eksponensial irəliləmə. Eksponensial gəlir artımı, sinerji effekti və ya qış təkərlərində müqayisəli vəziyyət

Laboratoriya işi №1.

"Əhali dinamikası".

Hesablama Proqramından istifadə edərək əhali dinamikasının simulyasiyası

Məqsəd:Əhali dinamikasının modellərini hesablama proqramının köməyi ilə öyrənmək.

İş üçün təsdiq edilmişdir

Mən işi görmüşəm

İş müdafiə olundu

2010 G.

1 NƏZƏRİ GİRİŞ

Məşhur rus ekoloqu S.S.Şvartsın tərifinə görə, əhali- bu, daim dəyişən ətraf mühit şəraitində öz populyasiyasını uzun müddət saxlamaq üçün bütün lazımi şəraitə malik olan müəyyən bir növün orqanizmlərinin elementar qruplaşmasıdır.

Populyasiyalar, hər hansı bir bioloji açıq sistem kimi, müəyyən bir quruluş, böyümə, inkişaf, abiotik və biotik amillərə qarşı müqavimət ilə xarakterizə olunur.

Əhalinin rifahının (davamlılığının), təbii ekosistemin fəaliyyətində rolunun ən mühüm göstəricisi onun bolluğudur.

Əhalinin sayı əsasən iki fenomenlə - məhsuldarlıq və ölümlə, həmçinin miqrasiya ilə müəyyən edilir.

Məhsuldarlıq - çoxalma nəticəsində zaman vahidində meydana çıxan yeni fərdlərin sayı.Çoxalma prosesində fərdlərin sayı artır, nəzəri olaraq sayların qeyri-məhdud artmasına qadirdir.

Zamandan asılı olaraq populyasiyada fərdlərin sayında müxtəlif növ dəyişikliklər mövcuddur (populyasiya dinamikası). Ən sadə hallarda əhalinin dinamikasını fərdlərin sayındakı dəyişiklikləri proqnozlaşdırmağa imkan verən sadə riyazi modellərlə təsvir etmək olar.

1. Eksponensial əhali artımı.

Əhali artımının ən erkən modellərindən biri tərəfindən təklif edilmişdir T. Maltus 1798, məşhur "Əhali prinsipləri haqqında" əsərində. Bu model adlanır eksponensialasılılıqlarəhalinin artımı (eksponensial artım əyrisi). Bu modeldə ehtimal edilir qeyri-məhdud miqdarda təbii ehtiyatlar,əhalinin fərdləri üçün mövcuddur və hər hansı məhdudlaşdırıcı amillərin olmamasıəhalinin artımı üçün. Belə fərziyyələrə əsasən, populyasiyada fərdlərin sayı güc qanununa görə artır, yəni. çox sürətli və limitsiz.

ilə işarələnirsə n 0 populyasiyadakı fərdlərin sayı və ilkin vaxt (t 0 ), və N t vasitəsilə müəyyən bir zamanda fərdlərin sayı t (t>t0). Onda ∆N ədədinin ∆ vaxt intervalında dəyişməsi t. olanlar. Əhalinin artım tempi belə olacaq:

(1)

İfadə (1) əhalinin orta artım tempini göstərir. Bununla belə, populyasiya ekologiyasında daha tez-tez mütləq orta sürət deyil, bir orqanizmə düşən artım sürəti (xüsusi nisbət) istifadə olunur:

(2)

Bu göstərici müxtəlif ölçülü populyasiyaların sayındakı dəyişiklik dəyərlərini müqayisə etməyə imkan verir. Bu halda, nömrə müəyyən bir zaman intervalında bir fərd tərəfindən artım sürəti kimi müəyyən edilir.

Sürəti qeyd etməyin məhdudlaşdırıcı formasına keçid
0 və
və yeni qeydi təqdim edirik:

(3)

İfadədə (3) göstərici r ani spesifik olaraq təyin edilə bilər əhalinin artım tempi. Eyni növün müxtəlif populyasiyaları üçün bu göstərici fərqli dəyərlərə malik ola bilər. Bütün mümkün dəyərlərin ən böyüyü (r max) populyasiyanın biotik və ya reproduktiv potensialı adlanır.

(3) ifadəsini nəzərə alaraq əhalinin artım tempini aşağıdakı ifadə ilə təsvir etmək olar

(4)

Fərqləndirici ifadə (4), biz bunu istənilən vaxt, şərtlə əldə edirik r= iləonst (artım sürəti sabiti) populyasiyada fərdlərin sayı bərabər olacaq:
(5)

Formula (5) qrafik olaraq əyri formaya malik olan eksponensial əhalinin artım modelini təsvir edir (şək. 1). Eksponensial artım modeli şərtlərə cavab verir qeyri-məhdud artıməhalidəki fərdlərin sayı.

düyü. bir. Populyasiyadakı fərdlərin sayı üçün eksponensial artım əyrisi

1. Logistik böyümə modeli

Ekosistemin daimi ekoloji şəraitdə qeyri-müəyyən müddətə davam edə biləcəyi maksimum populyasiya ölçüsü deyilir ekosistem tutumu bu tip üçün.

Əhali dəyişikliyi- bu, bioloji potensial (fərdlərin əlavə edilməsi) ilə ətraf mühitin müqaviməti (fərdlərin ölümü, ölüm) arasındakı nisbətdir. Ətraf mühitin müqavimət faktorları ölüm hallarının artmasına gətirib çıxarır və əhalinin partlayışı həyati vacib ekosistem resurslarının tükənməsinə səbəb olarsa, bolluq əyrisi düzəlir və ya hətta aşağı enir. Ətraf mühit müqaviməti ilə əhalinin artım əyrisi əldə edilir S-obrazlı görünüş (Şəkil 2).

düyü. 2 . S-şəkilli əhalinin artım modeli

Beləliklə, təbii şəraitdə qeyri-məhdud böyümə mümkün deyil və gec-tez əhali həddi çatacaq, müəyyən edilir orta tutumlu(məkan, qida və s.). Əgər populyasiyada fərdlərin mümkün olan maksimum sayı ilə müəyyən bir dəyəri işarə etsək K (orta tutum) və nəzərə alan korreksiya faktorunu daxil edin "müqavimət" nisbət şəklində ətraf mühit artımı:

,

onda bu hal üçün tənliyi belə yazmaq olar forma:

(7)

Bu diferensial tənliyin həlli belə görünəcək

(8)

harada a - funksiyanın mənşəyə nisbətən mövqeyini təyin edən inteqrasiya sabiti, onu ifadədən tapmaq olar (bir şərtlə ki, r= const).

(9)

İfadə (8) sözdə təsvir edir logistik artım əyrisi(şək. 2). Bu, bolluğun yuxarı həddi və ətraf mühitin əhali artımına müqaviməti şəraitində populyasiya dinamikasının ikinci ən sadə riyazi modelidir. Bu modelə görə ilk növbədə əhalinin sayımərhələ kifayət qədər sürətlə böyüyür, lakin sonra əhalinin artım tempi yavaşlayır vədəyərinə yaxın sonsuz kiçik olurüçün (logistik əyri asimptotik olaraq üfüqiyə yaxınlaşır TO).

İnsanlar gələcəyin çox yaxşı proqnozlaşdırıcıları deyillər. Tarixin çox hissəsi üçün təcrübələrimiz "yerli və xətti" olmuşdur: biz eyni alətlərdən istifadə edirdik, eyni yeməkləri yedik, müəyyən bir yerdə yaşadıq. Nəticə etibarı ilə bizim proqnozlaşdırma qabiliyyətlərimiz intuisiyaya və keçmiş təcrübəyə əsaslanır. Bu nərdivan kimidir: bir neçə addım yuxarı qalxdıqdan sonra bu nərdivan boyunca yolun qalan hissəsinin nə olacağını başa düşürük. Həyatımızı yaşayarkən hər yeni günün bir əvvəlki kimi olmasını gözləyirik. Bununla belə, indi işlər dəyişir.

Tanınmış amerikalı ixtiraçı və futuroloq Rey Kurzveyl “Təklik yaxınlaşır” kitabında yazır ki, son onilliklərdə müşahidə etdiyimiz texnoloji inkişafda sıçrayış bir çox müxtəlif sahələrdə tərəqqini sürətləndirib. Bu, nəinki nəsillər arasında, həm də onların daxilində baş verən gözlənilməz texnoloji və sosial dəyişikliklərə səbəb oldu. İndi gələcəyi proqnozlaşdırmaq üçün intuitiv yanaşma işləmir. Gələcək artıq xətti deyil, eksponent şəkildə inkişaf edir: bundan sonra nə olacağını və nə vaxt baş verəcəyini proqnozlaşdırmaq getdikcə çətinləşir. Texnoloji tərəqqinin sürəti bizi daim təəccübləndirir və onlarla ayaqlaşmaq və gələcəyi necə proqnozlaşdırmağı öyrənmək üçün ilk növbədə eksponent olaraq düşünməyi öyrənməlisiniz.

Eksponensial artım nədir?

Dəfələrlə sabit əlavənin nəticəsi olan xətti böyümədən fərqli olaraq, eksponensial artım çoxalmadır. Xətti artım zamanla sabit bir düz xəttdirsə, eksponensial artım xətti uçuşa bənzəyir. Dəyər nə qədər böyükdürsə, bir o qədər sürətlə böyüyür.

Təsəvvür edin ki, siz yolda gedirsiniz və atdığınız hər addım bir metr uzunluğundadır. Altı addım atırsınız və indi altı metr irəliləmisiniz. Daha 24 addım atdıqdan sonra başladığınız yerdən 30 metr aralıda olacaqsınız. Bu xətti artımdır.

İndi təsəvvür edin (bədəniniz necə olduğunu bilmir, amma təsəvvür edin) hər dəfə addımınızın uzunluğu ikiqat artır. Yəni əvvəlcə bir metr addım atırsınız, sonra iki, sonra dörd, sonra səkkiz və s. Altı belə addımda siz 32 metri qət edəcəksiniz - bu, bir metrlik altı addımdan qat-qat çoxdur. İnanmaq çətindir, amma eyni tempdə davam etsəniz, otuzuncu addımdan sonra özünüzü başlanğıc nöqtəsindən bir milyard metr məsafədə tapacaqsınız. Bu, Yer ətrafında 26 səyahət deməkdir. Və bu eksponensial artımdır.

Maraqlıdır ki, bu cür artımla hər yeni addım əvvəlkilərin cəmidir. Yəni 29 addımdan sonra siz 500 milyon metri qət etdiniz və növbəti, otuzuncu addımda da eyni məbləği qət etdiniz. Bu o deməkdir ki, əvvəlki addımlarınızdan hər hansı biri partlayıcı böyümənin sonrakı bir neçə addımı ilə müqayisədə müqayisə olunmayacaq dərəcədə kiçikdir və onların əksəriyyəti nisbətən qısa müddət ərzində baş verir. Belə bir artımı A nöqtəsindən B nöqtəsinə bir hərəkət kimi təsəvvür etsək, hərəkətdə ən böyük irəliləyiş son mərhələdə olacaq.

Biz tez-tez ilkin mərhələlərdə göstərici meylləri əldən veririk, çünki eksponensial artımın ilkin tempi yavaş və tədricən olur, xətti artımdan ayırmaq çətindir. Bundan əlavə, tez-tez hansısa fenomenin eksponent olaraq inkişaf edəcəyi fərziyyəsinə əsaslanan proqnozlar inanılmaz görünə bilər və biz onlardan imtina edirik.

“1990-cı ildə insan genomunun skan edilməsinə başlayanda tənqidçilər qeyd etdilər ki, bu prosesin başlanğıcda getdiyi sürət nəzərə alınmaqla, genom yalnız minlərlə il sonra skan edilə bilər. Lakin layihə artıq 2003-cü ildə tamamlanıb”.- Raymond Kurzweil misal gətirir.

Son zamanlar texnologiyanın inkişafı eksponent xarakter daşıyır: hər onillikdə, hər il biz əvvəlkindən müqayisəolunmaz dərəcədə çox şeyə qadirik.

Eksponensial artım nə vaxtsa bitə bilərmi?

Təcrübədə eksponensial tendensiyalar sonsuza qədər davam etmir. Bununla belə, onların bəziləri partlayıcı inkişaf üçün müvafiq şərait olduqda uzun müddət davam edə bilər.

Tipik olaraq, eksponensial tendensiya bir sıra ardıcıl S formalı texnoloji həyat dövrlərindən və ya S əyrilərindən ibarətdir. Göstərdiyi üç artım mərhələsinə görə hər əyri "S" hərfinə bənzəyir: ilkin yavaş böyümə, partlayıcı böyümə və texnologiya yetişdikcə düzləşmə. Bu S əyriləri kəsişir və bir texnologiya yavaşladıqda yenisi yüksəlməyə başlayır. İnkişafın hər yeni S formalı iterasiyası ilə daha yüksək performans səviyyələrinə çatmaq üçün tələb olunan vaxtın miqdarı azalır.

Məsələn, keçən əsrdə texnologiyanın inkişafı haqqında danışarkən Kurzweil beş hesablama paradiqmasını sadalayır: elektromexaniki, rele, vakuum boruları, diskret tranzistorlar və inteqral sxemlər. Bir texnologiya öz potensialını tükəndikdə, digəri irəliləməyə başladı və bunu sələflərindən daha sürətli etdi.

Eksponensial gələcək üçün planlaşdırma

Eksponensial inkişaf kontekstində bizi gələcəkdə nələrin gözlədiyini proqnozlaşdırmaq çox çətindir. Həndəsi irəliləyiş əsasında qrafik qurmaq bir şeydir, lakin on-iyirmi ildən sonra həyatın necə dəyişəcəyini təxmin etmək tamam başqa şeydir. Ancaq sadə bir qaydaya əməl edə bilərsiniz: həyatın sizi çox təəccübləndirəcəyini gözləyin və gözlədiyiniz sürprizləri planlaşdırın. Başqa sözlə, siz ən inanılmaz nəticələri qəbul edə və onlara hazır ola bilərsiniz, sanki bunlar mütləq baş vermişdi.

“Gələcək əksər insanların təsəvvür edə biləcəyindən daha heyrətamiz olacaq. Dəyişiklik sürətinin özünün sürətləndiyini yalnız bir neçəsi həqiqətən dərk etdi."- Raymond Kurzweil yazır.

Növbəti beş ildə həyatımız necə olacaq? Proqnoz vermənin bir yolu son beş ilə baxmaq və bu təcrübəni növbəti beş ilə keçirməkdir, lakin bu, bizim aşkar etdiyimiz “xətti” düşüncədir ki, həmişə işləmir. Dəyişiklik tempi dəyişir, ona görə də son beş ildə əldə edilmiş irəliləyiş gələcəkdə daha uzun sürəcək. Çox güman ki, beş ildən sonra gözlədiyiniz dəyişikliklər əslində üç-iki ildən sonra baş verəcək. Bir az təcrübə ilə biz həyatın gələcək inkişafını daha yaxşı proqnozlaşdıra biləcəyik, eksponensial artım perspektivlərini görməyi öyrənəcəyik və öz gələcəyimizi daha yaxşı planlaşdıra biləcəyik.

Bu, sadəcə maraqlı bir konsepsiya deyil. Xətti inkişaf üçün daha tez-tez kəskinləşən düşüncəmiz bizi çıxılmaz vəziyyətə sala bilər. Məhz xətti təfəkkür bəzi iş adamlarını və siyasətçiləri dəyişikliklərə müqavimət göstərməyə vadar edir, onlar sadəcə olaraq inkişafın eksponensial şəkildə baş verdiyini başa düşmürlər və gələcəyə nəzarət etməyin getdikcə çətinləşdiyindən narahatdırlar. Ancaq bu, rəqabət meydanıdır. Bu dəyişikliyə ayaq uydurmaq üçün hər zaman bir addım öndə olmalı və inkişafın xətti deyil, eksponensial olduğunu nəzərə alaraq, indi aktual olanı yox, gələcəkdə aktual və tələbatlı olanı etməlisiniz.

Eksponensial düşüncə gələcək qorxumuzdan yaranan dağıdıcı stressləri azaldır və yeni imkanlar açır. Əgər gələcəyimizi daha yaxşı planlaşdıra bilsək və eksponent olaraq düşünə bilsək, bir paradiqmadan digərinə keçidi asanlaşdırıb gələcəyə sakitliklə baxacağıq.

Eksponensial artım- artım tempi dəyərin özünün dəyərinə mütənasib olduqda, dəyərin artması. tabe olur eksponensial qanun. Eksponensial artım daha yavaş (kifayət qədər uzun müddət ərzində) xətti və ya güc asılılığına qarşıdır. Bərabər intervallara malik diskret tərif sahəsi vəziyyətində buna həndəsi artım və ya həndəsi çürümə də deyilir (funksiya qiymətləri həndəsi irəliləyiş təşkil edir). Eksponensial böyümə modeli Maltusian böyümə modeli kimi də tanınır.

Xüsusiyyətlər

Hər hansı bir eksponent olaraq artan dəyər üçün götürdüyü dəyər nə qədər böyükdürsə, bir o qədər sürətlə böyüyür. Bu həm də o deməkdir ki, asılı dəyişənin böyüklüyü və onun artım sürəti ilə düz mütənasibdir. Ancaq eyni zamanda, hiperbolikdən fərqli olaraq, eksponensial əyri heç vaxt sonlu bir müddət ərzində sonsuzluğa getmir.

Eksponensial artım nəticədə istənilən güc qanunundan və hətta hər hansı xətti artımdan daha sürətli olur.

Riyazi qeyd

Eksponensial artım diferensial tənliklə təsvir edilir:

$\backslash frac(dx)(dt)\; =\; kx$

Bu diferensial tənliyin həlli eksponentdir:

$x\; =\; ae^(kt)$

Nümunələr

Eksponensial artıma misal olaraq resurs limiti baş verməzdən əvvəl koloniyada bakteriyaların sayının artması ola bilər. Eksponensial artımın başqa bir nümunəsi mürəkkəb faizdir.

həmçinin bax

"Eksponensial artım" məqaləsinə rəy yazın

Bağlantılar

Eksponensial artımı xarakterizə edən bir parça

Gec oyandı. Oyanışla gələn səmimiyyət ona atasının xəstəliyində onu ən çox nəyin məşğul etdiyini açıq şəkildə göstərdi. O, oyandı, qapının arxasında nə olduğunu dinlədi və onun iniltisini eşidib, hər şeyin eyni olduğunu bir ah ilə söylədi.
- Bəs nə olmalı? Mən nə istəyirdim? Mən onun ölməsini istəyirəm! o, öz-özünə nifrətlə qışqırdı.
Geyindi, yuyundu, dualar oxudu və eyvana çıxdı. Atsız arabalar əşyaların yığıldığı eyvana qaldırıldı.
Səhər isti və boz idi. Şahzadə Məryəm eyvanda dayandı, heç vaxt mənəvi iyrəncliyindən dəhşətə gəlmir və ona girməzdən əvvəl fikirlərini qaydasına salmağa çalışırdı.
Həkim pilləkənləri endirib ona yaxınlaşdı.
"Bu gün daha yaxşıdır" dedi həkim. - Mən səni axtarırdım. Dediklərindən nəsə başa düşmək olar, baş təzədir. Gedək. Səni çağırır...
Şahzadə Məryəmin bu xəbəri eşidəndə ürəyi o qədər döyünürdü ki, yıxılmamaq üçün rəngi solğunlaşaraq qapıya söykəndi. Şahzadə Məryəmin bütün ruhu bu dəhşətli cinayət vəsvəsələri ilə sıxışdırıldığı bir vaxtda onu görmək, onunla danışmaq, onun baxışları altına düşmək dözülməz dərəcədə sevinc və dəhşətli idi.
"Buyurun" dedi həkim.
Şahzadə Məryəm atasının yanına girdi və çarpayıya qalxdı. O, arxası üstə uzanmış, kiçik, sümüklü qollarını yasəmən düyünlü damarlarla örtüb, yorğanın üstündə, sol gözünü düz tutmuş, sağ gözünü qıymış, hərəkətsiz qaşları və dodaqları ilə uzanmışdı. O, çox arıq, kiçik və yazıq idi. Onun sifətinin büzüşmüş və ya ərimiş, büzülmüş cizgiləri görünürdü. Şahzadə Məryəm yaxınlaşıb onun əlini öpdü. Sol əli onun əlini elə sıxdı ki, onu çoxdan gözlədiyi aydın oldu. Onun əlindən dartdı, qaşları və dodaqları hirslə tərpəndi.
Qorxu ilə ona baxdı, ondan nə istədiyini təxmin etməyə çalışdı. O, mövqeyini dəyişib, sol gözü onun üzünü görsün deyə yerdəyişəndə ​​o, bir neçə saniyə gözlərini ondan çəkməyərək sakitləşdi. Sonra dodaqları və dili tərpəndi, səslər eşidildi və o, qorxa-qorxa və yalvararaq ona baxaraq danışmağa başladı, görünür, onu başa düşməyəcəyindən qorxdu.

"Eksponensial artım" ifadəsi leksikonumuza sürətli, adətən qaçaq böyümə mənasında daxil olmuşdur. Tez-tez, məsələn, şəhərlərin sayının sürətli artımını və ya əhalinin artımını təsvir etmək üçün istifadə olunur. Lakin riyaziyyatda bu termin dəqiq məna daşıyır və müəyyən növ artımı ifadə edir.

Eksponensial artım o populyasiyalarda baş verir ki, onların sayının artması (doğulanların sayından ölənlərin sayı çıxılmaqla) populyasiyadakı fərdlərin sayına mütənasibdir. Məsələn, bir insan əhalisi üçün doğum nisbəti reproduktiv cütlərin sayı ilə təqribən mütənasibdir və ölüm nisbəti əhalidəki insanların sayı ilə təqribən mütənasibdir (biz bunu göstəririk). N). Sonra ağlabatan bir təxminə görə,

əhalinin artımı = doğulanların sayı - ölənlərin sayı

(Burada r- sözdə mütənasiblik amili, bu bizə mütənasiblik ifadəsini tənlik kimi yazmağa imkan verir.)

Qoy d N d zamanı populyasiyaya əlavə olunan fərdlərin sayıdır t, onda cəmi əhalidə olarsa N fərdlər, o zaman eksponensial böyümə şərtləri təmin edilərsə

d N = rN d t

İsaak Nyuton 17-ci əsrdə diferensial hesabı icad etdiyi üçün biz bu tənliyi necə həll edəcəyimizi bilirik. N- istənilən vaxtda əhalinin sayı. (İstinad üçün: belə bir tənlik deyilir diferensial.) Onun həlli budur:

N = N0 e rt

harada N 0 mənşədə populyasiyadakı fərdlərin sayıdır və t həmin andan keçən vaxtdır. E simvolu belə bir xüsusi nömrəni ifadə edir, ona deyilir natural loqarifmin əsası(və təxminən 2.7-ə bərabərdir) və tənliyin bütün sağ tərəfi adlanır eksponensial funksiya.

Eksponensial artımın nə olduğunu daha yaxşı başa düşmək üçün əvvəlcə tək bir bakteriyadan ibarət olan bir populyasiya təsəvvür edin. Müəyyən bir müddətdən sonra (bir neçə saat və ya dəqiqədən sonra) bakteriya iki yerə bölünür və bununla da populyasiyanın sayı iki dəfə artır. Növbəti müddətdə bu iki bakteriyanın hər biri yenidən ikiyə bölünəcək və populyasiyanın sayı yenidən iki dəfə artacaq - indi dörd bakteriya olacaq. On belə ikiqatdan sonra artıq mindən çox bakteriya olacaq, iyirmidən sonra - bir milyondan çox və s. Əhalinin sayı hər bölgü ilə iki dəfə artarsa, onun artımı sonsuza qədər davam edəcəkdir.

Əfsanə var (çox güman ki, doğru deyil) şahmatı icad edən adam sultanına elə həzz verir ki, onun hər hansı xahişini yerinə yetirəcəyinə söz verir. Kişi Sultandan xahiş etdi ki, şahmat taxtasının birinci kvadratına bir buğda taxı, ikinciyə iki, üçüncü yerə dörd və s. Sultan bu tələbi göstərdiyi xidmətlə müqayisədə əhəmiyyətsiz hesab edərək, tabeliyindən başqa bir xahişlə çıxış etməyi xahiş etdi, lakin o, rədd etdi. Təbii ki, 64-cü dəfə dənlilərin sayı o həddə çatmışdı ki, bu tələbi ödəmək üçün bütün dünyada lazımi miqdarda buğda tapılmayacaqdı. Əfsanənin mənə məlum olan variantında Sultan həmin an ixtiraçının başının kəsilməsini əmr etdi. Tələbələrimə dediyim kimi əxlaq budur: bəzən çox ağıllı olmamalısan!

Dama taxtası nümunəsi (həmçinin xəyali bakteriyalar) bizə göstərir ki, heç bir populyasiya əbədi olaraq böyüyə bilməz. Gec-tez onun sadəcə olaraq resursları tükənəcək - məkan, enerji, su və nə olursa olsun. Buna görə də, populyasiyalar yalnız bir müddət eksponent olaraq böyüyə bilər və gec-tez onların artımı yavaşlamalıdır. Bunu etmək üçün tənliyi elə dəyişmək lazımdır ki, əhalinin sayı mümkün olan maksimum həddə yaxınlaşdıqda (xarici mühit tərəfindən dəstəklənə bilər) artım tempi aşağı düşsün. Gəlin bu maksimum əhali ölçüsü adlandıraq K. Sonra dəyişdirilmiş tənlik belə görünəcək:

d N = rN(1 — (N/K)) d t

Nə vaxt N daha az K, üzv N/K laqeyd qala bilər və biz adi eksponensial artımın ilkin tənliyinə qayıdırıq. Bununla belə, nə vaxt N maksimum dəyərinə yaxınlaşır K, dəyər 1 - ( N/K) sıfıra meyllidir, müvafiq olaraq sıfıra və əhalinin artımına meyllidir. Bu halda əhalinin ümumi sayı sabitləşir və səviyyədə qalır K. Bu tənliklə təsvir edilən əyrinin, eləcə də tənliyin özünün bir neçə adı var - S əyrisi, logistik tənlik, Volterra tənliyi, Lotka-Volterra tənliyi. (Vito Volt e rra, 1860-1940 - görkəmli italyan riyaziyyatçısı və müəllimi; Alfred Lotka, 1880-1949 - Amerika riyaziyyatçısı və sığorta analitiki.) Nə adlansa da, bu, populyasiyanın ölçüsünün kifayət qədər sadə ifadəsidir ki, eksponensial şəkildə kəskin şəkildə artır və müəyyən həddə yaxınlaşdıqca yavaşlayır. Və bu, real populyasiyaların sayındakı artımı adi eksponensial funksiyadan daha yaxşı əks etdirir.