Loqarifm nədir" bölməsinə baxın.

Məqbul dəyərlər diapazonu ilə əlaqəli hər şey ayrıca yazılmalı və həll edilməlidir:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Bu dörd bərabərsizlik bir sistem təşkil edir və eyni zamanda təmin edilməlidir. Məqbul dəyərlər diapazonu tapıldıqda, qalan şey onu həll yolu ilə kəsməkdir rasional bərabərsizlik- və cavab hazırdır.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

Əvvəlcə loqarifmin ODZ-ni yazaq:

İlk iki bərabərsizlik avtomatik olaraq ödənilir, lakin sonuncunu yazmaq lazımdır. Ədədin kvadratı sıfır olduğu üçün və yalnız ədədin özü sıfır olduqda, bizdə:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Belə çıxır ki, loqarifmin ODZ-si sıfırdan başqa bütün ədədlərdir: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). İndi əsas bərabərsizliyi həll edirik:

Loqarifmik bərabərsizlikdən rasional bərabərsizliyə keçid edirik. Orijinal bərabərsizliyin “kiçik” işarəsi var, yəni nəticədə yaranan bərabərsizliyin də “kiçik” işarəsi olmalıdır. Bizdə:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Bu ifadənin sıfırları: x = 3; x = −3; x = 0. Üstəlik, x = 0 ikinci çoxluğun köküdür, yəni ondan keçərkən funksiyanın işarəsi dəyişmir. Bizdə:

Biz x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) alırıq. Bu dəst tamamilə loqarifmin ODZ-də yer alır, yəni cavab budur.

Loqarifmik bərabərsizliklərin çevrilməsi

Çox vaxt orijinal bərabərsizlik yuxarıdakıdan fərqlidir. Bu, loqarifmlərlə işləmək üçün standart qaydalardan istifadə etməklə asanlıqla düzəldilə bilər - "Loqarifmlərin əsas xüsusiyyətləri"nə baxın. Məhz:

1. İstənilən ədəd verilmiş baza ilə loqarifm kimi təqdim edilə bilər;
2. Eyni əsaslara malik loqarifmlərin cəmi və fərqi bir loqarifmlə əvəz edilə bilər.

Ayrı-ayrılıqda sizə məqbul dəyərlərin diapazonunu xatırlatmaq istərdim. İlkin bərabərsizlikdə bir neçə loqarifm ola biləcəyi üçün onların hər birinin VA-sını tapmaq tələb olunur. Beləliklə, ümumi sxem Loqarifmik bərabərsizliklərin həlli aşağıdakı kimidir:

1. Bərabərsizliyə daxil olan hər bir loqarifmin VA-nı tapın;
2. Loqarifmləri toplamaq və çıxmaq üçün düsturlardan istifadə edərək bərabərsizliyi standart birinə endirmək;
3. Yuxarıda verilmiş sxemdən istifadə edərək yaranan bərabərsizliyi həll edin.

Tapşırıq. Bərabərsizliyi həll edin:

Birinci loqarifmin tərif sahəsini (DO) tapaq:

Interval metodundan istifadə edərək həll edirik. Numeratorun sıfırlarının tapılması:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Sonra - məxrəcin sıfırları:

x − 1 = 0;
x = 1.

Koordinat oxunda sıfırları və işarələri qeyd edirik:

Biz x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) alırıq. İkinci ODZ-nin loqarifmi eyni olacaq. İnanmırsınızsa yoxlaya bilərsiniz. İndi ikinci loqarifmi çeviririk ki, əsas iki olsun:

Gördüyünüz kimi, loqarifmin bazasında və qarşısındakı üçlüklər azaldılıb. Eyni əsaslı iki loqarifm əldə etdik. Onları əlavə edək:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Standart loqarifmik bərabərsizliyi əldə etdik. Düsturdan istifadə edərək loqarifmlərdən xilas oluruq. İlkin bərabərsizlikdə “kiçik” işarəsi olduğu üçün nəticədə yaranan rasional ifadə də olmalıdır sıfırdan azdır. Bizdə:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

İki dəstimiz var:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Namizədin cavabı: x ∈ (−1; 3).

Bu dəstləri kəsmək qalır - əsl cavabı alırıq:

Biz dəstlərin kəsişməsi ilə maraqlanırıq, buna görə də hər iki oxda kölgələnmiş intervalları seçirik. Biz x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) alırıq - bütün nöqtələr deşilir.

Çox vaxt loqarifmik bərabərsizlikləri həll edərkən dəyişən loqarifm bazası ilə bağlı problemlər yaranır. Beləliklə, forma bərabərsizliyi

standart məktəb bərabərsizliyidir. Bir qayda olaraq, onu həll etmək üçün ekvivalent sistemlər dəstinə keçid istifadə olunur:

Mənfi cəhəti bu üsul iki sistemi və bir aqreqatı saymadan yeddi bərabərsizliyi həll etmək ehtiyacıdır. Onsuz da bu kvadratik funksiyalarla populyasiyanın həlli çox vaxt apara bilər.

Bu standart bərabərsizliyi həll etmək üçün alternativ, daha az vaxt aparan üsul təklif etmək olar. Bunun üçün aşağıdakı teoremi nəzərə alırıq.

Teorem 1. X çoxluğunda davamlı artan funksiya olsun. Onda bu çoxluqda funksiyanın artımının işarəsi arqumentin artımının işarəsi ilə üst-üstə düşəcək, yəni. , Harada .

Qeyd: X çoxluğunda davamlı azalan funksiya olarsa, onda .

Gəlin bərabərsizliyə qayıdaq. Gəlin ondalık loqarifmaya keçək (sabit bazası birdən böyük olan hər hansı birinə keçə bilərsiniz).

İndi siz numeratorda funksiyaların artımına diqqət yetirərək teoremdən istifadə edə bilərsiniz və məxrəcdə. Deməli, doğrudur

Nəticədə, cavaba aparan hesablamaların sayı təxminən yarıya endirilir ki, bu da nəinki vaxta qənaət edir, həm də potensial olaraq daha az arifmetik və diqqətsiz səhvlər etməyə imkan verir.

Misal 1.

(1) ilə müqayisə edərək tapırıq , , .

(2)-ə keçərək, əldə edəcəyik:

Misal 2.

(1) ilə müqayisə edərək, , , tapırıq.

(2)-ə keçərək, əldə edəcəyik:

Misal 3.

Bərabərsizliyin sol tərəfi və kimi artan funksiya olduğundan , onda cavab çox olacaq.

Mövzu 1-in tətbiq oluna biləcəyi bir çox nümunə Mövzu 2 nəzərə alınmaqla asanlıqla genişləndirilə bilər.

Setə buraxın X, , , funksiyaları müəyyən edilir və bu çoxluqda işarələr üst-üstə düşür, yəni. , o zaman ədalətli olar.

Misal 4.

Misal 5.

Standart yanaşma ilə misal aşağıdakı sxem üzrə həll edilir: amillər müxtəlif işarəli olduqda məhsul sıfırdan azdır. Bunlar. iki bərabərsizliklər sisteminin məcmusuna baxılır ki, burada əvvəldə göstərildiyi kimi hər bir bərabərsizlik daha yeddiyə bölünür.

2-ci teoremi nəzərə alsaq, o zaman (2) nəzərə alınmaqla amillərin hər biri bu O.D.Z nümunəsində eyni işarəyə malik başqa funksiya ilə əvəz edilə bilər.

Teorem 2-ni nəzərə alaraq funksiyanın artımını arqument artımı ilə əvəz etmək üsulu standart C3 Vahid Dövlət İmtahan məsələlərini həll edərkən çox əlverişlidir.

Misal 6.

Misal 7.

. işarə edək. alırıq

. Qeyd edək ki, dəyişdirmə aşağıdakıları nəzərdə tutur: . Tənliyə qayıdaraq, alırıq .

Misal 8.

İstifadə etdiyimiz teoremlərdə funksiyaların sinifləri ilə bağlı heç bir məhdudiyyət yoxdur. Bu məqalədə misal olaraq, teoremlər loqarifmik bərabərsizliklərin həllinə tətbiq edilmişdir. Aşağıdakı bir neçə nümunə digər bərabərsizliklərin həlli metodunun vədini nümayiş etdirəcək.