Оно выведено на основе объединенного закона Бойля-Мариотта и Гей-Люссака с применением закона Авогадро. Для одной грамм-молекулы любого вещества, находящегося в идеальном газовом состоянии, уравнение Менделеева-Клапейрона имеет выражение:
Или PV = RT (11) .
В том случае, если имеется не один, а n молей газа выражение принимает вид:
где R- универсальная газовая постоянная, не зависящая от природы газа.
Так как число грамм-молей газа , где m- масса газа, а М- его молекулярная масса, то выражение (12) принимает вид:
Числовое значение R зависит от единицы измерения давления и объема. Величина ее выражается в единицах энергия/моль´град. Для нахождения числовых значений R используем уравнение (11), применив его для 1 моля идеального газа, находящегося в нормальных условиях,
Подставив в уравнение (11) числовые значения Р=1 атм, T= 273° и V = 22,4 л, получаем
В международной системе единиц СИ давление выражается в ньютонах на м 2 (н/м 2), а объем в м 3 . Тогда .
Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона можно производить следующие расчеты: а) нахождение физических параметров состояния газа по его молекулярной массе и другим данным, б) нахождение молекулярной массы газа по данным о его физическом состоянии (см. пример 22).
Пример 11. Сколько весит азот, находящийся в газгольдере диаметром 3,6 м и высотой 25 м при температуре 25ºС и давлении 747 мм рт. ст.?
IIример 12. В колбе емкостью 500 мл при 25ºС находится 0,615 г оксида азота (II). Каково давление газа в атмосферах, в н/м 2 ?
Пример 13. Масса колбы емкостью 750 см 3 , наполненной кислородом при 27°С, равна 83,35 г. Масса пустой колбы 82,11 г. Определить давление кислорода и мм рт.ст. на стенки колбы.
Закон Дальтона
Сформулирован этот закон так: общее давление смесей газов, не реагирующих друг с другом, равно сумме парциальных давлении составных частей (компонентов).
P = p 1 + p 2 + p 3 + ….. + p n (14)
где Р - общее давление смеси газов; p 1 , p 2 , p 3 , …., p n – парциальные давления компонентов смеси.
Парциальным давлением называется давление, оказываемое каждым компонентом газовой смеси, если представить этот компонент занимающим объем, равный объему смеси при той же температуре. Иными словами, парциальным давлением называется та часть общего давления газовой смеси, которая обусловлена данным газом.
Из закона Дальтона следует, что при наличии смеси газов п в уравнении (12) представляет собой сумму числа молей всех компонентов, образующих данную смесь, а Р- общее давление смеси, занимающей при температуре Т объем V.
Зависимость между парциальными давлениями и общим выражается уравнениями:
где n 1 , n 2 , n 3 - число молей компонента 1, 2, 3, соответственно, в смеси газов.
Отношения называются мольными долями данного компонента.
Если мольную долю обозначить через N, то парциальное давление любого i-го компонента смеси (где i = 1,2,3,...) будет равно:
Таким образом, парциальное давление каждого компонента смеси равно произведению его мольной доли па общее давление газовой смеси.
Помимо парциального давления у газовых смесей различают парциальный объем каждого из газов v 1 , v 2 , v 3 и т. д.
Парциальным называют объем, который занимал бы отдельный идеальный газ, входящий в состав идеальной смеси газов, если бы при том же количестве, он имел давление и температуру смеси.
Сумма парциальных объемов всех компонентов газовой смеси равна общему объему смеси
V = v 1 , + v 2 + v 3 + ... + v n (16) .
Отношение и т. д. называется объемной долей первого, второго и т.д. компонентов газовой смеси. Для идеальных газов мольная доля равна объемной доле. Следовательно, парциальное давление каждого компонента смеси равно также произведению его объемной доли на общее давление смеси.
; ; p i = r i ´P (17).
Парциальное давление обычно находят из величины общего давления с учетом состава газовой смеси. Состав газовой смеси выражают в весовых процентах, объемных процентах и в мольных процентах.
Объемным процентом называется объемная доля, увеличенная в 100 раз (число единиц объема данного газа, содержащегося в 100 единицах объема смеси)
Мольным процентом q называется мольная доля, увеличенная в 100 раз.
Весовой процент данного газа - число единиц массы его, содержащихся в 100 единицах массы газовой смеси.
где m 1 , m 2 – массы отдельных компонентой газовой смеси; m – общая масса смеси.
Для перехода от объемных процентов к весовым, что бывает необходимым в практических расчетах, пользуются формулой:
где r i (%) - объемное процентное содержание i-гo компонента газовой смеси; M i -молекулярная масса этого газа; М ср - средняя молекулярная масса смеси газов, которую вычисляют по формуле
М ср = М 1 ´r 1 + M 2 ´r 2 + M 3 ´r 3 + ….. + M i ´r i (19)
где М 1 , M 2 , M 3 , M i - молекулярные мaccы отдельных газов.
Если состав газовой смеси выражен количеством масс отдельных компонентов, то среднюю молекулярную массу смеси можно выразить по формуле
где G 1 , G 2 , G 3 , G i – доли масс газов в смеси: ; ; и т.д.
Пример 14. 5 л азота под давлением 2 атм, 2 л кислорода под давлением 2,5 атм и 3 л углекислою газа под давлением 5 атм перемешаны, причем объем, предоставленный смеси, равен 15 л. Вычислить, под каким давлением находятся смесь и парциальные давления каждого газа.
Азот, занимавший объем 5 л при давлении Р 1 = 2 атм, после смешения с другими газами распространился в объеме V 2 = 15 л. Парциальное давление азота р N 2 = Р 2 находим из закона Бойля-Мариотта (P 1 V 1 = P 2 V 2). Откуда
Парциальное давления кислорода и углекислого газа находим аналогичным способом:
Общее давление смеси равно .
Пример 15. Смесь, состоящая из 2 молей водорода, некоторого количества молей кислорода и 1 моля азота при 20°С и давлении 4 атм, занимает объем 40 литров. Вычислить число молей кислорода в смеси и парциальные давления каждого из газов.
Из уравнения (12) Менделеева-Клапейрона находим общее число молей всех газов, составляющих смесь
Число молей кислорода в смеси равно
Парциальные давления каждого из газов вычисляем по уравнениям (15а):
Пример 17. Состав паров бензольных углеводородов над поглотительным маслом в бензольных скрубберах, выраженный в единицах массы, характеризуется такими величинами: бензола C 6 H 6 - 73%, толуола С 6 Н 5 СН 3 - 21%, ксилола С 6 Н 4 (СН 3) 2 - 4%, триметилбензола С 6 Н 3 (СН 3) 3 - 2%. Вычислить содержание каждой составной части по объему и парциальные давления паров каждого вещества, если общее давление смеси равно 200 мм рт. ст.
Для вычисления содержания каждой составной части смеси паров по объему используем формулу (18)
Следовательно, необходимо знать М ср, которую можно вычислить из формулы (20):
Парциальные давления каждого компонента в смеси вычисляем, используя уравнение (17)
p бензола = 0,7678´200 = 153,56 мм рт.ст. ; p толуола = 0,1875´200 = 37,50 мм рт.ст. ;
p ксилола = 0,0310´200 = 6,20 мм рт.ст. ; p триметилбензола = 0,0137´200 = 2,74 мм рт.ст.
Похожая информация.
Аннотация: традиционное изложение темы, дополненное демонстрацией на компьютерной модели.
Из трех агрегатных состояний вещества наиболее простым является газообразное состояние. В газах силы, действующие между молекулами, малы и при определенных условиях ими можно пренебречь.
Газ называется идеальным , если:
Можно пренебречь размерами молекул, т.е. можно считать молекулы материальными точками;
Можно пренебречь силами взаимодействия между молекулами (потенциальная энергия взаимодействия молекул много меньше их кинетической энергии);
Удары молекул друг с другом и со стенками сосуда можно считать абсолютно упругими.
Реальные газы близки по свойствам к идеальному при:
Условиях, близких к нормальным условиям (t = 0 0 C, p = 1.03·10 5 Па);
При высоких температурах.
Законы, которым подчиняется поведение идеальных газов, были открыты опытным путем достаточно давно. Так, закон Бойля - Мариотта установлен еще в 17 веке. Дадим формулировки этих законов.
Закон Бойля - Мариотта. Пусть газ находится в условиях, когда его температура поддерживается постоянной (такие условия называются изотермическими ).Тогда для данной массы газа произведение давления на объем есть величина постоянная:
Эту формулу называют уравнением изотермы . Графически зависимость p от V для различных температур изображена на рисунке.
Свойство тела изменять давление при изменении объема называется сжимаемостью . Если изменение объема происходит при T=const, то сжимаемость характеризуется изотермическим коэффициентом сжимаемости который определяется как относительное изменение объема, вызывающее изменение давления на единицу.
Для идеального газа легко вычислить его значение. Из уравнения изотермы получаем:
Знак минус указывает на то, что при увеличении объема давление уменьшается. Т.о., изотермический коэффициент сжимаемости идеального газа равен обратной величине его давления. С ростом давления он уменьшается, т.к. чем больше давление, тем меньше у газа возможностей для дальнейшего сжатия.
Закон Гей - Люссака. Пусть газ находится в условиях, когда постоянным поддерживается его давление (такие условия называются изобарическими ). Их можно осуществить, если поместить газ в цилиндр, закрытый подвижным поршнем. Тогда изменение температуры газа приведет к перемещению поршня и изменению объема. Давление же газа останется постоянным. При этом для данной массы газа его объем будет пропорционален температуре:
где V 0 - объем при температуре t = 0 0 C, - коэффициент объемного расширения газов. Его можно представить в виде, аналогичном коэффициенту сжимаемости:
Графически зависимость V от T для различных давлений изображена на рисунке.
Перейдя от температуры в шкале Цельсия к абсолютной температуре , закон Гей - Люссака можно записать в виде:
Закон Шарля. Если газ находится в условиях, когда постоянным остается его объем (изохорические условия), то для данной массы газа давление будет пропорционально температуре:
где р 0 - давление при температуре t = 0 0 C, - коэффициент давления . Он показывает относительное увеличение давления газа при нагревании его на 1 0:
Закон Шарля также можно записать в виде:
Закон Авогадро: один моль любого идеального газа при одинаковых температуре и давлении занимает одинаковый объем. При нормальных условиях (t = 0 0 C, p = 1.03·10 5 Па) этот объем равен м -3 /моль.
Число частиц, содержащихся в 1 моле различных веществ, наз. постоянная Авогадро :
Легко вычислить и число n 0 частиц в 1 м 3 при нормальных условиях:
Это число называется числом Лошмидта .
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов, т.е.
где - парциальные давления - давления, которые бы оказывали компоненты смеси, если бы каждый из них занимал объем, равный объему смеси при той же температуре.
Уравнение Клапейрона - Менделеева. Из законов идеального газа можно получить уравнение состояния , связывающее Т, р и V идеального газа в состоянии равновесия. Это уравнение впервые было получено французским физиком и инженером Б. Клапейроном и российским учеными Д.И. Менделеевым, поэтому носит их имя.
Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом состоянии характеризуется параметрами V 2 , p 2 , Т 2 (см. рисунок). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: изотермического (1 - 1") и изохорического (1" - 2).
Для данных процессов можно записать законы Бойля - Мариотта и Гей - Люссака:
Исключив из уравнений p 1 " , получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то последнее уравнение можно записать в виде:
Это уравнение называется уравнением Клапейрона , в котором В - постоянная, различная для различных масс газов.
Менделеев объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро. Согласно закону Авогадро, 1 моль любого идеального газа при одинаковых p и T занимает один и тот же объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется универсальной газовой постоянной . Тогда
Это уравнение и является уравнением состояния идеального газа , которое также носит название уравнение Клапейрона - Менделеева .
Числовое значение универсальной газовой постоянной можно определить, подставив в уравнение Клапейрона - Менделеева значения p, T и V m при нормальных условиях:
Уравнение Клапейрона - Менделеева можно записать для любой массы газа. Для этого вспомним, что объем газа массы m связан с объемом одного моля формулой V=(m/M)V m , где М - молярная масса газа . Тогда уравнение Клапейрона - Менделеева для газа массой m будет иметь вид:
где - число молей.
Часто уравнение состояния идеального газа записывают через постоянную Больцмана:
Исходя из этого, уравнение состояния можно представить как
где - концентрация молекул. Из последнего уравнения видно, что давление идеального газа прямо пропорционально его температуре и концентрации молекул.
Небольшая демонстрация законов идеального газа. После нажатие кнопки "Начнем" Вы увидите комментарии ведущего к происходящему на экране (черный цвет) и описание действий компьютера после нажатия Вами кнопки "Далее" (коричневый цвет). Когда компьютер "занят" (т.е. идет опыт) эта кнопка не активна. Переходите к следующему кадру, лишь осмыслив результат, полученный в текущем опыте. (Если Ваше восприятие не совпадает с комментариями ведущего, напишите!)
Вы можете убедиться в справедливости законов идеального газа на имеющейся
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т.
Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
f (р, V, Т) =0,
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление р 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 -1 "), 2) изохорного (изохора 1 "-2).
В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
p 1 V 1 =p " 1 V 2 , (42.1)
p " 1 /p " 2 =T 1 /T 2 . (42.2)
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) р" 1 , получим
p 1 V 1 /T 1 =p 2 V 2 / Т 2 .
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа
величина pV/T остается постоянной,
pV/T =B=const. (42.3)
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V т . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению
pV m = RT (42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р 0 = 1,013 10 5 Па, T 0 =273,15 K:, V m = 22,41 10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлений и температуре один моль газа занимает молярный объем l/m, то при тех же условиях масса т газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы т газа
где v = m/M - количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
k=R/N А =1,38 10 -2 3 Дж/К.
Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде
p = RT/V m = kN A T/V m = nkT,
где N A /V m = n -концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
p = nkT (42.6)
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта :
N L = P0 /(kT 0 ) = 2,68 10 25 м -3 .
Берём формулу и подставляем в неё . Получаем:
p = nkT.
Вспомним теперь, что A , где ν - число молей газа:
,
pV = νRT. (3)
Соотношение (3) называется уравнением Менделеева - Клапейрона . Оно даёт взаимосвязь трёх важнейших макроскопических параметров, описывающих состояние идеального газа - давления, объёма и температуры. Поэтому уравнение Менделеева - Клапейрона называется ещё уравнением состояния идеального газа .
Учитывая, что , где m - масса газа, получим другую форму уравнения Менделеева - Клапейрона:
(4)
Есть ещё один полезный вариант этого уравнения. Поделим обе части на V :
Но - плотность газа. Отсюда
(5)
В задачах по физике активно используются все три формы записи (3)-(5).
Изопроцессы
На протяжении этого раздела мы будем придерживаться следующего предположения: масса и химический состав газа остаются неизменными . Иными словами, мы считаем, что:
m = const, то есть нет утечки газа из сосуда или, наоборот, притока газа в сосуд;
µ = const, то есть частицы газа не испытывают каких-либо изменений (скажем, отсутствует диссоциация - распад молекул на атомы).
Эти два условия выполняются в очень многих физически интересных ситуациях (например, в простых моделях тепловых двигателей) и потому вполне заслуживают отдельного рассмотрения.
Если масса газа и его молярная масса фиксированы, то состояние газа определяется тремя макроскопическими параметрами: давлением , объёмом и температурой . Эти параметры связаны друг с другом уравнением состояния (уравнением Менделеева - Клапейрона).
Термодинамический процесс
Термодинамический процесс (или просто процесс ) - это изменение состояния газа с течением времени. В ходе термодинамического процесса меняются значения макроскопических параметров - давления, объёма и температуры.
Особый интерес представляют изопроцессы - термодинамические процессы, в которых значение одного из макроскопических параметров остаётся неизменным. Поочерёдно фиксируя каждый из трёх параметров, мы получим три вида изопроцессов.
1. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре газа: T = const.
2. Изобарный процесс идёт при постоянном давлении газа: p = const.
3. Изохорный процесс идёт при постоянном объёме газа: V = const.
Изопроцессы описываются очень простыми законами Бойля - Мариотта, Гей-Люссака и Шарля. Давайте перейдём к их изучению.
Изотермический процесс
При изотермическом процессе температура газа постоянна. В ходе процесса меняются только давление газа и его объём.
Установим связь между давлением p и объёмом V газа в изотермическом процессе. Пусть температура газа равна T . Рассмотрим два произвольных состояния газа: в одном из них значения макроскопических параметров равны p 1 ,V 1 ,T , а во втором - p 2 ,V 2 ,T . Эти значения связаны уравнением Менделеева - Клапейрона:
Как мы сказали с самого начала, масса газа m и его молярная масса µ предполагаются неизменными. Поэтому правые части выписанных уравнений равны. Следовательно, равны и левые части: p 1V 1 = p 2V 2.
Поскольку два состояния газа были выбраны произвольно, мы можем заключить, что в ходе изотермического процесса произведение давления газа на его объём остаётся постоянным :
pV = const.
Данное утверждение называется законом Бойля - Мариотта . Записав закон Бойля - Мариотта в виде
p = ,
можно дать и такую формулировку: в изотермическом процессе давление газа обратно пропорционально его объёму . Если, например, при изотермическом расширении газа его объём увеличивается в три раза, то давление газа при этом в три раза уменьшается.
Как объяснить обратную зависимость давления от объёма с физической точки зрения? При постоянной температуре остаётся неизменной средняя кинетическая энергия молекул газа, то есть, попросту говоря, не меняется сила ударов молекул о стенки сосуда. При увеличении объёма концентрация молекул уменьшается, и соответственно уменьшается число ударов молекул в единицу времени на единицу площади стенки - давление газа падает. Наоборот, при уменьшении объёма концентрация молекул возрастает, их удары сыпятся чаще и давление газа увеличивается.
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р , объемом V и температурой Т . Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
f (p , V , T ) = 0 ,
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799-1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля - Мариотта и Гей-Люссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V 1 , имеет давление p 1 и находится при температуре Т 1 . Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами p 2 , V 2 , Т 2 (рис.63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов:
1) изотермического (изотерма 1 - 1 /),
2) изохорного (изохора 1 / - 2).
В соответствии с законами Бойля - Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
(42.1)
(42.2)
Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) , получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа
. (42.3)
Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона , в котором В - газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834-1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем V m . Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем V m , поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной . Уравнению
(42.4)
удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа , называемым также уравнением Клапейрона - Менделеева .
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы (42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях ( = 1,013×10 5 Па, = 273,15 K, = 22,41×10 -3 м 3 /моль): R = 8,31 Дж/(моль×К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона - Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем V m , то при тех же условиях масса m газа займет объем V = (m/M) V m , где М - молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы - килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона - Менделеева для массы m газа
(42.5)
где = m/M - количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана : = 1,38×10 -23 Дж/К.
Исходя из этого, уравнение состояния (42.4) запишем в виде
где - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м 3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмидта (И. Лошмидт (1821-1895) - австрийский химик и физик): 2,68×10 25 м -3 .
kayabaparts.ru - Прихожая, кухня, гостиная. Сад. Стулья. Спальня